小升初常考内容十讲大全2.docx

小升初奥数常考内容十讲第一讲计算综合【内容概述】1.2.nX (n+l)=nX (n+1) X (n+2)-(n-l) XnX (n+l)4-3；从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3.l2+22+32+-+ n2=-xnx(n + l)x(2n + l)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).【典型问题】豌级数：*一力=r99，试比较a、b的大小.3+ J99+100【分析与解】12+;r3+i,b =+198+-A其中 A=99, B=99+.因为 A<B,1001Tr+r98+-B所以98+工>98+,A Br,96 +r98 + -97+B 98 + 1A97+-<97+98+- A>96+J97+T98+- B2 H3+4+，所以有a < b.3+;一r4+-r-98+- B级数：*2.试求Lj2 +r3 +；r4+-r4 2005+1+1+11一3+ j4十一i的和？420051T-T-+ 2005，则题目所要求的等式可写为:【分析与解】记=3+4+2+ x +T+7力1,ifu-+2+ x 1+1T-1+ x11+X,一+=1.所以原式的和为1.评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想.跳)领级数：*-2 .试求1+2+3+4+4+100的值？【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)X项数+2=(1+100)X100+2=5050.方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+97+98+99+100100+99+98+97+96+4+3+2+1,上下两个数相加都是101,并且有100组，所以两倍原式的和为101X100,那么原式的和为101X100+2=5050.方法三：整数裂项(重点)，原式=(1X 2+2 X 2+3 X 2+4 X 2+-+100 X 2)+2=lx2+2x(3-l)+3x(4-2)+4x(5-3)+100x(101-99)h-2=(4*2-+*-+100x101-99x100)4-2=100xl0U2=5050.跳(©级数：*3 .试求1X 2+2 X 3+3 X 4+4 X 5+5X6+99X100.【分析与解】方法一：整数裂项原式=(1X2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+99X100X3)4-3=1X2X3+2X3X (4-D+3X4X (5-2)+4X5X (6-3)+5X6X (7-4)+-+99X 100X (101-98)4-3(1x2*3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+4x5x6-3x4x5+5x6x7-4x5x6+99x100x101-98x99x100)4-3=99x100x1014-3=33x101x100=3333x100=333300.方程二：利用平方差公式2+22+3+42+n'/=x5+1)-(2+1)6原式:12+1+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99=12+22+32+42+52+-+992+1+2+3+4+5+9999x100x19999x100=+62=328350+4950=333300.顿顿名数:*5.计算下列式子的值：0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8x10.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算.即先计算 IX 3+2 x 4+3*5+4x6+97x99+98X100。再除以100.方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2,于是我们容易想到裂项的方法.0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8x10.0=(1 X 3+2 X 4+3 X 5+4 X 6+-+97 X 99+98 X 100)+100=(1X2+1)+(2X 3+2)+(3 X 4+3)+(4X 5+4)+(97 X 98+97)+(98 X 99+98)4-100=(1 X 2+2 X 3+3 X 4+4 X 5+97 X 98+98 X99)+(l +2+3+4+97+98)+100=(-X98X99X 100+- X98X99)4-10032=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+9.7X9.9+9.8X10.0=(1 X 3+2 X 4+3 X 5+4 X 6+-+97 X 99+98 X 100)4-100=(1-1+2-1+3-1+4-1+52-1+992-1)4-100=(11+22+32+42+52+99-99)4-100=(-X99X 100X 199-99)4-1006=16.5X199-0.99=16.5X200-16.5-0.99=3282.51评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的.下面简单介绍一下整数裂项.lX2+2X3+3X4+(n-l) Xn=-X 1X2X3+2X3X3+3X4X3+(nT) XnX33=-X 1X2X3+2X3X (4-D+3X4X (5-2)+(nT) Xnn+l-(n-2)3lx 2x3-2x3x1+2x3x4-3x4x2+3x4x5+X3|_-(n -1) x n x (n -2)+(n -1) x n x (n +1)=x (n -1) x n x (n 4-1)艘国级数：*=6.计算下列式子的值：，111、/I 1124 X (1F H)(-r +- +-;7)2x34x520x21I212+2212+22+102【分析与解】虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，2x3234x545因为这不像分数裂项那样能消去很多项.我们再来看后面的式子，每项的分母容易让我们想到公式6 x( + 1)(2 -1)l2+22+32+-+n2=-XnX (n+1) X (2n+l),于是我们又有7612+22+32+n2减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“个对一个”呢?24x(! + !+ 2x3 4x5，1 1= 24x(+2x3 4x5= 24x( + + 2x3 4x5)(-7 + - 3T) 20x21 I2 12 + 2212 +22 + +10220x21)-6x(1F1x2x3 2x3x5)10x11x12?)- 24x(+ ? + +)20x212x4x3 4x6x520x22x21=24 x () + () + +()2x3 2x4x34x5 4x6x520x21 20x22x21= 24x(d 2x4 4x6, , 1 1= 6x(+1x2 2x3= 6x(1-) 1160-11-) 20x2210x117.计算下列式子的值:(1 +1111-+-+-+ 2 3 4 5+，)、('阜+L +，)2+d+Z+，尸198012234519801234519801212/1、2八11111H)+(I1- H)+()+(ld111F H)198012561980121980122345198012【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;1,1,1(1+-)'+()-+(1+-)=4;(1+-+-)2+(-+-)2+(-)2+(1+-+-)=6;2323323(l +-+-+ i)2+(-+-+-)2+(-+l)2+(i)2+(l +-+ l +-)=8;234234344234所以原式=198012 X 2=396024.习题计算17 X18+18 X19+19 X20+-+29X 30的值.提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(29X30X31-16X17X18)4-3=29X 10X31-16X17X6=7358.第二讲数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题.典型问题1. ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A, B, C, D, E, F, G代表1至9中的不同的数字.已知ABCD+EFG=1993,问：乘积ABCDXEFG的最大值与最小值相差多少？【分析与解】因为两个数的和定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小.A显然只能为1,则BCD+EFG=993,当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234,对应EFG为759,所以有1234X759是满足条件的最大乘积；当ABCD与EFG的积最小时,ABCD、EFG差最大,则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234,对应BCD为759,所以有1759X234是满足条件的最小乘积；它们的差为1234 X 7591759 X 234=(1000+234) X 759-(1000+759) X 234=1000 X(759234)=525000.2 .有9个分数的和为1,它们的分子都是1.其中的5个是1，另外4个数的分母个3791133位数字都是5.请写出这4个分数.【分析与解】10x103x3x5x7xl=2x1337911333x3x7x11需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3X3X7X11的约数.因此,它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693.经试验得693+231+77+9=1010.所以，其余的4个分数是:J_ J_ J1_5' T?45'3853 .1988-口口口请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式.【分析与解】1988=2X2X7X71=4X497,1 1+ 12 4,在等式两边同时乘上，3497就得1 1 _ 15964 1988 - 1491显然满足题意.又一+35 14110两边同乘以一, 142就得4970 +1988=一.显然也满足. 1420111111口305319881204'809419881596"4 .小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数。1=对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14-1的表中.有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正.问改正后的两个数的和是多少？表14-1结'甲二0.625239诃35.05A 5146441613223.43-1-4,13亍1.52917【分析与解】甲组的前三个数0.625,二都是小于1的数，2二与这三个数运算后，得5.05,3143251517174,4；不论减1还是加1后，这三个数都比2一大，而这是2与小于1的数运算的结果，因64163232此可以猜想方框内是除号.现在验算一下：2口小。.625二以 X 九以=4.。5；3232520172813152= X 3；3233226417,981y 1463152 X =3；1732143291616273232从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而42是错的.16按照算式乙组的数+甲组的数+1*22+3+1=1，显然不为1.5,上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5,才有31 一21.54- 3+1=1-,而 L 5+0.625+1=3.4,1.54-+1=3.25.23由此可见，确定的算式*是正确的.表中有两个错误，4a应改为4"，2应改为1.5,161615115+874+1=5+-616216167改正后的两个数的和是6.165.图143中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形.现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1,2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个项点上.(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由.图14-3(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由.【分析与解】(1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等.事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次.因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(l+2+3+4)+3X(l+2+3+4)+2X(l+2+3+4),即8k=60, k 不为整数,矛盾,所以假设是错误的.(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1+1+2=4,最大为3+4+4=11.而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法.图(a)图(6)6.图145中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.【分析与解】表述1：设每行的和为S,在左下图中，除了 a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4s=(1+2+3+ll)+a=66+a；在右上图中除了 a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5s=（1+2+3+11）+4a=66+4a.X5-义4得66Tla=0,所以a=6,则S=18.考虑到含有*的五条线，有4*+（1+2+3+4+H）-t=5S=90.即4*-t=24,由t是111间的数且t#*,可知*=7,而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x66 + 4a=5s首先考虑以下四条直线：（h、f、a）,（i、g, a）,（x、d、b）,（j、e、c）,除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S,则有：（1+11） Xll+2+a=4S,即66+a=4S.再考虑以下五条直线：（h、f、a）,（i、g, a）,（j、x、a）,（e, d、a）,（c、b、a）,同理我们可得到66+4a=5S.66+ a =45综合两个等式，可得a为6,每条直线上和S为18.最后考虑含 x 的五条直线：（x、h）,（x、g、f）,（j、x、a）,（x, d, b）,（i、x、c）.其中除了 x 出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到：66+4xe=5S=90,即4x-e=24,由 e 是111间的数且 erx 可知 x=7.即每行相等的和S为18,*所填的数为7.7.一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数.已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数.2,3-4,5【分析与解】方法一：一=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=77777n ,0.714285,一=0.857142。7对应有142857,285714,428571,571428,714285,857142,它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍.且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意.所以这个六位数为142857.方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1,不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为abcde ,那么6个六位数中必定存在一个数为诙疝.而个位数字1,只能由1X1,3X7或9X9得至ij.但是abcdel只能对应为labcde X (26),所以只能是 iabcde X3得到.即 abcdel-abcde X3.于是，我们不难递推出d为5, c为8, b为2, a为4,所以这个六位数为142857.方法三：部分同方法二，abcde-abcde X3.那么有abcde X 10+1=(100000+ abcde) X3,解得abcde =42857.所以这个六位数为142857.第三讲最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最小值的问题,解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的.典型问题1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20,20,21,21时满足条件，且总和最少.这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，a+b + c>61有<2，+得：3(a+b+c+d)2244,所以 a+b+c+d2811，因为 a+b+c+da + c + d>6l®3b + c + d>6®均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82.fa + b + c)60a+b+d60评注：不能把不等式列为<,如果这样将+得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80,因为a+c+d60b+c+d60a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至丁为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2 .用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCXDE-FGHXIJ尽可能的大，ABCXDE尽可能的大，FGHXIJ尽可能的小.则ABCXDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751,93.则FGHXIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468X20.所以 ABCXDE-FGHXIJ 的最大值为751X93-468X20=60483.评注：类似的还可以算出FGHXIJ-ABCXDE的最大值为640X82-379X15=46795.3 .将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9,9显然只能放到图中的位置，最后是8,8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.8 X 7+7 X 10+10X6+6X9+9X8=312;9X7+7X 10+10 X 6+6 X 8+8 X 9=313.所以，最小值为312.4 .一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？【分析与解】设这个两位数为ab=10a+b,它们的数字和为a+b,因为10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b =9a (mod a+b),设最大的余数为k,有9a三k(mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m,因为9a、18nl均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18,即0,9,也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18,即最大为17时，p._I m=7+9t第一种情况：余数最大为16,除数a+b只能是17,此时有9a=15+17m,有(t为可取01ga=15+17t的自然数)，而a是一位数，显然不满足；区三种情况卜余数其次为15,除数a+b只能是17或16,除数 a+b=17 时，有 9a=15+17m,有除数 a+b=16 时，有 9a=15+16m,有，m=6+9t,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满 a=13+17t足;m=3+9t一(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只 a=7+16t能取7,对应b为16-7=9,满足;所以最大的余数为15,此时有两位数79+(7+9)=415.5.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字各诙，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9,减9 x x. X X数的百位为1,如果差的百位为8,那算式就是如下形式：8 x x剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7,因为百位数字为8,所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2,因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-I5X-14X-13X-12X-14X8Xx'8Xx'8Xx'8Xx'8XX96X96X95X95X94X-13X-12X-13X-12X-12X8Xx'8XX，8XX8Xx'8XX得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：97x97x97x97x97x-15x.-14x-14x -13x-12x82x，82x'83x，84x，85x，97 x 96 x96x96x95x95x-12x -13 x -12 x -12 x -13x - I 2 x84 x *82 x '83 x '84 x 1-82 x ,_83 x '但这时剩下的数都无法使算式成立.再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8,因此，算式可能的形式为:9 3 x 9 4 x-1 5 x - 1 5 x7 8 x '7 8 x ,92x92x93x-13x-4x-14x78x *-78x，-78x，94 x 95 x-16 x -16 x78 x '"78"x '再考虑剩下的三个数字，可以找到如下儿个算式:-152-162784,-783,所以差最大为784.6.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？【分析与解】设这四个分数为上-、,L、一(其中mn、a、b均为非零自然数)2m 2n 2a+l 2b+l/1I _1111_11有+,贝!有-»2m2n 2a+l2b+l2m2b+l 2a+l2n我们从m=l,b=l开始试验：+ +2 6 3 4 4+n - 6 +1 - 6-1 - 411111111114205885306101011111+,65101212"我们发现，和,分解后具有相同的一项L,而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条5610+=+,所以最小的两个偶数和为6+10=16.5156107.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】13个整数的和为100,即偶数，那么奇数个数定为偶数个，则奇数最少为2个,最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136,显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16,还是大于100,仍然不满足：当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56,6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36,满足，如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.第四讲几何综合内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.典型问题图 30-21.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为x,有：I11()x-x2S正方形486=1°x 10=100, S正方形cefg =x., SGF = DG xGF=(10-x)x=-,1 110x+x又Sl =一x 10X10=50, Sabef =_00+x)x=.阴影部分的面积为：u正方形4BG的T QCEFG T aDGF °AABD °MEF._2 IO%- X_1 Ox + X_/F_JL_LW、=100+ x2+50=50(平方厘米).2 2方法二：连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.有DFB、ADBC共底DB,等高，所以这两个三角形的面积相等，显然， DBC的面积-xl0x10=50(平方厘米).2阴影部分ADEB的面积为50平方厘米.2.如图30-4, ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI 等于多少度?图30-4【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有/1=180°-(/1+/2),而Nl=180°-N3, Z2=180°-Z4,有/I=N3+N4T80°同理，NH=N4+/5T80°, ZG=Z5+Z6-180°,/F=N6+/7T80°, NE=N7+N8T80",ZD=Z8+Z9-180°, ZC=Z9+Z10-180°, ZB=Z10+Zll-180°, ZA=Z11+Z3-18O0H则NA+/B+NC+ND+/E+NF+/G+NH+NI=2X (Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Z1D-9X 180°而N3+/4+N5+N6+Z7+/8+N9+/10+N11正是9边形的内角和为(9-2) X 180"=1260°. ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI-2X 1260-9X 180°=900°3 .长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基木长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如，短边长分别是1,2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设aLlCaKasSKas分别为5条短边的长度，则我们将这种选择方式记为(a., a% a:1, a, a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.图30-6【分析与解】我们以儿个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出.第一类情况:为特征的有7组:第2种情况第1种情况第第情况第4钟情况第二类情况：以为特征的有6组:第7种情况种情况iLL5611第9种情况第三类情况有如下三组:第14种情况1I 252514第话情况共有16组解，它们是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).4 .如图30-8, ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E, F分别为边AB, BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？图3O-8【分析与解】如下图所示，连接EC,并在某些点处标上字母,因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2,所以Seg ：=1：4，SgG。X 5A£CG = Seg X SgcG，且有AAGD =5A£CG ,所以: MDG =1：2，而这两个二角形高相同，面积比为底的比，即EG： GD=1:2,同理FH： HD=1:2.有 SgE。= SMeg +Smg。，而 Saaed =5X5X3 ABCD =18（平方厘米）有 EG: GD= SMEG : Smgb ,12所以 SgEG =；二'xSmeq =6（平方厘米）SMGD =X5M£D =12（平方厘米） Z-XrlI 1.1 z£1/1JU /ri，同理可得S.fc =6（平方厘米），Sgc”=12（平方厘米），5Aoeg =450而=4x6=24（平方厘米）又 Saghd= Swcg-S 瓯H =24-12=12（平方厘米）所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的阴影部分面积为72-24=48（平方厘米）.5 .图30To是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米?图30-10【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.设4AEG的面积为x,显然AEBG、BFG、AFCG的面积均为x,则AABF的面积为3x,Saabf ='x20xl°=100即x = W2,那么正方形内空白部分的面积为4*=理-所以原题中阴233影部分面积为20、20-理=型（平方厘米）.336 .如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.图30-12【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.1 O大半圆的面积为34+36+3上小圆的面积=2x32'乃=".2 22而小圆的面积为万,则A +八仁一 3；万卜3g原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为一+一=一开2367.如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4, BC=3, AC=5,求AD边扫过部分的面积.（乃取3.14）图 30- 14【分析与解】如下图所示,如下图所示，端点A扫过的轨迹为AA2',端点D扫过轨迹为DDD',而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD, A'D'所形成的封闭图形内，且这个封闭