同济大学线性代数习题答案.docx
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1) 1 4 1-1831 1 1(3) a b c ； a b c20解1 -4-1 8a b c；(2) b c acabx y x + y(4) yx + yx .x + y x y1-1=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+1x1x83-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=24+8+164=-4(2) b c a = acb + bac + cba - bbb -aaa - ccc cab=3abc -a3,-b3-c31 11(3) a b c = be2+ca2+ab2-ac2- ba1-cb22.22a b c=(a- b)(b - c)(c -a)x y x + y(4) y x + y xx + y x y=x(x + y)y + y)+(x + y)yx - j3-(x + j)3-x=3xy(x + j)- J3-3x2j -3j2x - x3- j3- x3=-2(x3+ j3)2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1)1234；(2)4132；(3)3421；(4)2413；(5) 13(2«-1)24(2n)；(6) 13(2-1)(2n)(2-2)2.解(1)逆序数为0(2)逆序数为4：41,43,42,32(3)逆序数为5：32,31,42,41,21(4)逆序数为3：21,41,43(5)逆序数为迎心：In - 1) 2, (2n - 1) 4, (In - 1) 6,个个个.(In -1) (2n - 2)( -1)(6)逆序数为(-l)3252,54(2/1-1)2,(2n -1)4,(2n -1)6,，In -1)(In -2)(D个421个62,642个(2n)2,(2n)4,(2n)6,(2n)(2n-2)(一1)个3 .写出四阶行列式中含有因子由浮23的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为2P243P3”。，其中，为 PiP2P3P4的逆序数由于 Pi=1，P2=3已固定，PiP2P3P4只能形如13口口，即1324或1342.对应的f分别为0+0+1+0=104-0+0+2=2一411423432。44和411。23434a42为所求4 .计算下列各行列式:(1)4112105014207(2)(3)-abbdbfac-cd cf411004110411012205211123123(4)12301100ae de ef7-10|2 x(l产-1410-214c2+C390172315-12023124236112=242340200aedebf cf -efr4 fl5a10090171-120231011201b102021423610-2144236-120112201-102-14002()2423002001=adfbce 110 1 + ab-1 b0-1I 000|c3 +dc2ad1 + cd011-11=4abcdef1-1«100-1b10 T+ ar20-1c100-1d1+ ab a =(-l)(-l)2+1-1 c0-1=(-l)(-l)3+21+ abad1+ cd-abed +ab + cd + ad +1ay +bz az + bx ax + byaz + bx ax + by ay +bzy z z xX y(a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)25.证明:a2abb2(1) 2a a+b 2b=(a-b)111ax + by(2) ay + bz az + bxa2(a +l)2(a+2产(3) b2(b +1)2(b +2)2c2(c +1)2(c +2>d2(d +1)2(d +2)21111«4 b4 c4 d4=(a -b)(a -c)(a -d)(b -c)(b-d)(c -d)(a + b + c + d);X10o00X-100.000*X1%an-2x + ax“2 ax"+axx"l d-an_xx + an.证明(1)左边=二=1 c3- qlar2“2 b a2b 2m0=(b-a)(b-a)b + a2=(a -b)3=右边左边分开x ay + bz y az + bx z ax + byaz + bx ax + by ay + bz分别再分-=aay + bz az + bx ax + by+0+0+8ay + bz az + bx ax + byaz +bx ax + by ay + bzaz + bx ax + by ay + bz分别再分 aa3+ b3+ b3a2a +(2<i +1)(a +2)2(a+3)b2b2+(2b + l)(b +2)23+3)c2c2+(2c + l)(c +2)2(c +3)d2d2+(2d + l)(d +2)2(d +3)(-1)2=右边yXy(3)左边=22ab2i2a + l2b+12c+12d + l4d +44b+44c +44J +46a +96b+96c +96d +9按第二列分成二项d2第一项3/2 c4-6c2第二项32C4-9c 2a2.2d2(4)左边=aa1a4b b2-0b-a22»-a44 ，一。b2(b2-a2)4tt+44b+44c+44d +4444406a +96b +96c +96d+9d214a +44b +44c+44d+46a+96b+96c +96d+99999a1.2d1011114a4b4c4d6a6b6c6dcc2-a2) d2(d2-a2)=(b - a)(c a)(d - a)b2(b + a) c2(c + a)1d + ad2(d+a)=(b a)(c a)(d a)x0c-bb2(b + a) c2(c +a)-b2(b + a)0d bd2(d+a)-b2(b + a)=(b - a)(c - a)(d -a)(c - b)(d - ft) x11(c2+bc + b2)+ a(c + b)(d2+ bd + b2)+a(d + b)=(a -b)(a -c)(a -d)(b -c)(b -d)(c-d)(a+b + c+ d)(5)用数学归纳法证明x 1当=2时,0,=/+%,命题成立.a2 x +«1假设对于(-1)阶行列式命题成立，即w-kM-1M 2D时i = x +4/+限+%，则。”按第1列展开：10,00x -1.000“= xD+a(-l)n+1=xDn_l+an=右边11x 1所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式O = det(%),把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转，依次得证明仇=。2=(-1)豆 d,d3 = d. 证明 / D = det(a)2Dn(n-l)同理可证£>2= (T) 211nl=(-1) 2 DT = (-1) 2 Dalnn(n-l)D3=(-1)202=(7)2(-1)2 D = D = D7.计算下列各行列式（0为女阶行列式）：，其中对角线上元素都是。，未写出的元素都是0; Dn+l(a - ir(a -1)"-1(a-n)na-n1提示：利用范德蒙德行列式的结果.(5) Dn = det(0),其中&=i- j;(1) D(1严1 +。2,其中。刈2%# 0-按最后一行展开(再按第一行展开)=(一1)凡 (一1)"+ a = a aan2(a2 -1)(w-2)(n-2)(2)将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得a- x 0再将各列都加到第一列上,x +(n- l)a aa a0x-a 00D“二00 x-a 00000 x-a=%+（- l）a（x从第+1行开始，第+1行经过次相邻对换，换到第1行，第行经（-1）次对换换到第2行，经+（一1）+1=见*2次行交换，得111n（n+i） aa-1 a-n4+1=（-1）丁优1.（“一）"Ta（a 1）（4）”此行列式为范德蒙德行列式Dn+i =(-1)口(a - i +1)-3- j +1)=(-1)-n.）二（T）5+l)2)+1 _(-1)-2- n (”/=n(f 於1按第一行0%"0；展开-UnC山cn .0d.0nn-i00 d n0瓦Ta bi 0Ci did n-l00° an-i2+10+(-1严4 C n-都按最后一行展开-b“C“D2n-2由此得递推公式:=ndn-bncn)D2n_2即。2”=11(4,4一，£)。21=2得。2”=n(%4-q)i=l%=-0123n-l1012n-22101n-3D - det(a )=*/3210n-4*.n-ln-lfl-3-40-1111111111。一211-111C2+ C12-，3,11-1-11C4+。1，.n-1 n-2-3 n -40100001-2000-1-2-200=(一1尸51-2-2-20n-12m32/i 4In-5n-11+ ai11(6) Dn =1l +“21C1-c2，C2一03C3-C4,111+%ax 00001一% a, L000106r, a.00133按最后一列00-Q i,0014展开（由下往上）,000dn ai10000an 1+4ax 00000一。200000a3000(l +«)(0200«4000*000an-2 an-2000000 a,%0000-a2 a20000-a3 a300+十+000一%0000-ana2 a20000-a3 a30000-a400-ooo .-%000 o 明=(1+4")3避2%.1)+%+ a2a3明丹1=(ala2-'-an)(l+ X-)8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)x1+x2+ x3+ x4=5, xx +2x2- x3+4x4=-2,2X3x,一 X35x4=2,3占+ x2+2x3+ llx4=0;5x1+6x2=1,X+5x2+6x3=0,(2k x2+5x3+6x4=0,x3+5x4+6x5=0,11111111(1)D =121401-232-31505-3-7312110-218+5x4解-2-2-13-1-54=-14214142-2-2-3-5-31111-9-911-13-5-3-23-1011-91146-13-3-23-91138=-142151115111-2-140-7-2322150-12-3-7302110-15-18023120000142=15111511032013200231100-1-19003931000-284=-284115-3一2=-426-3-2-2=142006655100=3,x -2-1% D=5D'-6D,t=5（5。"-60）6。"=190-30。”=650"'-1140'"'=65 x 19-114 x 5=665为行列式O中的余子式为O'中妨的余子式,6',类推）0£>, = 00651000 06 05 61 50 100065按第一列展开0 0 06 0 05 6 01 5 6=£>,+64=1W 30""+64=15071 00 60 50 11 00065按第二列展开6 0 05 6 01 5 60 1 55 0 0 016 0 00 5 6 00 15 6560=156-5 x 63=-65-1080=-1145015561001500560015000按第三列01601500D3=0106()+展开00560160000560015005600115605560101560560015600按第四列01501560D4=()1500_-展开0016015000106000500160001556()01506 05 0 =19 + 6x114 = 7031 65 6+61=-5-6156=-3955600115600D5 = 0156000150000111 5 按最后一列0 1 -BW 0 o0 06 05 6,+ D' = 1 + 211 = 2121 50 115071145703665665-395X-=4665212665015AX1+ x,+ x3=09 .问丸，取何值时，齐次线性方程组,%+必？+/=。有非零解?X14-2jux24- x3=0211解 D3=1 m 1=-以,12M 1齐次线性方程组有非零解，则。3=。即一以=0得n =0或4=1不难验证，当=0或；I =1时,该齐次线性方程组确有非零解.(1-4)X-2x2+4x3=010 .问碗何值时，齐次线性方程组-2修+(3-2)x2+ x3=0 X +“2+(1义)£=0有非零解?解一 3 + 441-2101-2=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)=(1-%)3+2(1-2)2+2-3齐次线性方程组有非零解，则。=0得4=0,；1=2或;1=3不难验证，当；I =0,4=2或;I =3时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换：Xi =2)+2y2+%«/=3%+为+5%，产3=3必+2y2+3%求从变量X,x2,x3到变量y 1, y2,%的线性变换.解由已知:必y2X,1、5J1，2“2'-76、39、-7/J1y2一4八为V,=-7x(-4x,+9x, y2=6%i +3x27x3 y3=3Xj +2x2-4x33=一句 的线性变换.+ 3%，2.已知两个线性变换卜1=2%+%，卜2=-2必+3y 2+2%,卜+乃+5%，求从名a2*3至()工1，*2，13Ji =-3zi +z2,)2=2Z1+13、由已知'2-2J'-612-1013丫-494Z2'20-23J IT 16人Z3J1Y-325>Zi占=-6z,+z2+3z3所以有«工2=12均-4zz +%x3-10zj -z2+16z311 1、3.设4= 1 1 -1102-25求3AB-2A及1凡解( i i Y i3AB -2A =311-1-10=30J11ArB=11J 113、4=b4.计算下列乘积:140、01-123、(-24-211-1=-2-17(2)(1,2,3J 231)-12-31；(5)(X,*2,*3)0121 oYi o2922、202,(6)(1I。解210001012100。33人”3 J31、2-1-230一3,31Y7A(1)1<5-232058、0-56、290,2、1(-1,2);4x7+3x2+lxl1x7+(-2) x 2+3 x 15x7+7x2+0xl(2)(12312=(lx3+2x2+3xl)=(10)，35、6J，2、(3)1(-12x(-1)2)=1x(-1).3x(-1)fl 32x2、1x23x2,1、r-24、-1236,21一2J“33人”3(206J(aHXj +012-2+fl13x3 ai2X+a22X2+(l23X3413%+。23*2+433%3121+ a22X2+ a 33Xj + lanxxx2+2a13X1X3+2a23x2x3(6)-21°3J102、43一力5.设A =2、3,0、2>问:(1)AB = BA 吗？(2)(A + B)2= a2+2AB +2吗?(3)(4+ B)(A-B)= A1-吗？解(1)A =2、J 3,10、J 2,则AB -14BA =f2、38,：.AB，BA(2)(A + B)2HA2+2AB + B2丫25人2(382、5;411J81414、2力68W10A+(81234J1016、1527,故(A + B)2 w A2+2AB + B2(3) (A + B)(A-B) =a2-b2rld345 J8、IL0 9)(2 8、(3 4J(A + B)(A-B)A2-B6.举反列说明下列命题是错误的：(1)若A?=0,则A =0;(2)若42=4,则A =0或A =£(3)若AX = AV,且A/0,则X = y.取4 =取4 =I。"1OJ1、0>0、0>A? = a,但 a，o且 AhE4、=4丫且4/0但XwY7.设4 =101 232 1求 A *，解A2_(1 oY 1=U JU0、a3 = a2a =i22oYi o)利用数学归纳法证明：A& =T 0、1,0、当k = i时，显然成立，假设a时成立，则4+1时Ak = Ak A =T oYi o、jcX 1火力UoA由数学归纳法原理知:A* =T 0、% 1 0、8.设4= 0 A 1，求A*.k0 0%解首先观察oYAA222 外01 124矛7A3 = A2 - A =3A2A303A32223Akk(k-V)(k>2)用数学归纳法证明:当左=2时，显然成立.假设人时成立，则4+1时,/Ak+i=Ak -A=00/止1(k +1)乃 t=0户100处少22z女尸010、210乙(k + l)k 沪2 A仅+1)才T/k 必-1由数学归纳法原理知：Ak =0尤00证明加AS也是对称矩阵.9.设4,8为m阶矩阵，且A为对称矩阵,证明已知：Ar = A则（BrAB）r = Br（BrA）7=乂 B = AB 从而必AB也是对称矩阵.10 .设都是/阶对称矩阵，证明4是对称矩阵的充分必要条件是AB = BA.证明由已知：AT = A Bt = B充分性：AB = BA=> AB = Bt A，= A6=（AB）7即AS是对称矩阵.必要性：（AB），= A3=*=48=54=4氏11 .求下列矩阵的逆矩阵:(22、5>cos 6 sing-sin。、cose )(3)(4)02120、004,(6)an )d)A =2、5;2-1520000850、032)同=1A”=5, A2j =2 x (1), A12=2 x (1), A 22=1闺= lw0故A】存在An =8S0从而A2l =sin。 A12=-sin A22=cos®而故(4)A= 2(3)|A|=2,故A-1存在A”=-4An =-13A3=-324-1-A*飞000、2 003 304 14,24 A2i =1 - 31-12 - 21-65 一240 03 0=-121 42 01 3=32 10 01 3 =-52 121201202200 =-124()0 =-4400 =-21I 8|A| = lwO故4T存在而 An = 1A21 = -2 A31 = 0 A. = 042 = - 2 An = 5 A32 = 0 A42 = 01A12=(-l)3211A14=(-D5211A24=(-1)6214T -_A*(112故A-;_1-2A13=(-l)4211A23=(-1)5211A34= JU 110、0=2 A43=一343A13=0 A23=0A44=8从而qT =0、0<al(6)4=%050020-5000-38由对角矩阵的性质知A'=12.(1)(4)解解下列矩阵方程:0、231X1-12J(T(71-4rl)105TY42)仙11-13、2)-5Y4-6、2人-1131433、%-238T2370333 OOOOOOOX1010o Oo Oo o o O3-1-13 O1-4IV 4 OO-4-2O -、013428-31-1O 213.利用逆矩阵解下列线性方程组:巧+2x2+3x3=1,2xx +2x2+5x3=2,3x,+5x2+=3;225(1)方程组可表示为3丫%八23从而有方程组可表示为故故有14 .设A*=0(左为正整数)，证明(E-AV1= E + A + A2+-+ Ak-l.证明一方面，E =(E-A)-i(E-A)另一方面，由A*=0有E =(J? A)+(A A2)+ A2-Ak l +(A*t Ak)=(E + A + A2+-+ A"1)(£- A)故(E - A)E - A)=(E + A + A2+-+ Ak-l)(E - A)两端同时右乘(£-4)T就有(E - A)-1= E + A + A2+ A*-115 .设方阵A满足42一4一2旧=。,证明4及4+2£都可逆，并求及(A +2E)-1.证明由 A?- A-2E=O得42a =2E两端同时取行列式：|A2-A|=2即|皿-剧=2,故|A|#0所以A可逆，而A +2E = A2|A +2E|=|A2|=|A|20故 A +2E 也可逆.由*- A -2£=。=> A(A -£)=2E=>A1A(A-E)=2AlE=Al =(A-E)又由 A2-4-2E=O =(A +2E)A -3(A +2E)=-4E=(A +2E)(A-3E)=4E/.(A +2£)T(A +2E)(A -3E)=-4(A +2E)-1/.(A +2E)-X =-(3E-A)033、16 .设4=110,AB = A +23,求-123,解由48= A +23可得(A -2E)B = A 故命题成立.'-2故6 = (4 - 2石尸4= 1I 13-12310L0 31 1-1 23、 03;0 3-1 2J 13、3017.设尸tap = a,其中尸=I 1一 4、小二(-1 oA(0 2)，求解 尸-"尸=人故4 =尸心7所以4" =PA”piP = 3 PIf 13-1而 An =-1oY1-1故A"=(002110、 2n?1313(2731 2732、683 684,18.设次次多项式/(X)= a° +atx + a2x2 HFamx/n，记f (A) = a0E + axA + a2A2 HF amAm/(A)称为方阵A的机次多项式.设A ="0、0 4，证明：A* =/(A)0设从二尸心，证明：Ak =PAkp-f(A) = Pf(A)P-l.证明(1) i)利用数学归纳法.当A = 2时A2 =2, 010 4火。2J命题成立，假设A时成立，则A +1时%； 0<0无A. =A*A =I o A+l)ii)左边=/(A)=«0E +”1A +42A2+ g,"A'"'片,0、(0 1J% + + , +f - I. =右边0“0 + 41 儿 2 + “2丸2 + , , , + a,” 40和0fW o、o /a2)>(2) i)利用数学归纳法.当左=2时A2= PAPTPAPT = pVpT 成立假设4时成立，则无+1时Ak+i =Ak A = PNp 'PNP '=P八*+卬-1成立,故命题成立,即 Ak =PAkP-lii)证明右边="(A)。=Pct0E + a、A +42A+*, A"')P 1= a0PEPl +“1PAPT +a2PA2尸t + a“/A/np-i= aQE + aA + a2A2 HF=/(A)=左边19.设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：(1)若|A|=0,则|a*|= o；证明用反证法证明.假设,卜0贝U有4*(A*)T = E 由此得 A = AA*(A*)T =AEiA*)-1= O A*=O 这与|A*,0矛盾，故当国=0时有=01由于A-1=不4*,则AA*A取行列式得到：|a|a*|=|a若同/0则=hl若闾=0由知性*|=0此时命题也成立20.取A = B =-C = D =检
