2023年八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题.doc
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2023年八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题.doc
平行四边形知识点一、四边形相关 1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于180°; 多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°。2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n,则多边形的对角线条数为。3三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.二、平行四边形 1定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质,又是一个鉴定方法2平行四边形的性质:平行四边形的有关性质和鉴定都是从 边、角、对角线 三个方面的特性进行简述的(1)角:平行四边形的对角相等,邻角互补;(2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等;(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分;(4)面积:; 平行四边形的对角线将四边形提成4个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形方法2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 方法3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法4: 对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1. 矩形定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。2. 矩形性质边:对边平行且相等; 角:对角相等、邻角互补,矩形的四个角都是直角;对角线:对角线互相平分且相等; 对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条)3. 矩形的鉴定:满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形; 对角线相等的平行四边形; 四个角都相等辨认矩形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角 先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等 说明四边形ABCD的三个角是直角4. 矩形的面积 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab四、菱形1. 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2. 菱形性质边:四条边都相等; 角:对角相等、邻角互补;对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角; 对称性:轴对称图形(对角线所在直线,2条)3. 菱形的鉴定:满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形; 对角线互相垂直的平行四边形; 四条边都相等辨认菱形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等 先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直 说明四边形ABCD的四条相等4. 菱形的面积设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b,则S菱形=五、正方形1. 正方形定义:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形。它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形。2. 正方形性质边:四条边都相等; 角:四角相等;对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450; 对称性:轴对称图形(4条)3. 正方形的鉴定:满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形; 对角线互相垂直的矩形 有一个角是直角的菱形 对角线相等的菱形;辨认正方形的常用方法 先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形ABCD为矩形,再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形ABCD为菱形,再说明菱形ABCD的一个角为直角4. 正方形的面积 设正方形ABCD的一边长为a,则S正方形=;若正方形的对角线的长为a,则S正方形=六、梯形1. 梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形:是一种特殊的梯形,它是两腰相等的梯形。特殊梯形尚有直角梯形(有一个角是直角)。2. 等腰梯形性质边:上下底平行但不相等,两腰相等; 角:同一底边上的两个角相等;对角互补;对角线:对角线相等; 对称性:轴对称图形(上下底中点所在直线)梯形中位线定理:梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。3. 等腰梯形的鉴定:满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 同一底两个底角相等的梯形; 对角线相等的梯形辨认等腰梯形的常用方法 先说明四边形ABCD为梯形,再说明两腰相等 先说明四边形ABCD为梯形,再说明同一底上的两个内角相等 先说明四边形ABCD为梯形,再说明对角线相等4. 梯形的面积 设梯形ABCD的上底为a,下底为b,高为h,则S梯形=一、学习目的 复习平行四边形、特殊平行四边形、梯形的性质与鉴定,能运用它们进行计算或证明.二、学习重难点 重点:性质与鉴定的运用;难点:证明过程的书写。1平行四边形是特殊的 ;特殊的平行四边形涉及 、 、 。2梯形 (是否)特殊平行四边形, (是否)特殊四边形。3特殊的梯形涉及 梯形和 梯形。4、本章学过的四边形中,属于轴对称图形的有 ;属于中心对称图形的有 。四、复习过程 (一)知识要点1:平行四边形的性质与鉴定OABCD1.平行四边形的性质:(1)从边看:对边 ,对边 ;(2)从角看:对角 ,邻角 ;(3)从对角线看:对角线互相 ;(4)从对称性看:平行四边形是 图形。2、平行四边形的鉴定:(1)鉴定1:两组对边分别 的四边形是平行四边形。(定义)(2)鉴定2:两组对边分别 的四边形是平行四边形。(3)鉴定3:一组对边 且 的四边形是平行四边形。(4)鉴定4:两组对角分别 的四边形是平行四边形。(5)鉴定5:对角线互相 的四边形是平行四边形。【基础练习】1.已知ABCD中,B=70°,则A=_,C=_,D=_2.已知O是ABCD的对角线的交点,AC=38 mm,BD=24 mm,AD=14 mm,那么BOC的周长等于_ _.3.如图1,ABCD中,对角线AC和BD交于点O,若AC=8,BD=6,则边AB长的取值范围是( ).A.1AB7 B.2AB14 C.6AB8 D.3AB44.不能鉴定四边形ABCD为平行四边形的题设是( )A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,ADBC D.ABCD,ADBC5.在ABCD中,AEBC于E,AFCD于F,AE=4,AF=6,ABCD的周长为40,则ABCD的面积是 ( )A、36 B、48 C、 40 D、24【典型例题】OABCD例1、若平行四边形ABCD的周长是20cm,AOD的周长比ABO的周长大6cm.求AB,AD的长. 例2、 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BCD的平分线CF交边AB于F,ADC的平分线DG交边AB于G。(1)求证:AF=GB;(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得EFG为等腰直角三角形,并说明理由 【课堂练习】:BEFCAD1、已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF,(1)试判断BE、CF的关系;(2)若E、F是平行四边形ABCD对角线AC延长线上的两点,上述结论还成立吗?说明理由 2、如图,四边形ABCD为平行四边形,M,N分别从D到从B到C运动,速度相同,E,F分别从A到B,从C到D运动,速度相同,它们之间用绳子连紧。(1)没有出发时,这两条绳子有何关系?(2)若同时出发,这两条绳子尚有(1)中的结论吗?为什么?(二)知识要点2:特殊平行四边形的性质与鉴定1矩形:(1)性质:具有平行四边形的所有性质。此外具有:四个角都是 ,对角线互相平分并且 ,也是 图形。(2)鉴定:从角出发:有 个角是直角的平行四边形或有 个角是直角的四边形。从对角线出发:对角线 的平行四边形或对角线 且互相 的四边形。2菱形:(1)性质:具有平行四边形的所有性质。此外具有:四条边都 ,对角线互相 且 每一组对角,也是 图形。(2)鉴定:从边出发:一组 边相等的平行四边形或有 条边相等的四边形。从对角线出发:对角线互相 的平行四边形或对角线互相 且 的四边形。 3正方形:(1)性质:具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质证明证明证明(2)鉴定方法环节: 矩形四边形 平行四边形 正方形 菱形【基础练习】 OADBC1、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AOD=120,AC=12cm,则AB的长_ _2、菱形的周长为100 cm,一条对角线长为14 cm,它的面积是_.3、若菱形的周长为16 cm,一个内角为60°,则菱形的面积为_cm2。4、两直角边分别为12和16的直角三角形,斜边上的中线的长是 。5、下列条件中,能鉴定四边形是菱形的是( )A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分且相等C.两条对角线相等且互相垂直 D.两条对角线互相垂直平分6、在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,增长一个条件 可以鉴定四边形是矩形;增长一个条件 可以鉴定四边形是菱形。ABCDE7、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,能鉴定它是正方形的是().A.AOOC,OBOD B.AOBOCODO,ACBDC.AOOC,OBOD,ACBD D.AOOCOBOD8、如图,E是正方形ABCD内一点,假如ABE为等边三角形,则DCE= °.【典型例题】BDCPEA例3:如图,BD,BE分别是ABC与它的邻补角ABP的平分线,AEBE,ADBD,E,D为垂足求证:四边形AEBD是矩形例5:如图,点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上,BE=CF. AE与BF相等吗?为什么? AE与BF是否垂直?说明你的理由。【课堂练习】1、如图,矩形ABCD中(AD2),以BE为折痕将ABE向上翻折,点A正好落在DC的A点,若AE=2,ABE=30°,则BC=_.2.如图2,菱形ABCD的边长为2,ABC=45°,则点D的坐标为_ 1 题图 2题图 4.在ABC中,ADBC于D,E、F分别是AB、AC的中点,连结DE、DF,当ABC满足条件_时,四边形AEDF是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可). 5、如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,试说明四边形AFCE是菱形.6、如图,分别以ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG,连接CE,BG.试判断CE、BG的关系.GCBEDAF平行四边形练习1、一个多边形的内角和为1620°,则这个多边形对角线的条数是()A27B35C44D542一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的平行关系没有发生变化,若1=75°,则2的大小是( )A75º B115º C65º D105º 第4题图12(第2题图)第3题图3如图3,在ABCD中,BM是ABC的平分线交CD于点M,且MC=2,ABCD的周长是在14,则DM等于()A1B2C3D44. 如图4,在ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF:FC等于()A3:2B3:1C1:1D1:25. ABCD中,对角线AC与BD交于点O,DAC=42°,CBD=23°,则COD是()A61°B63°C65°D67°6过ABCD对角线交点O作直线m,分别交直线AB于点E,交直线CD于点F,若AB=4,AE=6,则DF的长是 (第7题图) 7. 如图7,ABCD中,ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AEBD,EFBC,DF=2,则EF= 第5题图8. 在ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,EBD=20°,则A的度数为 9. 在ABCD中,ABBC,已知B=30°,AB=2,将ABC沿AC翻折至ABC,使点B落在ABCD所在的平面内,连接BD若ABD是直角三角形,则BC的长为 ABCDEFG10如图,已知:ABCD中,BCD的平分线CE交AD于点E,ABC的平分线BG 交CE于点F,交AD于点G求证:AE=DG11如图,四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为点F,E为四边形ABCD外一点,且ADE=BAD,AEAC(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)假如DA平分BDE,AB=5,AD=6,求AC的长12如图,在菱形ABCD中,AB=6,ABD=30°,则菱形ABCD的面积是()A18B18C36D36第15题图第14题图第13题图第12题图13如图,将矩形纸带ABCD,沿EF折叠后,C、D两点分别落在C、D的位置,经测量得EFB=65°,则AED的度数是()A65°B55°C50°D25°14如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰好与点O重合,若BC=3,则折痕CE的长为()ABCD615如图,菱形ABCD中,AB=4,B=60°,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,连接EF,则的AEF的面积是()A4B3C2D16如图,已知在梯形ABCD中,ADBC,BC=2AD,假如对角线AC与BD相交于点O,AOB、BOC、COD、DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4,那么下列结论中,不对的的是()AS1=S3BS2=2S4CS2=2S1DS1S3=S2S4 第17题图第16题图第18题图 17如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,BE=1,F为AB上一点,AF=2,P为AC上一点,则PF+PE的最小值为18已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BCCDDA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为或秒时ABP和DCE全等19已知,如图,在四边形ABCD中,ABCD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DFBE,AC平分BAD求证:四边形ABCD为菱形20我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD对角线AC,BD相交于点O,OEAB,OFCB,垂足分别是E,F求证OE=OF21. 如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE(1)求证:DEAG;(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°360°)得到正方形OEFG,如图2在旋转过程中,当OAG是直角时,求的度数;若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF长的最大值和此时的度数,直接写出结果不必说明理由22. 如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,(1)求证:四边形AECF为平行四边形;(2)若AEP是等边三角形,连结BP,求证:APBEPC;(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求CPF的面积中位线专练例1:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?例2:如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、DO的中点,四边形EFGH是矩形吗?为什么?例3:已知:如图,AD是ABC的中线,E、G分别是AB、AC的中点,GFAD交ED的延长线于点F。猜想:EF与AC有如何的关系?试证明你的猜想。例4:已知在ABC中,B=2C,ADBC于D,M为BC的中点。试说明DM=AB例5:等腰梯形ABCD中,ADBC,EF为中位线,EF=18,ACAB,B=60°,求梯形ABCD的周长及面积。例6、已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,ABC=90°,E是梯形外一点,且AE=BE,F是CD的中点。试说明:EFBC。例7:如图,在梯形ABCD中,ADBC,M、N分别是两条对角线BD、AC的中点,试说明:MNBC且MN(BCAD)。MDCBAN例8:已知:如图,四边形ABCD为等腰梯形,ADBC,AC、BD相交于点O,点P、Q、R分别为AO、BO、CD的中点,且AOD60°。试判断PQR的形状,并说明理由?三、作业:1、已知:如图,在ABC中,D是AB的中点,DEBC交AC于点E。试说明:DE=BC。2、已知:如图,在ABC中,中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点。试说明:四边形DEFG是平行四边形。3、已知:如图矩形ABCD的对角线相交于点O,E、F分别是OA、OD的中点。试说明:四边形CBEF是等腰梯形。FEODCBA4、已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。试说明:EF与MN互相垂直平分。