矩阵的等价和等价标准.ppt

线线 性性 代代 数数 张保田张保田复复 习习内内 容容3.5 矩阵的等价和等价标准形矩阵的等价和等价标准形1.矩阵的秩矩阵的秩 定义定义2 2 设设A为为mn矩阵，如果矩阵，如果A中至少中至少有一有一个个r 阶子式不等于零，而所有阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式阶子式(如果如果存在存在r+1阶子式时阶子式时)都等于零，则称都等于零，则称 r 为矩阵为矩阵A A的的秩秩，记为，记为:r(A)或或R(A)或或秩秩(A)。规定：规定：零矩阵的秩为零矩阵的秩为0。矩阵矩阵A中不为零的子式的最大阶数称为矩阵中不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩。可等价定义为：的秩。可等价定义为：定理定理1 初等变化不改变矩阵的秩初等变化不改变矩阵的秩。定理定理2 矩阵乘可逆矩阵，其秩不变。矩阵乘可逆矩阵，其秩不变。2.定理定理2.1.2 设矩阵设矩阵A=aijmn 为非零矩阵，为非零矩阵，则通过则通过初等行变换初等行变换和和列互换列互换一定可把一定可把A化为化为约化约化阶梯形矩阵阶梯形矩阵 对矩阵对矩阵A继续进行继续进行列变换列变换一定可把一定可把A化为：化为：一、一、矩阵的等价矩阵的等价 定义定义 若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化成矩阵经过有限次初等变换化成矩阵B，则称矩阵，则称矩阵A与与B等价（或相抵）等价（或相抵），记为，记为AB。例如例如，因为任一个秩为因为任一个秩为r的矩阵的矩阵A等价于等价于 称此矩阵为矩阵称此矩阵为矩阵A的的等价标准形等价标准形。1.等价矩阵的概念等价矩阵的概念 性质性质 任意一个矩阵秩为任意一个矩阵秩为r的矩阵的矩阵A，经过有，经过有限次初等变换限次初等变换,可以化为下列可以化为下列标准形矩阵：标准形矩阵：r列列r行行2.等价矩阵的性质等价矩阵的性质 定理定理3.5.1 设设A，B均为均为mn阶矩阵，则下述阶矩阵，则下述条件中每一个都是条件中每一个都是A与与B等价的充要条件等价的充要条件：（1）存在）存在m阶可逆阵阶可逆阵P和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得（2）秩）秩(A)=秩秩(B).证明证明:(1)定理及推论；定理及推论；(2)必要性：必要性：初等变换不改变矩阵的秩；初等变换不改变矩阵的秩；充分性：由充分性：由秩秩(A)=秩秩(B)知道：知道：于是，存在可逆矩阵于是，存在可逆矩阵，使使 定理定理 秩秩(AB)秩秩(A),秩秩(AB)秩秩(B).证明：略（由向量可证）。证明：略（由向量可证）。矩阵的秩还有如下性质：矩阵的秩还有如下性质：(1)秩秩(A+B)秩秩(A)+秩秩(B);(2)设设A为为mn阶矩阵，阶矩阵，B为为ns阶矩阵阶矩阵,则则 秩秩(A)+秩秩(B)n秩秩(AB)min秩秩(A),秩秩(B)(3)设设A为为mn阶矩阵，阶矩阵，B为为ns阶矩阵阶矩阵,且且 AB=0，则秩，则秩(A)+秩秩(B)n;(4)设设A、B、C为同阶阶方阵为同阶阶方阵,则则 秩秩(AB)+秩秩(BC)秩秩(B)+秩秩(ABC);(5)(5)证证1:1:证证2:2:证证3:3:例例3.5.1 设设n1,解解:因为因为 求求:秩秩(AB),秩秩(A)=1,秩秩(B)=1.于是，秩于是，秩(AB)1；又因为又因为 AB0，可知秩可知秩(AB)1;所以，秩所以，秩(AB)=1。而而AB为为n(1)阶矩阵，所以，阶矩阵，所以，作业：习题作业：习题3.5 1-10 作业：习题作业：习题3.6 1-8 下节讲习题。下节讲习题。