1-1线性代数.ppt

线线性性代代数数主讲人主讲人:刘刘彬彬线性代数线性代数序言序言我们开设的我们开设的线性代数线性代数这门课程属于这门课程属于近代数学范畴。近代数学范畴。“线性线性”一词源于平面解析一词源于平面解析几何中一次方程是直线方程，在这里意几何中一次方程是直线方程，在这里意指数指数学变量之间的关系是以一次形式来表达学变量之间的关系是以一次形式来表达的。的。线性代数起源于处理线性关系问题，它是代线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，随着研究线性方程组和线数学的一个分支，随着研究线性方程组和线性变换问题的深入，先后产生了性变换问题的深入，先后产生了行列式和矩行列式和矩阵阵行列式和矩阵行列式和矩阵的概念的概念,为处理线性问题提供为处理线性问题提供了的理论工具，并推动了线性代数的发展。了的理论工具，并推动了线性代数的发展。由于线性问题广泛存在于自然科学和由于线性问题广泛存在于自然科学和技术科学的各个领域技术科学的各个领域，且某些非线性问题，且某些非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理在一定条件下也可转化为线性问题来处理因此线性代数知识应用广泛，这也使得线因此线性代数知识应用广泛，这也使得线性代数这门课程性代数这门课程越来越受到重视，因此也越来越受到重视，因此也成为考研的热门课程。成为考研的热门课程。线性代数线性代数主要内容主要内容：行列式、矩阵、行列式、矩阵、n维维向量、线性方程组、标准形与二次型向量、线性方程组、标准形与二次型，其中，其中行列式与矩阵是其基本理论。行列式与矩阵是其基本理论。线性代数线性代数这一门学科各章内容之间有较这一门学科各章内容之间有较强的渐进关系；概念具有多样性；有些理强的渐进关系；概念具有多样性；有些理论比较抽象；解决问题的方法富于变化；论比较抽象；解决问题的方法富于变化；对本课程的这些特点，在以后的学习中应对本课程的这些特点，在以后的学习中应予以注意。予以注意。第一章第一章 行列式行列式1.1n n阶行列式的定义阶行列式的定义1.2n n阶行列式的性质阶行列式的性质1.4克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则1.3n n阶行列式的计算阶行列式的计算n n阶行列式的定义、性质与计算阶行列式的定义、性质与计算n n阶行列式的定义、性质与计算阶行列式的定义、性质与计算 行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等行列式是线性代数中的一个基本工具。在初等数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研数学里已经介绍二阶、三阶行列式，现在为了研究究 n n 元线性方程组需要进一步讨论元线性方程组需要进一步讨论 n n 阶行列式。阶行列式。讨论二阶、三阶行列式讨论二阶、三阶行列式进一步介绍进一步介绍 n n 阶行列式阶行列式解决一类解决一类 n n 元元线性方程组求解问题线性方程组求解问题本本本本 章章章章 逻逻逻逻 辑辑辑辑 顺顺顺顺 序序序序性性性性质质质质与与与与计计计计算算算算为为为为重重重重点点点点第一节第一节 n n 阶行列式阶行列式一一.二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式 研究二元线性方程组：研究二元线性方程组：利利用用消消元元法法，得，得两式相减消去两式相减消去2x同理同理从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引从二元线性方程组解的形式可以发现，如果引入记号（入记号（叫做叫做二阶行列式二阶行列式）：）：则则其解可简洁地表示为：其解可简洁地表示为：表示代数和表示代数和即即定义定义 排成二行二排成二行二列，列，称为称为二阶行列式二阶行列式.用符号用符号把把4 4个数个数定理定理（克莱姆法则）（克莱姆法则）如果线性方程组的系数如果线性方程组的系数行列式行列式，则方程组有则方程组有唯一解唯一解解线性方程组解线性方程组由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式又又所以方程组的解为所以方程组的解为解解例例1例例例例解解 类似地，如果在求解三元方程组类似地，如果在求解三元方程组的过程中引入下列的过程中引入下列三阶行列式三阶行列式的记号的记号 其实，这个三阶行列式的展开式的值也可以用其实，这个三阶行列式的展开式的值也可以用下面的所谓下面的所谓主、副对角线法则主、副对角线法则得到：得到：并并规定规定其值为其值为：时，用消元法同样可得这个方程组的解时，用消元法同样可得这个方程组的解其中其中Dj（j=1,2,3）是用常数项是用常数项 b1,b2,b3替换替换系数行列式系数行列式D中的第中的第 j列列所得的三阶行列式。所得的三阶行列式。而且当三元线性方程组的系数行列式而且当三元线性方程组的系数行列式例例2解解D=计算行列式计算行列式例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有 但应当指出的是但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向主、副对角线法则不易于向一般一般 n阶行列式推广阶行列式推广。其中一项其中一项 的符号是什么呢？的符号是什么呢？这时这时用主、副对角线法则就不好确定了用主、副对角线法则就不好确定了！例如，对例如，对 4 4 阶行列式：阶行列式：定义定义 余下的元素余下的元素的的余子式余子式，的的代数余子式。代数余子式。所在的第所在的第 行行和第和第 列，列，构成的构成的n-1n-1阶行列式阶行列式,称为称为元素元素记为记为 划去划去 中元中元 称为称为元素元素事实上，三阶行列式还可以事实上，三阶行列式还可以按按照依第一行展开照依第一行展开的方法得到行列式的值。的方法得到行列式的值。即即 例如例如，对例，对例 2 2 中的行列式，有中的行列式，有A11=A12=10A13=7从而从而行列式的值行列式的值=1(1)+0 10+1(7)=8与与对角线法对角线法结果相同结果相同。1 可以用可以用低阶行列式低阶行列式的值去定义的值去定义高阶行列式高阶行列式的的值；值；这一展开的规律启示我们这一展开的规律启示我们：定义四阶定义四阶以及以上的行列式以及以上的行列式.即用归纳的方法即用归纳的方法利用三阶行列式利用三阶行列式 定义四阶行列式定义四阶行列式;利用四阶行列式利用四阶行列式定义五阶行列式定义五阶行列式;假设假设 阶已定义，阶已定义，然后定义然后定义 阶行列阶行列式式.二二.n.n 阶行列式阶行列式由由nn个数个数(i,j=1,2,n)组组成成的具有的具有 n行行 n列的列的式子式子并且规定其值为：并且规定其值为：1 1）当）当 n=1时，时，D=定义定义1.叫做叫做n阶行列式阶行列式（Determinant），2 2）当）当 n2时，时，D=其中其中为为行列式行列式 D的元素的元素的的为行列式为行列式 D的元素的元素并称并称的的余子式余子式，代数余子式代数余子式。可知：可知：n n 阶行列式的定义阶行列式的定义展式展式中，一定包含有中，一定包含有从从二、三阶行列式二、三阶行列式n n！个项，个项，并且每一项都是来自于并且每一项都是来自于不同行、不同列不同行、不同列的的n n个元素个元素的乘积。（的乘积。（证明容易，留给大家去做证明容易，留给大家去做）例例5 5计算计算 4 4 阶数字行列式阶数字行列式 解解=如果再将上述行列式如果再将上述行列式按第四行元素展开按第四行元素展开，又得到，又得到这个结果与这个结果与按定义展开按定义展开是一样的。是一样的。实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，实际上，行列式不但可以按第一行元素展开，而且也可以按第一行以后的而且也可以按第一行以后的任一行任一行或者或者任一列任一列去去展开，其结果都是相同的。展开，其结果都是相同的。即有下面的即有下面的定理定理：n阶阶行行列列式式D等等于于它它的的任任一一行行（列列）的的元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，元素与它们所对应的代数余子式乘积之和，和和定理证明略去定理证明略去。定理定理1.即即=20A=20A1111=-340=-340例例计算行列式计算行列式计算计算4阶行列式阶行列式例例解解 将将行列式按第行列式按第1行展开，得行展开，得注：注：对对3阶以上的行阶以上的行列式列式而言，而言，主、副对主、副对角线法则角线法则是是不成立不成立的的例例3上三角行列式的值上三角行列式的值等于主对角等于主对角线线上元素的乘积。上元素的乘积。计算计算n阶阶下下三角行列式三角行列式按第一行展开按第一行展开以此类推，得以此类推，得 解解例例特别地，对特别地，对主对角主对角行列式行列式，有有对对上三角行列式上三角行列式与与主对角主对角行列式行列式值的结论，我们值的结论，我们以后常会用到。以后常会用到。例例4 计算计算 n阶（阶（拟拟下三下三角角）行列式行列式解解 由由 n阶行列式的定义，可以得到阶行列式的定义，可以得到是是 n-1阶行列式，而且它阶行列式，而且它其中其中 的的余子式余子式与与 n阶行列式阶行列式同样的形式，同样的形式，行列式的定义行列式的定义，有，有=等于等于这个这个 n行列式行列式的值并不总的值并不总值得注意的是值得注意的是：反复利用（反复利用（n阶）阶）！可以换为可以换为 n-1n-1三三.小结小结n阶行列式的定义阶行列式的定义简单行列式的计算简单行列式的计算四四.思考题思考题4阶行列式阶行列式的值是多少？的值是多少？概念性题概念性题思考题解答思考题解答因为在行列式的展开式中，包含因为在行列式的展开式中，包含5、6这两个这两个数的项必定都等于数的项必定都等于0（？）（？），所以所以4阶行列式阶行列式