1-4 行列式按一行(列)展开.ppt

上一页上一页下一页下一页返返 回回性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。性质性质 2 交换行列式的两行（列），行列式变号。交换行列式的两行（列），行列式变号。性质性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。因子可以提到行列式符号的外面。性质性质 4 行列式中如果有两行（列）元素对应成行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式等于零。比例，则此行列式等于零。内容回顾内容回顾行列式的性质要熟记！行列式的性质要熟记！1上一页上一页下一页下一页返返 回回性质性质 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，数之和，则则D等于下列两个行列式之和等于下列两个行列式之和：如如2上一页上一页下一页下一页返返 回回性质性质 6把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）同一数然后加到另一列（行）对应对应的元素上去，的元素上去，行列式不变。行列式不变。如如3上一页上一页下一页下一页返返 回回习题习题 1 计算行列式计算行列式 试卷试卷1-第三题第第三题第2问问4计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用行列式利用行列式性质性质将行列式化将行列式化为上（下）三角行列式，从而算得行列式的值为上（下）三角行列式，从而算得行列式的值。上一页上一页下一页下一页返返 回回解解将第将第 列都加到第列都加到第 1 列，得列，得5上一页上一页下一页下一页返返 回回将第将第 行都减去第行都减去第 1 行，得行，得6上一页上一页下一页下一页返返 回回7第四节第四节 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行（或列）展开法则二、行列式按行（或列）展开法则三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页返返 回回8例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式上一页上一页下一页下一页返返 回回9在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式例如例如定义定义上一页上一页下一页下一页返返 回回10行列式中每个元素都对应着一个余子式和一个行列式中每个元素都对应着一个余子式和一个代数余子式。代数余子式。说明上一页上一页下一页下一页返返 回回11引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那么该行列式等于外都为零，那么该行列式等于 与它与它的的代数代数余子式的乘积，即余子式的乘积，即证明证明 a）当当 位于第位于第 1 行第行第 1 列时列时,b b）当当 位于第位于第i行第行第j列时列时,即有即有上一页上一页下一页下一页返返 回回12可得可得上一页上一页下一页下一页返返 回回13可得可得上一页上一页下一页下一页返返 回回14上一页上一页下一页下一页返返 回回15中的余子式中的余子式上一页上一页下一页下一页返返 回回16故得故得由于由于上一页上一页下一页下一页返返 回回17定理定理 1.4 行列式等于它的任一行（列）的行列式等于它的任一行（列）的各各元素元素与其对应的与其对应的代数代数余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即或或二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则上一页上一页下一页下一页返返 回回18下面我们对行的情形给出证明：下面我们对行的情形给出证明：证明证明上一页上一页下一页下一页返返 回回19上一页上一页下一页下一页返返 回回20例例 1 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得简单方法：按第简单方法：按第 2 行展开。行展开。上一页上一页下一页下一页返返 回回21例例 2 求求解解上一页上一页下一页下一页返返 回回22上一页上一页下一页下一页返返 回回例例3 计算行列式计算行列式 试卷试卷2-第三题第三题23上一页上一页下一页下一页返返 回回解解24上一页上一页下一页下一页返返 回回例例4 计算计算n阶行列式阶行列式 P32.12(2)25上一页上一页下一页下一页返返 回回解解依次从第依次从第 行展开，可得行展开，可得26上一页上一页下一页下一页返返 回回27例例 5 计算行列式计算行列式解解上一页上一页下一页下一页返返 回回28上一页上一页下一页下一页返返 回回29证明证明 用用数学归纳法数学归纳法进行证明。进行证明。例例 6证明范德蒙德行列式证明范德蒙德行列式a a）证明最小的证明最小的n（n=2）。要求记住结论要求记住结论上一页上一页下一页下一页返返 回回30b b）假设（假设（1 1）对于）对于n-1-1阶范德蒙德行列式成立，证阶范德蒙德行列式成立，证明（明（1 1）对）对n 阶阶范德蒙德行列式也是成立的。范德蒙德行列式也是成立的。从第从第n行开始，后一行减前一行的行开始，后一行减前一行的x1倍，可得倍，可得按第按第1列展开，并把每列的公因子（列展开，并把每列的公因子（xi-x1）提出，）提出，就有就有上一页上一页下一页下一页返返 回回31 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式上一页上一页下一页下一页返返 回回例例7 计算行列式计算行列式 试卷试卷7-第三题第二问第三题第二问32上一页上一页下一页下一页返返 回回解解33上一页上一页下一页下一页返返 回回34上一页上一页下一页下一页返返 回回35推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的的对应元素的代数代数余子式乘积之和等于零，即余子式乘积之和等于零，即或或上一页上一页下一页下一页返返 回回36证明证明上一页上一页下一页下一页返返 回回37同理同理相同相同上一页上一页下一页下一页返返 回回38代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质上一页上一页下一页下一页返返 回回39例例8设行列式设行列式求求解解上一页上一页下一页下一页返返 回回40例例9 计算计算2n阶行列式阶行列式解解 按第按第 1 行展开，有行展开，有上一页上一页下一页下一页返返 回回41上一页上一页下一页下一页返返 回回42利用这个递推关系式，有利用这个递推关系式，有上一页上一页下一页下一页返返 回回43 1.行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则是把是把高高阶行列阶行列式的计算化为式的计算化为低低阶行列式计算的重要工具阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页返返 回回44作业作业P 31：10.11.12.(2)、(5)上一页上一页下一页下一页返返 回回45 2016.9.6 第四次课 讲到这里