线性代数居余马第1章 行列式.ppt
第1章行列式二阶行列式用于解二元一次联立方程组1.1n 阶阶行列式行列式的定义及性质的定义及性质323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式用于解三元一次联立方程组其中,DDx,DDx,DDx332211=aabaabaabD3332323222131211=abaabaabaD3333123221131112=3323122221112113baabaabaaD=定义定义 由n2个数aij(i,j=1,2,n)组成的n 阶行列式阶行列式是一个算式其中：aij称为行列式的第i行，第j列的元素;当n=1时，Da11当n2时,1.1.1 n 阶行列式的定义（递归法）D=M1j 称为a1j的余子式;Mij是划去D的第i行第j列后的n1阶行列式;A1j=(-1)1+j M1j称为a1j的代数余子式。例例1 对角行列式，上、下三角行列式例例2 Dn=(1)n(n1)/2a1a2an1an=(1)n1 an Dn-1=(1)n+1 an Dn-1=(1)n1 an(1)n2 an1 Dn-21.1.2 n 阶行列式的性质阶行列式的性质行列式对行和列有相同的对行和列有相同的性质(下面主要用行讲)性质性质1 行列式D的行与列依次互换，则行列式的值不变性质性质2 行列式对任一行行列式对任一行(或列或列)按下式展开，其值相等，即按下式展开，其值相等，即性质性质3 3（线性性质）（线性性质）推论推论 若行列式有一行元素全为零，则行列式的值等于零（k=0）。性质性质4 若行列式有两行元素相同，则行列式的值为0用归纳法证明：n=2 成立。设命题对 n-1 阶行列式成立，对第 i,j 行相同的 n 阶行列式D，对第 k（ki,j）行展开,得 推论推论 行列式有两行元素成比例，则行列式的值为0。性质性质5 将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。性质性质6 若行列式两 行对换，行列式的值反号，即证明证明将左边第j行加到第i行；再将第i 行乘(1)加到第j行。于是 将上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(1)，即得左边=右边 性质性质7 行列式某一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即证明证明把行列式D的第 i行换成第 j行=0是克罗内克(Kronecker)符号两式可合写为同理，对列展开，有计算方法：利用定义或性质例例1上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积例例2=2(3/2)=31.2 n 阶行列式的计算阶行列式的计算例例3第3列乘4加到第1列 对第1行展开 第1行化为只有一个非0元 将第3列乘 1加到第1列 再将第3列乘2加到第2列对第3行展开例例4 证明：把左端行列式的第2,3列加到第1列，提出公因子2证证法1将第2,3列加到第1列提出第2,3列的公因数(1)再作两次列对换把第1列乘(1)加到第2,3列证法2 用性质3，将左式表示成23个行列式之和(n阶可以表示成2n个)。=右式对换2次拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零例5计算n阶行列式Dn的每行元素之和均为a+(n1)b把各列加到第1列提出公因子a+(n1)b将第1行乘(1)加到其余各行，化为上三角行列式解例6设 x y z 0,计算将第2列乘(x/y)，第3列乘(x/z)都加到第1列解解法1第1行乘(1)加到第2,3行上三角行列式解解法2拆项法 得 D=yz+2xz+3xy+xyz将D表示成23个行列式之和（拆第1列）拆第2，3列，除去有两列成比例而等于零的zyxyxzxzy000000300303020020020101001+=例7解例8 证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式(ij 时，xi xj)证明 用数学归纳法.n=2成立假设对n-1阶命题成立从第n行起,依次将前一行乘(x1)加到后一行对第1列展开提出公因子是x2,xn的n1阶范德蒙行列式，由归纳假设得例9 A B C A Bkkmm证明：证明对 k 归纳。k=1,对第1行展开假设A为k1阶时命题成立。若A 为k阶,按第1行展开。归纳假设BA=将A和C所在的每一列依次与其前面的m列逐列对换(共对换km次)。例例9 可以简记为第1列乘(1)分别加到第 2,3,4列 例例10解再将第2列加到第4列05712222=+=+=)()(xxxxx例例11 计算 n 阶三对角行列式解解对 Dn 的第1行展开,再将第2项中行列式对第1列展开（递推公式）反复利用递推公式11=nnnnnlkDDDDD记=+=bcklalkkDDlkDDnnnn其中改写为：)(2112222DD=nnllnnnnnnnnlkDDllkDD+=1221DD反复利用递推公式 Dn=kDn1+l n Dn1=kDn2+l n1 Dn2=kDn3+l n2 D2=kD1 +l 2k k2 kn-2+)Dn=l n+k l n1+k2l n2+kn2l 2+kn1l+k n D1=a=l+kkn-1 D1=kn1l+k n 1nnnlkDD+=1定理定理 设线性齐次方程组其系数行列式方程组有唯一解 0时，j=1,2,n其中1.3 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 证证明其中 Akj 是D中 akj 的代数余子式(1)验证满足方程组i=1,2,n交换两个和号的顺序=bi(i=1,2,n)(2)证明解唯一设（c1,c2,cn）是满足方程组的解A1j+)A2jAnj推论推论若齐次线性方程组其逆否命题是：若方程组有非零，则D=0的系数行列式D0,则 x1=x2=xn=0,即解唯一 例1 已知三次曲线 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 过4个点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4）其中x1,x2,x3,x4 互异，试求方程 的系数 a0,a1,a2,a3 解法解法1 1 将4个点的坐标分别代入三次曲线的方程,得到非齐次线性方程组其中a0,a1,a2,a3 为未知量；方程组的系数行列式D 是范德蒙行列式其中 Dj 是以 y1,y2,y3,y4 替代 D 中第 j 列元素所得的行列式由Cramer法则,有唯一解(j=0,1,2,3)解法解法2 2 将三次曲线上的任意点(x,y)所满足的方程 写成 a0+a1x+a2x2+a3x3+a4y=0，它与一起构成的关于a0,a1,a2,a3,a4 的齐次线性方程组有非零解(因为a4=1)例例2 2 求4个平面ai x+bi y+ci z+di=0 (i=1,2,3,4)相交于一点(x0,y0,z0)的充分必要条件。解解 设4个平面相交于一点P0(x0,y0,z0)，则其中必有某3个平面相交于P0点（如果任意3个平面都不相交于此点，则4 个平面不会交于此点）。不妨设前3个平面相交于P0点，于是前3个平面方程构成的非齐次线性方程组有唯一解，从而将4 个平面方程写成其中t=1,i=1,2,3,4，于是4 个平面相交于P0点就是4 个方程构成的x,y,z,t的齐次线性方程组有唯一的非零解(x0,y0,z0,1)，因此其系数行列式D=0。所以，D=0与D30是4 个平面相交于一点的必要条件。它也是充分条件，因为由D30可得前3 个平面相交于一点P0，学习了第3章，由D=0可知P0点是4个平面的唯一交点。
