2.2 开集、闭集、完备集.ppt
1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 n n维空间中的点集维空间中的点集1 聚点、内点、边界点聚点、内点、边界点3 x进位表数法进位表数法4 一维开集、闭集、完备集的构造一维开集、闭集、完备集的构造2 开集、闭集、完备集开集、闭集、完备集5 点集间的距离点集间的距离2机动 目录 上页 下页 返回 结束 本教程在本教程在Rn空间的框架下展开测度与积分的理论空间的框架下展开测度与积分的理论,因此讨论因此讨论Rn 空间中的一些常见的点集是极端重要的空间中的一些常见的点集是极端重要的.用用Rn表示表示n 维欧式空间维欧式空间,即即对任意对任意 x=(x1,x2,xn)Rn,令令称称x为为x的的模模、范数范数或或长度长度。3机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 是是Rn中任意两点中任意两点,定义这两点间的距离为定义这两点间的距离为显然，对于显然，对于Rn中任意的点中任意的点 恒有恒有4机动 目录 上页 下页 返回 结束 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 给定给定若若则称点列则称点列xk依距离收敛于依距离收敛于x0，记为，记为 6机动 目录 上页 下页 返回 结束 命题命题即点列收敛的充要条件是按坐标收敛。即点列收敛的充要条件是按坐标收敛。7机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.内点、外点、边界点内点、外点、边界点1 聚点、内点、边界点聚点、内点、边界点设有点集设有点集 ERn 及一点及一点 x0Rn:若存在点若存在点 x0的某邻域的某邻域 N(x0)E,若存在点若存在点 x0 的某邻域的某邻域 N(x0)E=,若对点若对点 x0的任一邻域的任一邻域 N(x0)既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 x0为为 E 的的内点；内点；则称则称 x0为为 E 的的外点外点;则称则称 x0为为 E 的的边界点边界点.的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.8机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.聚点聚点若对若对任意给定的任意给定的 0,点点x0 的去心的去心邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点,则则称称 x0 是是 E 的的聚点聚点.E 的的聚点可以属于聚点可以属于 E,也可以不属于也可以不属于 E(因为聚点可因为聚点可 以为以为E 的边界点的边界点)E 的的所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为 E 的的导集导集,记为记为 。称为称为E 的闭包的闭包,记为记为 ,即即E内的点若不是聚点则称其为内的点若不是聚点则称其为孤立点孤立点。E的孤立点就是集合的孤立点就是集合 中的点。中的点。9机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)x0是是E的聚点，就是说的聚点，就是说x0 的邻近聚集了的邻近聚集了E中的无中的无数个点，用数学语言刻画，即是数个点，用数学语言刻画，即是x0 的任一个邻域内含的任一个邻域内含有有E中无穷多点。定义中没讨论中无穷多点。定义中没讨论x0 与与E的关系，的关系，E的聚的聚点点x0 可属于可属于E也可不属于也可不属于E。(3)x0是是E的孤立点，直观形象说在的孤立点，直观形象说在x0 的邻近只有的邻近只有 x0“孤单一点属于孤单一点属于E，没别的，没别的E中点中点”，故称，故称x0 是是E的孤的孤立点。立点。注注:(1)x0是是E的内点，就是说的内点，就是说x0 在在E内部，因而它内部，因而它一定不在边界上。一定不在边界上。10机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.点集点集11机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.Bolzano-Weierstrass定理定理 聚点聚点证明：证明：显然。显然。因为对因为对 开球开球 都含都含 有有E的无穷多个点。所以对的无穷多个点。所以对 取取取取对对定理定理1.的充要条件是的充要条件是x0为为E的一个极限点的一个极限点,即有一串互异的点列即有一串互异的点列xkE使使(xk,x0)0(k)。12机动 目录 上页 下页 返回 结束 这样已取到互异点列这样已取到互异点列x1,x2,xk-1，再取，再取由归纳法知点列由归纳法知点列x1,x2,xk,互不相同，且互不相同，且即即 Q.E.D.13机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.(波查诺波查诺-魏尔斯特拉斯聚点原理魏尔斯特拉斯聚点原理)Rn中的任中的任意有界无限点集必有聚点。即若意有界无限点集必有聚点。即若E是是Rn中一有界无限点中一有界无限点集，则集，则14机动 目录 上页 下页 返回 结束 Q.E.D.15机动 目录 上页 下页 返回 结束 E中的点如果不是聚点就是孤立点。中的点如果不是聚点就是孤立点。如果如果E的所有点都是孤立点，则称的所有点都是孤立点，则称E为为孤立集合孤立集合。结论结论1.凡孤立集合或是有限集合或是可数集合。凡孤立集合或是有限集合或是可数集合。结论结论2.E是孤立集合的充要条件是是孤立集合的充要条件是 。如果如果则称则称E为为离散集合离散集合(或或稀疏集合稀疏集合)。结论结论3.凡离散集合都是孤立集合。反之不然。凡离散集合都是孤立集合。反之不然。例子例子.R1中的点集中的点集E不是稀疏集合不是稀疏集合E是孤立集合是孤立集合16机动 目录 上页 下页 返回 结束
