函数的极值与导数PPT课件.ppt

在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在在为这个区间内为这个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增区间递增区间;解不等式解不等式 f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递减区间递减区间.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确关注用导数本质及其几何意义解决问题关注用导数本质及其几何意义解决问题 3.思考：思考：观察下图，当观察下图，当t=t0时距水面的高时距水面的高度最大度最大,那么函数那么函数 h（t）在此点的导数是多）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确观察图象中，点观察图象中，点a和点和点b处的函数值与它们附处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？近点的函数值有什么的大小关系？在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确新课讲解新课讲解函数的极值函数的极值:观察观察右下图为函数右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象的图象,从图象我们可以看出下面的结论从图象我们可以看出下面的结论:函数在函数在X=0的函数值比它附的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我近所有各点的函数值都大，我们说们说f(0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值；函数在函数在X=2的函数值比它附近的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们所有各点的函数值都小，我们说说f(2)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。x x2 2y y0 0在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确极值的定义极值的定义点点a叫做函数叫做函数y=f(x)的极小值点，的极小值点，函数值函数值f（a）称为函数）称为函数y=f(x)的极小值，的极小值，点点b叫做函数叫做函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，函数值函数值f（b）称为函数）称为函数y=f(x)的极大值的极大值。极大值点极小值点统称为极大值点极小值点统称为极值点极值点，极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 函数极值是在某一点附近的小区间内定函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是义的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整因此一个函数在其整个定义区间上可能有个定义区间上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某并对同一个函数来说，在某一点的极大值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。也可能小于另一点的极小值。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确观察函数观察函数y=f(x)的图像的图像探究探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？、极大值一定比极小值大么？C在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确结论结论:极值点处导数值为极值点处导数值为0C探究探究函数函数y=f(x)在极值点的导数值为多少在极值点的导数值为多少?在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确探究探究极值点两侧导数符号有何规律极值点两侧导数符号有何规律?f (x)0 yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0 x2在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确结论结论若若x0满足满足 f/(x)=0,且在且在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,如果如果 f/(x)在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的极的极大值点大值点,f(x0)是极大值是极大值;如果如果 f/(x)在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极的极小值点小值点,f(x0)是极小值是极小值.极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值.从从曲线的切线角度曲线的切线角度看看,曲线在极值点处切线的斜率曲线在极值点处切线的斜率为为0,并且并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为右侧为负负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正右侧为正.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确o oa aX X0 00b bx xy yo oa aX X0 0b bx xy y 如上左图所示如上左图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附两侧附近点的函数值必须小于近点的函数值必须小于f(x0).因此因此,x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是增函数只能是增函数,即即 ;x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函只能是减函数数,即即 同理同理,如上右图所示如上右图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即 ;在在x0的右侧的右侧附近只能是增函数附近只能是增函数,即即 .在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习：练习：下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数 的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2、函数在某点取得极值的必要条件、函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件分别是什么？和充分条件分别是什么？探究探究1、导数值为、导数值为0的点一定是函数的极值点吗？的点一定是函数的极值点吗？可导函数的极值点一定是它导数为零的点可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点不一定是该函数的极值点.例如例如,函数函数y=x3,在点在点x=0处的导数为零处的导数为零,但它不是极值但它不是极值点点,原因是函数在点原因是函数在点x=0处左右两侧的处左右两侧的导数都大于零导数都大于零.导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是其充分条件是在这点两侧的导数异号在这点两侧的导数异号.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确如何列表，列表中的基本元素有哪些？如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配依据是什么？区间分配依据是什么？各区间对应导数的符号如何判定各区间对应导数的符号如何判定例例1、求函数、求函数 的极值的极值.解解:令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)y +0 -0 +y 极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-4/3.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(1)确定函数的定义域，求导数确定函数的定义域，求导数(2)求方程求方程 的根的根(3)用方程用方程 的根，顺次将函数的定义域的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格分成若干小开区间，并列成表格.(4)检查检查 在方程根左右的值的符号，如果在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小值。小值。f (x)f (x)=0 f (x)=0 f (x)求解函数极值的一般步骤求解函数极值的一般步骤在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 x(-,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+)f(x)+0 -0 +f(x)极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.例例2、求函数、求函数 的极值的极值.解解:函数的定义域为函数的定义域为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习练习:求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时,y的变化情况如下的变化情况如下表表:x(-,-1)-1(-1,1)1(2,+)y -0 +0 -y 极大值极大值-3 极小值极小值3 因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习练习:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解:=3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或当当a=-3,b=3时时,此时此时f(x)在在x=1处处无无极值极值,不合题意不合题意.当当a=4,b=-11时时,-3/11x1时时,此时此时x=1是是极极值点值点.从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习练习:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x=1处有极值处有极值,且极大值且极大值为为4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值.解解:由题意由题意,应有根应有根 ,故故5a=3b,于是于是:(1)设设a0,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 +0 0 +f(x)极大极大值值 极小极小值值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(2)设设a0,故故 有不相等的两实根有不相等的两实根、,设.又设又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于由于-a2时时,;当当x2,由条件由条件可知可知 ,即即:当当 时时,x22,由条件由条件可知可知 ,即即:又当又当 时时,所以当所以当 时时,函数函数y=f(x2)取得极小值取得极小值.为什么要为什么要加上这一加上这一步步?在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例6、直、直线线ya与函数与函数f(x)x33x的的图图象有相异象有相异的三个公共点，的三个公共点，则则a的取的取值值范范围围是是_解析：解析：令令f(x)3x230，得得x1，可求得可求得f(x)的极大值为的极大值为f(1)2，极小值为极小值为f(1)2，如图所示，如图所示，2a2时，恰有三个不同公共点时，恰有三个不同公共点答案：答案：(2,2)在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确归纳小结归纳小结1、极值的定义。、极值的定义。2、判定极值的方法。、判定极值的方法。、求极值的步骤。、求极值的步骤。思想方法总结：思想方法总结：观察、转化、数形结合。观察、转化、数形结合。