第01章 多元函数微分学1.ppt

说说说说明明明明:1.由于R2,R3中的点与向量一一对应.因此在无特别声明时,总用X,Y 等表R2,R3中的点(向量).用x,y,z,a,b,c 等表实数.2.由于有多种乘积使用记号,因此,阅读教材时,应注意区别 a,A P,X B 的含意.对+也类似.以后在表述时不再区分这两个概念.一、多元函数的概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念一、多元函数的概念以前我们接触到的函数 y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如 y=sinx,y=x2+3cosx 等.111 1 多元函数的概念多元函数的概念所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数 y 随多个自变量的变化而变化.圆柱体体积圆柱体体积 V=r 2 h体积 V 随 r,h的变化而变化.一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给长方体体积长方体体积V=xyzV 随 x,y,z 的变化而变化.一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给这些都是多元函数的例子.有一个自变量的称为一元函数,有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元函数,有 n 个自变量的称为 n 元函数.二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数类似,我们有二元函数定义二元函数定义设D是xy平面上的一个点集,即 D R2,若对任意的点 X=(x,y)D R2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z 与之对应,则称 f 是定义在D上的二元实值函数,记作f:D R,X=(x,y)z.习惯上,称 z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称 x,y 为自变量,z 为因变量.比如 z=sinx+cosy,z=3x2+ey.称 z 为点 X=(x,y)在 f 下的像,记作f(X)或 f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作 X=(x,y)所对应的函数值.称 D 为函数f 的定义域.D在f 下的像集 f(D)=f(X)|XD 称为 f 的值域.注注1 1一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D 的限制.f(x,y)的表达式,算 f(x0,y0)的方法与一元函数类似.另外,若给出了如 f(X)=f(x,y)=3x+y2,X0=(1,1)则 f(X0)=f(1,1)=3 1+12=4f(x+y,siny)=3(x+y)+sin2y注注2 2特别,若定义域 D 是 x y 面上一条曲线.D:y=g(x).g事实上,x D 上的点f(x,g(x)=(x,y)z.f=f(x,g(x)成为一元函数.则二元函数 z=f(x,y)注注3 3任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数.事实上,z=f(x)=f(x)+0 y只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为R2 中点集即可.注2,注3说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.二元函数是定义在 xy 平面某点集上的函数,而一元函数是定义在 xy 面上一条直线(x 轴)上的二元函数.类似的,有n元函数定义.设D Rn,若对任意的 X=(x1,x2,xn)D Rn,按某个对应规则 f,总有唯一确定的实数 z 与之对应,则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数.记作f:D R,X=(x1,x2,xn)z.并记 z=f(X),或 z=f(x1,x2,xn).定定 义义解：解：解：解：与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例例例例1 1求 z=ln(x+y)的定义域 D,并画出D的图形.x+y 0.故 定义域 D=(x,y)|x+y 0画直线 y1=x.由于 D 中点(x,y)的纵坐标 y 要大于直线 y1=x 上点的纵坐标 y1,故D表示直线 y1=x 上方点的集合.(不包括边界y1=x上的点)为画 D 的图形,由x+y 0,得 y x=(y1).x+y=0 xyo如图y xD(不包括直线x+y=0)例例例例2 2解解解解:故故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D 为单位圆盘(包括边界).xyox2+y2=1(包括圆周)D例例例例3 3解解解解:D=(x,y)|y2 x y2(=x1)知,D在曲线 x1=y2的右侧.由 x 0易见,直线上方每一点都是D的内点.即 D=D,但直线上的点不是D的内点.3.边界点边界点:E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界.记作 E.如,例1中定义域 D 的边界是直线 x+y=0 上点的全体.例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2+y2=1上的点的全体.如图设 E 是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若 X0的任何任何邻域 U(X0,)内既有属于 E 的点,又有不属于E的点,则称 X0 为 E 的边界点.xyo11x2+y2=1Dx+y=0 xyoDE 的边界点可以是 E 中的点,也可以不是E中的点.可以证明:E中的点 X0E只可能有两种情形.(1)X0为E的内点.(2)X0为E的边界点.两者必居其一.R2中的点X只可能有三种情形.(1)X为E的内点.(2)X为E的边界点.(3)X为E的外点.4.开集开集 设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E 的内点.即 E E0,则称 E 是一个开集.由于总有 E0 E,因此,E E0 E=E0故也可说,比如,例1中 D 是开集,(D=D0),而例2中 D 不是开集.规定,R2为开集.若E=E0,则称 E 是一个开集.xyoE又比如,E 如图若 E 不包含边界,则 E 为开集.若 E 包含边界,则 E 不是开集.结论结论:非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点.即 E 不含有 E 的边界点.证证:必要性.设 E 为开集,X E,由开集定义知 X 为 E 的内点.故 X 不是 E 的边界点.充分性：充分性：若 E 中每一点都不是 E 的边界点.要证 E 为开集.X E,由于 X 不是 E 的边界点.而 E 中的点或者为 E 的边界点,或者为E的内点,两者必居其一,故 X 为E的内点,因此E为开集.5.连通集连通集 如图XYE 连通YXE 不连通设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是连成一片的.E 中的点都可用折线连接.例1,2中的 D 都是连通集.如图x+y=0 xyoxyo11x2+y2=16.开区域开区域(开域开域)设 E 是一平面点集.比如,例1中D是开区域.如图.E 从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域.7.闭区域闭区域(闭域闭域)若 E 是开域,记称为闭区域.如图.E 易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.易见,例1中 D 是无界集,它是无界开区域,而例2中 D 是有界集,它是有界闭区域.8.设 E R2,若存在r 0,使 E U(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.9.聚点聚点从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即,在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点.若X0的任一任一邻域内总有无限多个点属于E.则称 X0 是E 的一个聚点.X0如图1.聚点定义也可叙述为:若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于异于X0 的点.则称 X0 为 E 的 一个聚点.(自证).2.E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于E.3.E 的内点一定是 E 的聚点.4.若 E 是开区域.则 E 中每一点都是 E 的聚点.即,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点.但若 E 是开集,则 E 的边界点一定是 E 的聚点,自证.10.孤立点孤立点若点X0E,且存在0,使得邻域U(X0,)内除X0外,所有点均不属于E,即(X0,)E=,则称 X0 为 E 的孤立点.如图.X0显然,E的孤立点X0总是E的边界点,但不是聚点.邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到 4 维以上的空间中去,但不再有几何意义.设 z=f(X)=f(x,y)的定义域是平面区域 D.按二元函数定义,X=(x,y)D.可以唯一确定实数 z,从而确定了空间一个点 M(x,y,z).三、二元函数的几何意义三、二元函数的几何意义当X 在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中织出一片曲面.即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在 xy 面上的投影区域.XDM(x,y,z)yxzo如 z=ax+by+c,表平面表平面.注意,三元函数 u=f(x,y,z)的定义域是 R3 的一个子集.三元函数无几何意义.一、二元函数的极限一、二元函数的极限一、二元函数的极限一、二元函数的极限112 2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续回忆一元函数的极限.设 y=f(x),当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f(x)f(x)y=f(x)x0 xxx x0就是 0,0.当0|x x0|时,有|f(x)A|.设二元函数 z=f(X)=f(x,y),定义域为D.如图Dz=f(x,y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值 f(X)无限接近于数 A,则称A为当X趋近于X0时f(X)的极限.MX0Ayzxof(X)类似于一元函数,f(X)无限接近于数 A可用|f(X)A|0,0,当对应的函数值满足|f(X)A|则称 A 为z=f(X)的,当 X 趋近于X0时(二重)极限.记作或也可记作 f(X)A(X X0),或,f(x,y)A(x x0,y y0)定定 义义注注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证 X0的任意近傍总有点X使得f(X)存在,进而才有可能判断|f(X)A|是否小于 的问题.若D是一区域.则只须要求就可保证 X0 是D的一个聚点.另外,0|X X0|0,时,有|f(x,y)0|0,使得当要使|f(x,y)0|,只须即|f(x,y)0|故例例2.设f(x,y)=证明 f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.证证:由注2知,只须证明当X 沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.考察 X=(x,y)沿平面直线 y=kx 趋于(0,0)的情形.如图对应函数值xoy从而,当 X=(x,y)沿 y=kx 趋于(0,0)时,函数极限当 k 不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.请考察当X=(x,y)沿 x 轴,沿 y 轴趋于(0,0)的情形.沿 x 轴,y=0.函数极限=0沿 y 轴,x=0.函数极限=0但不能由此断定该二重极限为0(注2).设 z=f(X)=f(x,y),在区域D上有定义.则称 f(X)在 X0 连续,X0 称为 f(X)的连续点.否则称 f(X)在 X0 间断,X0 称为 f(X)的间断点.X=(x,y)D,X0=(x0,y0)D,二、二元函数的连续性二、二元函数的连续性二、二元函数的连续性二、二元函数的连续性定义定义2若 f(X)在 D 上每一点都连续,则称 f(X)在 D 上连续,记为 f(X)C(D).易知,例2中 f(x,y)在(0,0)间断(极限不存在),每一点都间断.注：注：定义可推广到三元以上函数中去.1.二元函数 f(X)在 X0 连续必须满足三个条件.在 X0 有定义,在 X0 的极限存在,两者相等,2.多元连续函数的和,差,积,商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.如 f(x)=exy sin(x2+y),=e0 sin0=0.3.多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x,y,z,为自变量的基本初等函数 f(x),(y),g(z),以及常函数,经有限次四则运算和复合所构成的函数.定义在区域 D 上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有 空洞,没有 裂缝 的连续曲面.这里条件 D 是一区域 是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.4.二元连续函数的几何意义:例例.设 D=(x,y)|x,y 均为有理数 R2.z=f(x,y)是定义在 D 上的,在 D 上恒等于1,在别的点上无定义的函数,即f(x,y)=1,当(x,y)D时,无定义,当(x,y)D时.如图xyzo1可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意义下的连续曲面.三、有界闭区域上二元连续函数的性质三、有界闭区域上二元连续函数的性质三、有界闭区域上二元连续函数的性质三、有界闭区域上二元连续函数的性质性质性质1.性质性质2.有界闭域有界闭域,连续连续,有界闭域有界闭域,连续连续,性质性质3.使 f(X0)=C.这些定理都可推广到三元以上的函数中去.有界闭域有界闭域,连续连续,问问,由性质由性质3是否可得到是否可得到 根的存在定理根的存在定理,如何表述如何表述?例例3.解解:原式=0 1=0例例4.解解:原式=例例5.解解:原式=故例5似可用下述方法算.从而 (1)函数定义域外,它们不是点(x,y)趋于(0,0)时的路径.则必须包括 x 轴和 y 轴这两条路径(在这个函数的定义域内).应补充讨论:当(x,y)沿 x 轴(y=0)趋于(0,0)时,有 (2)当(x,y)沿 y 轴(x=0)趋于(0,0)时,有 (3)综合得(1),(2),(3),问问,是否有提示:取 yn=kn xn,当n时,xn 0,kn 1,且kn 趋于1的速度比xn趋于0的速度快得多.这一方法是否具有普遍性?即,是否总有初学者在算二重极限时,容易引出下面算法:如=0实质上,就是设 z=f(X)=f(x,y)在区域 D 上有定义,X0=(x0,y0)为D的内点.四、二次极限四、二次极限四、二次极限四、二次极限考虑 X=(x,y)沿两条特殊路径趋近于X0=(x0,y0)时 f(x,y)的极限.情形相当于下图对应的函数极限为称为先对 x,后对 y 的二次极限.(1)先固定 y,令 x x0,即,让点(x,y)沿平行于 x 轴的直线趋于点(x0,y),然后,再令 y y0,xyo(x0,y)(x,y)(x0,y0)(2)先固定 x,令 y y0,即,让点(x,y)沿平行于 y 轴的直线趋于点(x,y0),然后,再令 x x0,情形相当于下图xyo(x,y0)(x,y)(x0,y0)对应的函数极限为称为先对 y,后对 x 的二次极限.由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限.有,如例2中,=0=0但二重极限不存在.1.二次极限不一定等于二重极限.(如二重极限不存在时,二次极限可能不相等.)即在很多情形中,所以,不能随便交换极限的顺序.2.两个二次极限不一定相等.如=?