恒成立、存在性问题的方法总结大全（干货）.docx

叔与您惬附室，存点植(犍阀嵬)问效关于二次函数的恒成立、存在性(能成立)问题是常考考点，其基本原理如 下：(1 )已知二次函数 f(x) = ax2 +bx + ca 0),则:/(x) > 0 恒成立="> ° ；A <0、 a < 0/(x) <0恒成立 o L n.A <0、(2)若表述为：“已知函数f(x) = ax2 +bx + c(a 丰 0) ”，并未限制为二次函数，则应有：/(%)>0恒成立01">:或"' 。；/0)<0恒成立="<:或",一。.注：在考试中容易犯错，A<0 c>0A<0 c<0要特别注意！ ！恒成立问题与存在性(能成立)问题，在解决此类问题时，可转化为其等价 形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过 常考例题进行讲解：已知定义在&句上的函数/(x), g(x).(1) v%£a,勿,都有/(x)>左(左是常数)成立等价于"()而n>女(L£a向).(2) VxeZ?,都有/(%)<% (左是常数)成立等价于"(Mmax <左(龙£出,勿)(3) X/xEa,b9 都有/(x)>g(x)成立等价于"(x) g(x)min >。( xe6Z,Z?).(4) 3x e a, b,都有/(%) > g(%)成立等价于"() - g(x)max >。(%£,瓦|).(5)VX, Ea,b9 Q%瓦| 都有/(%)>且()成立等价于"(%)min >g(%)max(6)勿,王2勿使得了(%)>g(X2)成立等价于"(X)】min >g(X)min(7)Ga,b , V%2 £口,勿使得/(石)>8(工2)成立等价于"(切max >g(X)max(8) 3x, ea,h,叫£ d切使得了(xjg(乙)成立等价于"(必皿HKin(9) Vxj ea,b,(9) Vxj ea,b,3x2 切使得了(%) = g(%)成立等价于g(初min W"(X)LinH(X)】max N"(X)max这与题设相矛盾.(2)当 一1» 0 时，即 0白,2 时，加=/(1)一/(一2)= 1+匕 + 幺=(9 + 1)2,4恒成立，所以 0几2;hhh2 h(3)当脸！J1时，即2殁必0时，加=/(1) /(±) = 1 匕+幺=(9 1)2,4恒成立，所以2效必0;综上可得，-2领b 2,即匕的取值范围是-2,2.（10） 3xa,b9三£团,勿使得/（X）= g（Z）成立等价于/（x）的值域与g（x）的值域交集不为0（11） V% £）,叫。，勿使得/（%） + g（%2）N%（%是常数）成立等价于"（）min+g（%）max 2%（12） Vx, ga,b, Vx2 g a,b都有"（西）g（z）区左（女是常数）成立等价于（x）max -/（x）min < k目"Mmax一区（切min4乙特别地，VXj ea,b9 V%2 £,。都有|/(%)-/(工2)区左 (左是常数)成立等价于/(©max /(X)min 4卜.（13） V石 ea,b, Vx2 ga,b都有|/(x,)-g(x2) |2 I (左是常数)成立等价于(x)min -f(x)max > k 域"(%)min-g(X)max "特别地，V% ea,b, Vx2 £,勿都有|/（为）一/（%2）2女 （攵是常数）成立等价于/（X）mm /（X）max Nk .（14）3xa,bt川C 向使得17（%） g区）区女 （女是常数）成立等价于火。）京-"（%）34 耳"（幻Lin卬京入特别地，也£凡切，叫£&勿使得17（七） /区）区左（%是常数）成立等价于/。焉ADnax 4%<15）办勿，叫ea,切使得|/（再） g（z）l1（左是常数）成立等价于（皿皿一"（%）焉之（城"maxg（%）min 之机特别地，斗向，加向使得17（%）二/区）三左（是常数）成立等价于“©max,f（X）min "（16） Vx, g a,b, Hr2 G a,勿使得|/（%）-g（%2）区氏 （%是常数）成立等价于卬"一"（）叱4 女 耳"（初maxTgQOK（17）V% £丁,切,叫 £,勿使得 |/（%） g（Z）|M （女是常数）成立等价于g（X）max"（Mm”22g(X)Linw"()Ling(X)max "(Mmax事"（切mi”3（不）嘘"【评注】（9） Vxj ea,b9£出,勿使得/（七）二且（工2）成立等价于所在区域能包含y = /（x）所在区域时，满足条件.Vc3.题目中有时会这样表述：对任意的£心勿，都有工2£1。，勿，使得/（为）=g（%2）成立，（9）的表达的意 思完全相同.所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当百£出,勿时，/（X）的值域不 过是g（X）的子集.【例1】(1)(2010山东理14)若对任意%>0, 恒成立，则。的取值范围是.x2+3x + 1(2)现已知函数/(X)= Y 一4l + 1,且设掇上ex2天<4,若有"&)-/(%2)1 + "()-/(七)1+则 M 的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6(3)已知/(x) = lg(x2+3x + l)，g(x) = d)'-根，若对任意 £0,3,存在 /£口，2,使/(%) > g(%)，则实数”的取值范围是.(4)已知函数 f(x) = 24x + 2-x , g(x) = x2 -2mx + 5m-2(mg R),对于任意的不 £一2,2,总存在 马 £ R，使得/(为)=(?。2)成立，则实数团的取值范围是()A. -JB.(,4C.) D. (-w,lU3,+o)9(5)已知函数 /(x) = Y - x+1 , xcl,2,函数 g(x)=依一1 , xe-l,l,对于任意 x el,2，总存在 x2 ,使得以/) = /(3)成立，则实数。的取值范围是()A. (-00,-4B. 4,y)C. (9,-4 U4,4w)D. (f,-4) U(4,y)(6) (2008天津文10)设q>1,若对于任意的x£o,2q,都有ye满足方程log” x +log” y = 3 ,这时。的取值集合为()A. 。|1< 2 B. acL.2C. 。|2领h 3 D. 2,3(7) (2008天津理15)设q>1,若仅有一个常数。使得对于任意的2a,都有了£他,片满足方程log”无+ log, y = c ,这时a的取值的集合为.1X111X【解析】(l).x>0, .x + L.2(当且仅当x = l时取等号)，.一一二一一,，k=匚，即=Xx2 +3X + 1 12 + 3 5 f+3x+iX Hb JX的最大值为L故答案为：-,+00).(2)函数/(x) = x?-4x + l的图象是开口向上，过(0,1)点，对称轴为x = 2的抛物线，由图象可知，函数在1,2上单调递减，在2,4上单调递增，1轰天4,./=一2, /(2) = -3 , f(4) = 1 ,"(Z表示Z I，相对应的函数值(/(x) = /4x + l图象上的点的纵坐标)之差的绝对值，结合函数，(幻=/一4工+ 1图象，"(王)一)()1 + "()一/(*3)1+.+"(七1)一/(王)1表示函数/(工)=/一4工+ 1在区间 凡工"上分成-1段，取每段两端点函数值差的总和，由题意可知(I f(X )-/(X2)|+|/(X2 )-，()I +.+)-/UJ l)max，M ,|/(%) /。2)1 + 1/。2) /(玉)1+1/(为1)/(x)l，1/(2)l + l/(4) /(2)|=l+4 = 5,故 选：C.(3)问题等价于/(X)min>g(X)min，/为。，引上单调递增，/Wmin =/(0) = 0 , g(x)为减函数，g(x)疝 =g(2) =：-m ,由 一机,解得(4)法一: /» = 24 + 2-X=2& + 2-( + 2) + 2 = -(& + 2-1)2+3 ,当尤£2,2时，A/7+2e0,2 ,2f/(x) 3,"(x)的值域是引；法二：1=而",3一2一心 2),令/(工)=。，得=-1, Jx+2尤+2当 X£(2,1)时，f(x) > 0 , /(幻单调递增，当 X£(1,2时，f(x) < 0 , /(x)单调递减，.当x = 1时，/(x)取得极大值3,也是最大值；又/(2) = 2, /. /U)e2,3.g(x) = x2 -2mx-5m-2 = (x-m)2 +5m-2-m2 e 5m-2-m2,+oo),对于任意的% e-2,2，总存在 x2 e /?,使得/*l) = g(%2)成立，/(x)的值域是 g(x)的值域的子集，2,3 o5m-2-rrr.-Ko), /.5m-2-m2 2 , 解得加或帆.4,故选：C.(5)因为/(x) = fx + i,则/(x)在1,2上为单调递增函数，所以/(%)的值域为工3,记为A = l,3, 当。>0时，g(x)在1,1上为增函数，所以g(x)的值域为a 1,q 1,-a- 1记为3 = a 1,q 1,由题意可得，AoB,所以1,解得a.4;(7 -1.3当avO时，g(x)在1,1上为减函数，故g(x)的值域为a 1,记为C = a 1,a 1,由题意可知，AoB,所以产一)1 ,解得4, 一。一13综上所述，实数。的取值范围是(-oo,-4 U4,+oo).故选：C.32(6)由log,X + log” y = 3 ,可得log,Qy) = 3,得> =幺，在a,2a上单调递减，所以丁£幺,所以 x222,(72 o a,a2,故也.a ,即 a.2 故选：B .2-2cc-1(7) ,/log x + logr/ y = c , oga xy = c , :.xy = a(,得丁 =幺，在a,2al 上单调递减，所以 ,ac,x2cCx所以巴一,42ac.a=> <C-?a ac.2 + logG, 32,因为有且只有一个常数c符合题意，所以2 + log“2 = 3,解得a = 2,所以的取值的集合为2.故答案为：2.【评注】深入理解(6)题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当时，/(x)的值域M不过是a,/的子集.值得关注的是：是指每一个这样的X, >£。2是指存在这样的丁，理解到由函数的定义域导出值域M是a,/】的子集，由此才有：(6)与(7)唯一的差别就是：(7)中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数 的单调性联系起来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力.【例 2已知函数 /(x) = 2sin(x4-)4-sinxcosx- sin?x,x£ H .(1)求函数/(x)的最小正周期；S jr(2)若存在不£0,"使不等式/(%)<机成立，求2的取值范围.1【解析】(1)/(%) = 2sin(x + ) + sinxcosx-a/3sin2x,xe7?,=2 sin x + G cos x cos x 一/3(1 - cos 2x). _a/3 3-sin 2x H1cos x -+ cos2x 2sin(2x H),223函数/(%)的最小正周期T =至=4./ rrc 5r TC r 7T 7TC(2 ) * Xx G 0, ,2x» HG ,°120 33 6JT1、4,/. sin(2x0 + -) e 一一,1,.二/(须)的值域为.存在/ w 0,32r1使/(X)vm成立，,故实数机的取值范围为(一1,+8).【例3】已知实数a>0,且满足以下条件：£尺，|sinxtc 37r i. 2 ic,J , sin x + tzsinx-L.O ；求实数。的取值范围.【解析】.实数>0,由得：Ovavl;由得：xe ,时，sinxe -,1 , ?.由 sin2 x + asinx-L.0 得：a.sinx,令，= sinx ,则 f £ -,1,4 42sinx2函数= 在区间(0,+8)上为减函数，则当时，加)1-口当，要使a.：;综上，。的取值范围是伍|ITT 377a.sinx>& jce ,-J 上恒成立，则sinx4 4【例 4】(1)已矢口函数/(4)=2女2% + 1,xe0,l,函数 g(x) = 3/ -2(攵之 + +1)% + 5，xg-1,0.对任意 e0,1，存在1,0, g(%2 )</(%)成立.求 Z 的取值范围.(g(x)min </(X)min)(2)已知函数/(x) = 2攵 2% + 攵，xeO,l.函数 g(x) = 3/2(/+攵+ i)x + 5, xe-l,O|.对任意 七40,1,存在马£-1,。，g(%2)= /(X)成立，求上的取值范围.(/(x)的值域是g(x)的值域的子集即可.)(3)已知函数/(冗)=2%2%+ 左，xeO,l.函数 g(x) = 3/-2(攵2+Z + l)x + 5 , xe-l,O.存在 £0,1,存在王£-1,0, g(%2)= /a)成立,求左的取值范围.(g(x)的值域与/(X)的值域的交集非空.)【解析】(1) f(x) = 2k2X +1,当 X £ 0,1时，函数单调递增,/(X)e 伙,2k2 + k, g(x) = 3x2 - 2(k2 + % + l)x + 5 ,当 x£l,0时，g(x)£5,2+2Z: + 10,由对任意 为w0,l,存在8(%)= /(斗)成立有g(x)mm </(x)mm，即5,一 解得左.5，则求的取值范围为k.5(2) f(x) = 2k2x-k9 当尤w0(时,函数单调递增，f(x)ek92k2-k9 g(x) = 3x2 -2(k2 + + l)x + 5 ,当工£-1,0时,g(x)w5,2%2+2Z + 10,由对任意存在冢)=/(3)成立有(5 k匕2尸+口05,2攵2+2攵+ 10,即| “22，解得左.5,则求人的取值范围为攵.5.(3) f(x) = 2k2x+k9 当工£0,1时,函数单调递增，f(x)ek,2k2+k9 g(x) = 3x2 -2(k2 +k + l)x + 5 9当 x£l,0时，g(x)e5,2K+2Z + 10,由对存在% e0,l,存在/£1,0,双马)=/(X)成立有Jjj 11 J4A匕2公+灯。5,2公+2左+ 10。0 ,即5,2二+女且鼠2%2+22 + 10,解得七二或鼠.44【例5】已知2") =。_2% + 3.(1)求/(%)的解析式；(2)函数g(x) = " +("+ 5_巴,若对任意玉w2,4,总存在X, e2,4,使以西)=/(9)成立，求。取 工一1值范围.【解析】(1)令 2、=，得到 X = log2%,即/= (log2%)221og2- + 3, /(x) = (log2x)2-21og2x + 3,(2 )令 x l = f£l,3,则 y J +勿 + 4 = / + &+ ,在24内任取 4, 4 , 4- t = t2-t >0 ,则 ttAy = G4)(1 /-)>0,得到y = / + 3 + a在1，2内单调递减，在2,3内单调递增，所以g(©值域为 "'2t4 + ，5 + 0,当工£2,4时，log2%e1,2 , /(x)g2,3,因为g(x)的值域是/(x)值域的子集，所以+ 5 < 3左”o，解仔4 = 一2.。+ 422【例6】(1)已知函数/。) = /一1, g(x) = -x2+4x-3,若有/() = gS),则b的取值范围为(D. (1,3)A. 2-V2,2 + V2 B. (2-V2,2 + V2) C. 1,3(2)已知函数/(x) = /l , g(x) = f+4x 4.若有/(a) = gS)，则b的取值范围为()A. 2-V2,2 + V2 B. (2夜,2 +夜)C. 1,引D.(1,3)【解析】(1)由题可知/。)=产一 1一1 , g(%) = -x2+4x-3 = -U-2)24-l<l ,若有/(q) = g(。)，则 g(Z?)G(-l,l,即一/+48一3>1 ,解得2夜<人<2 +虎，故选3. 画出函数/(%) =，一1 , g(x) = -x2 + 4x - 3 的图象，要使得 f(a) = g(b),只需 g(b) e (-1,1.(2)/(x) = e"一1>1, /.-x2+4x-4>-1 , /.x2-4x + 3<0,解得：l<x<3,故选：D.【例7】(1) (2014江苏10)已知函数/(x) = /+如一 1 ,若对于任意x£/九w+ 1都有/(x)<0 ,则实数z 的取值范围为.(2)已知函数/(x) = /+bx + c3、,£尺)且当工,1时,/(x).O,当掇k 3时，/(戏,0恒成立.(i )求b, c之间的关系式；(ii)当c.3时，是否存在实数m使得g(x) = /(x)-在区间。收)上是单调函数？若存在，求出机的 取值范围；若不存在，请说明理由.X2 - X + 3, X, 1(3) (2017天津理8)已知函数/&) = 12X H, X > 1X,设6R,若关于x的不等式/(x).|' + a|在R上恒成立，则。的取值范围是()A.匚2 B.匚当 C. -273,2 d. 当1616 1616(4)已知定义域为R的函数/(X)满足了(/(X)-/ +幻=/(%)-+X.(i)若/=3,求/；又若/(0)=。,求/； (ii)设有且仅有一个实数%,使得了(%)=%，求函数,f(x)的解析表达式.【解析】(1).二次函数/(x) = x?+/nx-1的图象开口向上，对于任意加+ 1,都有/(x)v0成立,/(m) = 2m2 - 1 < 0即f(m + 1) = (m +1)2 + m(m + 1) -1 < 0 '/(m) = 2m2 - 1 < 0即f(m + 1) = (m +1)2 + m(m + 1) -1 < 0 'V2 V2 bF)-T 2 ,解得一注机<0,故答案为：(,0). m(2m + 3) <0 (2) ( i )由已知/.O与/,0同时成立，则必有了=0,故)+ c + l=0.(ii)假设存在实数加，使满足题设的g(x)存在.2g(x) = /(x) m，= x2 +S /“2)x + c开口向上，且在,+oo)上单调递增,2 一小,，0.端2 o.c.3, ./ = _（c + “，_4,这与上式矛盾，从而能满足题设的实数加不存在.【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质.一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必 考内容，要引起重视.当用,1时,关于x的不等式/（x）.+ |在R上恒成立,即为-x2 +x-2+ Q X1311147即有一f+x-3麴h x2x + 3,由y = 工2+工一3的对称轴为x = vl,可得x =处取得最大值2224416由y = Y-X + 3的对称轴为X = 3<1,可得x = 3处取得最小值生，则-也釉 兆244161616当X>1时，关于X的不等式/（©|/+用在R上恒成立，即为（X + 2）领U + Q X + -, 2x 2 x即有(3x + 2)领h - +由y =(x + 2) 2 /包2=2百(当且仅当X = >1)取得最大值一26；2 jc 2 jc2 x x 2 x3由y = Lx + 2.2 4%2=2 （当且仅当x = 2>l）取得最小值2.则一2国必2由可得，父效b 2 .2 x V 2 x16法二：作出/（x）的图象和折线 >=弓+ ,当工，1时，y = f 一 x + 3的导数为y = 2x l ,由2x 1 =！，可得x = L,切点为（_L,竺）代入丁 = 2 244 16247解得4 =-2；16当工>1时，> = x + 2的导数为y，= i 二，由1 N = J_,可得x = 2（2舍去），切点为（2,3）,代入y =3+ 4, xx x 2247解得q = 2.由图象平移可得，一卫领b 2.故选：A.16法三：根据题意，作出了（x）的大致图象，如图所示.当xWl时，若要/(划4三十 口恒成立，结合图象，只需f x + 32(二+/，即12_2+ 3 +2(),故对于 222方程 W 一二+ 3 + q = 0, A = (-)2 - 4(3+ ) WO,a > -;2216当x>l时，若要/(刈2|/+川恒成立，结合图象，只需x + Z' + q,即二+工之，又已+ 2之2,当且仅 2x 22 x2 x当± = 2,即工=2时等号成立，所以42.2 x47综上，q的取值范围是会,2.故选：A.(4) ( i )因为对任意 xwA, t /(/(x) - x2 + x) = f(x) - x2 + x ,所以/(2)-22+2) = /(2)-22+2,又由 /(2) = 3,得/(3-22 +2) = 3 22 +2,即 /(I) = 1,若/(0) = a ,则 /(a O?+0) = 一。2+0,即 f(a) = a .(ii)因为对任意 xcH,有 f(f(x)-x2 +工)=/(%)一九2 +% .又因为有且只有一个实数%,使得/(Xo)= Xo.所以对任意xwH,有/(x) x2+x = %.在上式中令 =不，有/(%) 一片+/ =方.又因为/(%o)= /,所以%一片=0,故/ =0或%=1.若%=0,则/f+x = o, f(x) = x2-x.但方程f工=工有两个不相同实根，与题设条件矛盾.故 x°w0.若=1，则有/(x) Y+x = l , Fp /(x) = x2-x + l ,此时/(x) = x有且仅有一个实数解1.综上，所求函数为/(x) = X2 一x + l(xeH).【例8】(2012陕西理21第2问文21第3问)设函数/(x) = f+法+。，若对任意玉，x2e-l,lj,有"(七)一)(%2)1，4，求人的取值范围.【解析】函数/(%) = %+fex + c ,对任意石,x2 e-l,l,有"()-/(马)|, 4,故函数f(x)在-1,1上的最大值与最小值的差M, 4 ,即M = /(x)max -/(x)min 4 .K)HA(1)当 IAlo5<1 或5>1 时，即 >2 或 hv2 时，M = /(x)max - /(x)min H /(-I) - /(I) 1= 21Z71> 4 , 乙乙乙