2023年经济数学基础线性代数讲义.doc
经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1，矩阵：A =，称为矩阵。结识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列，第一行依次0,1,2，第二行1,1,4第一列0,1,2这是一个三行三列矩阵，再给出一个三行四列矩阵教材概念的m行n列矩阵。，这个矩阵记作，表白这个矩阵有行，列，注意行m 写在前面,列n写在后面，括号里面的称为元素，记为，是行，是列，例如：是三行四列矩阵，也说成矩阵，注意行3在前面，列4在后面，这里（就是指的第一行第一列那个数） （就是指的第二行第三列那个数）2，矩阵加法矩阵加法，满足行列相同的矩阵才干相加，相应位置的数相加。例如：+=减法是相应位置的数相减。,3，矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则：注意字母相应注意角标，角标是23，就是第二行乘以第三列说明：=乘积的结果矩阵等于第一个矩阵的第一行元素 乘以第二个矩阵的第一列元素 ，注意是相应元素相乘，再求和。乘积的结果矩阵等于第一个矩阵的第二行元素 乘以第二个矩阵的第一列元素 。依次类推，结果元素等于第行乘以第列，相应元素相乘，再求和举例：矩阵 A =，B =，AB =第一行乘以第一列，第一行乘以第二列，第二行乘以第一列，第二行乘以第二列，可以乘的条件：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同，就是尾首必须相同，可以乘必须是矩阵脚标的尾等于矩阵脚标的首相等，例如: 可乘不可乘，只要尾首相同就可乘，乘积为矩阵例如: 可乘，乘积结果为矩阵可乘，乘积结果为矩阵矩阵的数乘，一个数乘以一个矩阵，等于这个矩阵的每个元素乘以这个数例：A =，3A =.矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法不可互换，一般情况下4，矩阵的转置矩阵转置矩阵记为,转置就是把矩阵的行列元素对调，也可以当作沿主对角线翻转！主对角线A =，则主对角线主对角线主对角线,则从这里看出，下面一个矩阵A是2×3矩阵（2行3列）则AT是3×2矩阵（3行2列），2023年1月考题：设A为3×4矩阵，B为5×2矩阵，且乘积矩阵ACTBT故意义，则C为（ B ）矩阵。A. 4×2 B. 2×4 C. 3×5 D. 5×3分析：根据尾首相同法ACTBT可表达为（3×4）（ ）（2×5），中间一个就是4×2，注意是CT，所以C就是2×4。对称矩阵：对称矩阵的元素依主对角线对称：1设，当 0 时，是对称矩阵5，求矩阵的逆预备知识：（1），在数的学习中，数的单位是1，矩阵的单位是,除主对角是1以外，其余全是0，并且，单位矩阵全是方阵（行数与列数相等）任何矩阵乘以单位阵不变AI=A，（可以试一试）例，3阶单位阵，I=，我们以3阶阵来说逆，已知A =与前面类似，能不能找到一个矩阵，使得A乘以这个矩阵等于单位阵？记为,称为的逆， （2）矩阵的初等变换，将矩阵的任意两行互换，把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以这个数），把某一行乘以一个数，然后加到此外一行。求逆求逆原理：,举例：设矩阵A =，求逆矩阵 分析： 第一步：把A和单位阵I写在一起, A I =第二步：初等变换，（由于第一行第一个数是0，要化成前面是单位阵，这里就不能是0，于是互换1,2行，随便两行都可以互换，由于第二行第一个数是1，简朴，所以就1,2行互换）第一行乘以-2加到第三行，目的是化0，除主对角以外，其他所有化成0第二行乘以3加到第三行， 现在开始化上面，第二行乘以-1加到第一行第三行直接加到第一行；加到第二行把对角线上的都化成1， 第三行乘以，这一步是把前面化成单位阵，这个就是我们要的，前半部分是I，后半部分就是 所以 A-1= 这是个考题，具体计算可以省略些环节，给出解题答案为：设矩阵A =，求逆矩阵 解 由于(A I ) = 所以 A-1= 另一种题型，解矩阵方程，其原理是对两边左乘（就是靠在左边），得,由于,所以，注意任何矩阵乘以单位阵保持不变。例：已知，其中，求分析：先求逆，在计算。解：运用初等行变换得即 由矩阵乘法和转置运算得考题举例：1，2设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1解 由于AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 3设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1解 由于BA= (BA I )= 所以 (BA)-1=4解矩阵方程解 由于 即 所以，X = 5设矩阵 A =，B =，计算(ABT)-1解： 所以6设矩阵，且有，求矩阵解： 所以,又所以7. 设矩阵 A =，B =，计算(A-I)-1B设矩阵A=-1-6，B=1解：8. 已知，其中，求解：运用初等行变换得即 由矩阵乘法和转置运算得9已知，其中，求10设矩阵，求解矩阵方程解：由于 即 所以，X = 11.设矩阵，是3阶单位矩阵，求解：由矩阵减法运算得运用初等行变换得即 12.设矩阵，求解：运用初等行变换得即 由矩阵乘法得 13. 设矩阵，求. 解 由于= = 所以= 14设矩阵，求 解：由于 即 所以 15设矩阵A =，求 解 由于 (A I )= 所以 A-1 = 16解： 17设矩阵，求。18设矩阵，计算。 矩阵求秩秩就是通过初等变换后，剩下的不全是0行数！表达为r(A)例：矩阵的秩是 2 .,2行不是0，秩是2考题举例：1设，则_1_。2设矩阵 ，计算解：由于 = = = 且 =解方程组：这是每年必考题目！就是把方程组的系数写成相应的矩阵，通过初等变换，求出方程组的解。例如： 求下列线性方程组的一般解：系数系数 这种非齐次型经常考，规定必须掌握解 由于增广矩阵 （还原成解的形式：应当是，）所以一般解为 （其中是自由未知量）增广矩阵就是系数和等号后面的数一起构成的矩阵，的系数矩阵是，记为A，仅仅是系数构成的矩阵。增广矩阵是，记为，加了后面一列。就是多了等号后面一列方程组有解的条件：线性方程组有解的条件是，他的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即秩（A）=秩（），也可以写成注意书上的定理，容易拿来考考填空：若线性方程组满足秩（A）=秩（）=，则当时，线性方程组有解且只有惟一解；当时，线性方程组有无穷多解。通俗说法线性方程组有唯一解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数，解的环节：写出增广矩阵，进行初等变换，规定主对角全是1或0，主对角是1的那一列其余元素全是0，根据矩阵结果写出解组。（注意表白自由未知量）自由未知量可以理解为参数，例如：上题的解是 （其中是自由未知量）也可以写成，设，解就可以写成，其中是任意常数。（这里说明这个方程组的有很多解，不仅仅是一组数解，写成没有的形式更简洁。）再看例子例： 求下列线性方程组的一般解：解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形故方程组的一般解为:注意理解最后的矩阵还原。齐次型线性方程组有非0解（就是所有都不是0）的条件是秩（A），也就是系数矩阵A的秩小于行数（未知量的个数）15. 设齐次线性方程组，为什么值时，方程组有非零解？在有非零解时求其一般解解：由于所以，当时方程组有非零解 一般解为（其中为自由未知量） 有解的条件是最下面一行必须全为0，所以！考题举例1.求当取何值时，线性方程组有解，并求出一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 当时，方程组有解，且方程组的一般解为 其中为自由未知量 2.求线性方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 此题给出了矩阵还原，把矩阵系数相应，写出方程组。此时齐次方程组化为 得方程组的一般解为其中是自由未知量 3求解线性方程组的一般解 解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形一般解为 (是自由未知量) 4求当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形所以，当时，方程组有解，且有无穷多解， 一般解为：其中是自由未知量 5. 求线性方程组 的一般解 一般解为：， 其中，是自由未知量 6求线性方程组的一般解 解：由于系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 7当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解解 由于增广矩阵 所以，当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量8：求当取何值时线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵由此可知当时，方程组有解此时得方程组的一般解为其中是自由未知量9求线性方程组的一般解。10求齐次线性方程组的一般解。解：将系数矩阵化为行简化阶梯阵所以，方程组的一般解为 （其中x3，x4是自由未知量）注意：此资料过于形而上学，已经偏离数学意义，如以后再学数学，希望立足于概念，定理，分析方法，生成原理，运用于实际。
