2023年高二数学上学期知识点.doc

高二数学上学期知识点第一部分：三角恒等变换1.两角和与差正弦、余弦、正切公式： 注意正用、逆用、变形用。例如：tanA+tanB=tan(A+B)(1tanAtanB)2.二倍角公式：sin2=，cos2= 2=。3.升幂公式是： 。4降幂公式是： 。5.万能公式：sin= cos= tan=6.三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次与升次。，sin ，cos 可凑倍角公式；等 （4）化弦（切）法。将三角函数运用同角三角函数基本关系化成弦（切）。注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，所在象限由a、b的符号拟定，角的值由tan=拟定。7注意点：三角函数式化简的目的：项数尽也许少，三角函数名称尽也许少，角尽也许小和少，次数尽也许低，分母尽也许不含三角式，尽也许不带根号，能求出值的求出值第二部分：解三角形1.边角关系的转化：（）正弦定理：=2R(R为外接圆的半径); 注：（1）a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;（2）a:b:c=sinA:sinB:sinC;(3) 三角形面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB;（）余弦定理：a=b+c-2bc,2.应用：（1）判断三角形解的个数;（2）判断三角形的形状;(3)求三角形中的边或角；（4）求三角形面积S；注：三角形中 a>bA>BsinA>sinB；内角和为；两边之和大于第三边；在ABC 中有， 在解三角形中的应用。3.解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b（2）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后运用A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解也许有多种情况（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C（5）术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角的取值范围是：0°360。第三部分：数列证明数列是等差（比）数列（1）等差数列：定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。注：后两种方法仅合用于选择、填空：（形如一次函数）（常数项为0的二次）（2）等比数列：定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。等比中项法：对于数列，若，则数列是等比数列2.求数列通项公式方法 (1)公式法：等差数列中an=a1+(n-1)d 等比数列中an= a1 qn-1; (2)（ 注意 ：验证a1是否包含在an 的公式中）（3）递推式为f(n) (采用累加法)；×f(n) (采用累积法)；例已知数列满足， = ，则=_（答：）（4）构造法；形如，（p,q为常数且pq）的递推数列，可构造等比数列，例 已知，求（答：）； （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决： an（anan-1）+(an-1an-2)+（a2a1）a1 ； an（6）倒数法形如的递推数列如已知，求（答：）；3.求数列前n项和. 常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.（1）公式法：等差数列中 Sn= ；等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q1,Sn=（注：讨论q是否等于1）。 （2）分组法求数列的和：如an=2n+3n ；（3）错位相减法：, ，如an=(2n-1)2n；（注）（4）倒序相加法求和：如在等差数列中，前4项的和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列的项数n=_；(答：48);已知，则_（答：）（5）裂项法求和：，如求和：=_（答： ）（6）在求含绝对值的数列前n项和问题时,注意分类讨论及转化思想的应用，总结时写成分段数列。4.的最值问题方法（1）在等差数列中,有关Sn 的最值问题从项的角度求解：  当,d<0时，满足 的项数m使得取最大值.当,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。（2）转化成二次函数配方求最值（注：n是正整数，若n不是正整数，可观测其两侧的两个整数是否满足规定）。如等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是_ （答：4006）5.求数列an的最大、最小项的方法（函数思想）：an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an>0) ，如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=6.常用性质：（1）等差数列的性质：对于等差数列（）.若，则。若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：(i)奇数项(ii)偶数项若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。（应用于选择、填空，要会推导,正用、逆用）（2）等比数列性质：在等比数列中（）；.若m+n=p+q，则aman=apaq；如（1）在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。若数列是等比数列且q-1，是其前n项的和，那么，成等比数列。如：公比为-1时，、-、-、不成等比数列7常见结论：（1）三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d；（2）三个数成等比的设法：a/q,a,aq； （3）若an、bn成等差，则kan+tbn成等差;（4）若an、bn成等比，则kan(k0)、anbn、成等比;（5）an成等差,则 (c>0)成等比.（6）bn(bn>0)成等比,则logcbn(c>0且c1)成等差。第四部分 不等式1两个实数a与b之间的大小关系作差法或作商法2.不等式的证明方法（1）比较法（2）综合法（3）分析法注：一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法 3. 解不等式（1）一元一次不等式 的解法 （2）一元二次不等式的解法（三个二次关系）判别式 二次函数的图象 一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根的根 解集 R解集 注： 解集为R，（ 对恒成立）则（） （）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证若解集为R呢？如：关于x的不等式对恒成立，则的取值范围 。略解（）（）（3）绝对值不等式 假如a0，那么（4）分式不等式 若系数含参数时，须判断或讨论系数，化负为正，写出解集。重要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式（先因式分解，分类讨论，比较两根的大小）；4恒成立问题（注：讨论二次项系数是否为0；开口方向与判别式）；5.已知，求的取值范围；（换元法；线性规划法）。4简朴的线性规划问题应用：（1）会画可行域，求目的函数的最值及取得最值时的最优解（注：可行域边界的虚实）；（2）求可行域内整数点的个数；（3）求可行域的面积；（4）根据目的函数取得最值时最优解（个数）求参数的值（参数可在线性约束条件中，也可在目的函数中）；（5）实际问题中注意调整最优解（反代法）。5.常用的基本不等式和重要的不等式（1）（2），则；注：（3）（4） ；6.均值不等式的应用求最值（也许出现在实际应用题）设，则（1）若积（2）若和即：积定和最小，和定积最大。注：运用均值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”技巧：凑项，例（x>2）凑系数 ，例 当时，求的最大值；（答：8）添负号，例；拆项，例 求的最小值（答：9 ）构造法，例 求的最大值（答：1）。“1”的灵活代换，若且，则的最小值是_(答：16)（3）若用均值不等式求最值，等号取不届时，需用定义法先证明单调性，后根据单调性求最值，例 求的最小值。第五部分 简易逻辑逻辑联结词，命题的形式：p或q(记作“pq” )；p且q(记作“pq” )；非p(记作“q” ) 。2、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真4常见结论的否认形式原结论否认词原结论否认词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或5、四种命题：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若P则q；逆否命题：若q则p。6、四种命题之间的互相关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。7、假如已知pq那么我们说，p是q的充足条件，q是p的必要条件。若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为pq.8.命题的否认只否认结论；否命题是条件和结论都否认。9、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否认假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。第六部分 圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆 1.定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。注：（1）若2a小于|，则这样的点不存在；（2）若2a等于|，则动点的轨迹是线段.(3)中经常运用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、2c，有关角结合起来，建立+、等关系求出、的值.注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上.2.椭圆的标准方程：（0），（0）(注：)。（1）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：假如项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.（2）.求椭圆的标准方程的方法： 定位对的判断焦点的位置； 定量设出标准方程后，运用待定系数法求解a、b. 3.椭圆的几何性质：线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表达椭圆的扁平限度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部（二）双曲线 1.定义：若F1，F2是两定点，（为非零常数），则动点P的轨迹是双曲线。注：（1）若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；（2）若2a|，则无轨迹.（3）若去掉绝对值号，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支。2.双曲线的标准方程：和（a0，b0）注：（1）（与椭圆比较）（2）双曲线的标准方程判别方法是：假如项的系数是正数，则焦点在x轴上；假如项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.（3）求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 定位对的判断焦点的位置； 定量设出标准方程后，运用待定系数法求解a，b.3.双曲线的简朴几何性质 双曲线为例 实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系（1）若双曲线方程为渐近线方程：（2）若渐近线方程为双曲线可设为（）（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，若，焦点在x轴上，若，焦点在y轴上）。特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为（）。（4）方程表达双曲线的充要条件是。（5）注意中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来。（三）抛物线 1.定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。注：（1）点F在直线l外，（2）点F在直线l上，其轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的标准方程有四种类型：、.注：（1）方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；（2）一次项前面的正负号决定曲线的开口方向； 3.抛物线的几何性质，以标准方程 为例：p：焦准距（焦点到准线的距离）； 焦点： 准线： 通径 焦半径： 过焦点弦长 y1y2=p2，x1x2=;注：只适合求过焦点的弦长，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当0时，两者的位置关系的鉴定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但假如直线和抛物线只有一个公共点，除相切外，尚有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行，此时，不能仅考虑=0。 注意：)抛物线上的动点可设为P或P5.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件拟定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表达x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得规定的轨迹方程；（4）定义法：假如可以拟定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）点差法，解决圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法，重要用于求斜率。（注意：验证判别式大于零。）（6）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表达，得参数方程，再消去参数得普通方程。注：轨迹方程与轨迹的区别，限制范围，根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别，注意次数和符号，.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题。（四）解析几何中的基本公式1.两点间距离：若，则 特别地：轴， 则 |x2-x1| 。 轴， 则 |y2-y1| 。2.平行线间距离：若则： 注意点：x，y相应项系数应相等，方程化成一般式。3.点到直线的距离：则P到l的距离为：4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消y：（务必注意,k为直线的斜率.）。 若l与曲线交于A则： 或 =（这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；）特殊的直线方程: 垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，优先讨论二次项系数是否为零，然后再考虑判别式及韦达定理。第七部分 能力规定 能力重要指运算求解能力、数据解决能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力，以及应用意识和创新意识1.运算求解能力：可以根据法则和公式进行对的运算、变形；可以根据问题的条件，寻找并设计合理、简捷的运算方法；可以根据规定对数据进行估计和近似计算 2.数据解决能力：可以收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息，并作出对的判断；可以根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析，解决所给问题3.空间想象能力：可以根据条件作出对的的图形，根据图形想象出直观形象；可以准确地理解和解释图形中的基本元素及其互相关系；可以对图形进行分解、组合；可以运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中，发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断5.推理论证能力：可以根据已知的事实和已获得的对的数学命题，论证某一数学命题的真实性6.应用意识：可以综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题，并能用数学语言对的地表述和解释7.创新意识：可以独立思考，灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法，发明性地提出问题、分析问题和解决问题