2023年好高中数学排列组合问题常用的解题方法.doc

排列组合常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列例1 五人并排站成一排，假如甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相称于4人的全排列，种。二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置规定的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端例2 七个人并排站成一行，假如甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。 分析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种。三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，假如 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。分析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种。 四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完毕例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的相应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按规定提成若干组，可用逐步下量分组法。例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从此外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果规定，提成不相容的几类情况分别计算，最后总计。例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有反复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。分析：按题意，个位数字只也许是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个。七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式。例 9 从6名运动员中选出4个参与4×100m接力赛，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析：设全集6人中任取4人参赛的排列，A甲第一棒的排列，B乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。例10 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_ _种。分析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。九、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段解决。例11 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。分析：前后两排可当作一排的两段，因此本题可当作6个不同的元素排成一排，共种。例12 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？分析：当作一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法。十、“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例13 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种。分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有种。十一、选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_ _种分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种。例15 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种。十二、部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。例16 以一个正方体顶点为顶点的四周体共有 个。分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四周体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四周体，所以四周体实际共有个。例17 四周体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种。分析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：在四周体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个；所以四点不共面的情况的种数是种。十三、复杂排列组合问题构造模型法例18马路上有编号为1，2，39九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。说明：一些不易理解的排列组合题，假如能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决。十四、运用相应思想转化法例19 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？分析：由于圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就相应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以拟定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个。一、相邻问题捆绑法例1 五人并排站成一排，假如甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。二、 相离问题插空法例2 七个人并排站成一行，假如甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。三、定序问题缩倍法例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，假如 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。四、标号排位问题分步法例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。五、有序分派问题逐分法例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。六、多元问题分类法例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有反复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 个。七、交叉问题集合法例 7 从6名运动员中选出4个参与4×100m接力赛，假如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法例8 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有_ _种。九、多排问题单排法例9 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 。十、“至少”问题间接法例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。十一、选排问题先取后排法例11 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_ _种十二、部分合条件问题排除法例12 以一个正方体顶点为顶点的四周体共有 个。十三、复杂排列组合问题构造模型法例13 马路上有编号为1，2，39九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？十四、运用相应思想转化法例14 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？