2023年人教版高一数学必修一知识点与习题讲解.doc

必修1第一章集合与函数 基础知识点整理 姓名：沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专业: 数学与应用数学 2023年10月2日必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义与表达¤学习目的：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表达方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特性.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特性，即拟定性、互异性、无序性.2. 集合的表达方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为，合用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特性来表达，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，合用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母表达集合. 要记住一些常见数集的表达，如自然数集N，正整数集或，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表达，例如，.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表达下列集合：（1）由方程的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表达为：； 用列举法表达为.（2）用描述法表达为：； 用列举法表达为.【例2】用适当的符号填空：已知，则有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】试选择适当的方法表达下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4）（1）一次函数与的图象的交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合；（3）反比例函数的自变量的值组成的集合.解：（1）.（2）.（3）.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合，试用列举法表达集合A解：化方程为：应分以下三种情况：方程有等根且不是：由 =0，得，此时的解为，合方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解，合方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为，合综上可知，点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表达. 注意分式方程易导致增根的现象.第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目的：理解集合之间包含与相等的含义，能辨认给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能运用Venn图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，假如集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 假如集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A与集合B的元素是同样的，因此集合A与集合B相等，记作. 3. 假如集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：；若，则； 若，则；若，则.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）菱形 平行四边形； 等腰三角形 等边三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】设集合，则下列图形能表达A与B关系的是（ ）.解：简朴列举两个集合的一些元素，易知BA，故答案选A另解：由，易知BA，故答案选A【例3】若集合，且，求实数的值.解：由，因此，.（i）若时，得，此时，；（ii）若时，得. 若,满足，解得.故所求实数的值为或或.点评：在考察“”这一关系时，不要忘掉“” ，由于时存在. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若A=B，求实数x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0.由于a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.经检查，此时A=B成立. 综上所述.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性拟定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目的：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简朴集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达成掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（union set）由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集（intersection set）对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）记号（读作“A并B”）（读作“A交B”）（读作“A的补集”）符号图形表达UA¤例题精讲：【例1】设集合.AB-1359x解：在数轴上表达出集合A、B，如右图所示：，【例2】设，求：（1）； （2）.解：.（1）又，；（2）又，得. .【例3】已知集合，且，求实数m的取值范围.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在数轴上表达集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，.点评：研究不等式所表达的集合问题，经常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集，求， ，并比较它们的关系. 解：由，则. 由，则 由，则，.由计算结果可以知道，.另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观测出来结果.点评：可用Venn图研究与 ，在理解的基础记住此结论，有助于此后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目的：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运营性质解决一些简朴的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别相应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表达，解决一类可用列举法表达的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：,.2. 集合元素个数公式：.3. 在研究集合问题时，经常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考察创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合，若，求实数的值.解：由于，且，则有：当解得，此时，不合题意，故舍去；当时，解得.不合题意，故舍去；，合题意.所以，.【例2】设集合，求, .（教材P14 B组题2）解：.当时，则，；当时，则，；当时，则，；当且且时，则，.点评：集合A具有参数a，需要对参数a进行分情况讨论. 罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的也许而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A =|， B =|，若AB=B，求实数的值解：先化简集合A=. 由AB=B，则BA，可知集合B可为，或为0，或4，或.(i)若B=，则，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；当=时，B=0A，也符合题意(iii)若4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B=12，4，不符合题意综上可得，=1或点评：此题考察分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表达法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是漏掉了A=B和B=的情形，从而导致错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审阅问题. 【例4】对集合A与B，若定义，当集合，集合时，有= . （由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补集为”而拓展）解：根据题意可知，由定义，则.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 假如再给定全集U，则也相称于.第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目的：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与相应的语言来刻画函数，体会相应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简朴函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A、B是非空的数集，假如按某个拟定的相应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一拟定的数和它相应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作=，其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值相应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.2. 设a、b是两个实数，且a<b，则：x|axba,b 叫闭区间； x|a<x<b(a,b) 叫开区间；x|ax<b， x|a<xb，都叫半开半闭区间.符号：“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“+”读“正无穷大”. 则，.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和相应法则. 当且仅当函数定义域、相应法则分别相同时，函数才是同一函数. ¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）.解：（1）由，解得且，所以原函数定义域为.（2）由，解得且，所以原函数定义域为.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）； （2）.解：（1）要使函数故意义，则，解得. 所以原函数的定义域是.，所以值域为.（2）. 所以原函数的定义域是R，值域是.【例3】已知函数. 求：（1）的值； （2）的表达式 解：（1）由，解得，所以.（2）设，解得，所以，即.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，经常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数.（1）求的值；（2）计算：.解：（1）由.（2）原式点评：对规律的发现，能使我们实行巧算. 对的探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表达法¤学习目的：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表达函数；通过具体实例，了解简朴的分段函数，并能简朴应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表达方法：解析法（用数学表达式表达两个变量之间的相应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表达两个变量的相应关系，优点：直观形象，反映变化趋势）；列表法（列出表格表达两个变量之间的相应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表达法与意义（一个函数，不同范围的x，相应法则不同）.3. 一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个拟定的相应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一拟定的元素y与之相应，那么就称相应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“”. 判别一个相应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；相应法则f.¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_，这个函数的定义域为_ 解：盒子的高为x，长、宽为，所以体积为V. 又由，解得. 所以，体积V以x为自变量的函数式是，定义域为.【例2】已知f(x)= ，求ff(0)的值.解： ， f(0)=. 又 >1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】画出下列函数的图象：（1）； （教材P26 练习题3）（2）. 解：（1）由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示.（2），所以，函数的图象如右图所示. 点评：具有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数的函数值表达不超过x的最大整数，例如，当时，写出的解析式，并作出函数的图象. 解：. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的相应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 假如函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观测函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的环节：设x、x给定区间，且x<x；计算f(x)f(x) 判断符号下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.解：任取(0,1)，且. 则. 由于，故，即. 所以，函数在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数的单调区间及单调性.解：设任意，且. 则 .若，当时，有，即，从而，即，所以在上单调递增. 同理可得在上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.解：（1），其图象如右. 由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.（2），其图象如右.由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.点评：函数式中具有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由图象研究单调性，关键在于对的作出函数图象.【例4】已知，指出的单调区间.解： ， 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.由图象得在单调递增，在上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知平移变换规律. 第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目的：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能运用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数的定义域为I，假如存在实数M满足：对于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义.2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观测出来，或者可以先证明出函数的单调性，再运用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观测图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，天天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增长利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才干使天天所赚得的利润最大？并求出最大利润. 解：设他将售出价定为x元，则提高了元，减少了件，所赚得的利润为.即. 当时，.所以，他将售出价定为14元时，才干使天天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数的最小值. 解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，则，所以，在时是增函数，当时，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，. 所以函数的最大值为4,最小值为.（2）.作出函数的图象，由图可知，. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目的：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能纯熟判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 假如对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）.解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有 ， 所认为奇函数.（2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有 ，所认为偶函数.（3）由于，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、.解： 是奇函数，是偶函数， ，. 则，即.两式相减，解得；两式相加，解得.【例3】已知是偶函数，时，求时的解析式.解：作出函数的图象，其顶点为. 是偶函数， 其图象关于y轴对称. 作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致， 时，.点评：此题中的函数实质就是. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当时，又由于是偶函数，则，所以，当时，.【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.解： 在区间上是减函数， 的图象在y轴左侧递减.又 是奇函数， 的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减.又 ，解得， 所以的图象在R上递减. ， ，解得.点评：定义在R上的奇函数的图象一定通过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合规定)1函数yx26x10在区间（2，4）上是（）A递减函数B递增函数C先递减再递增D选递增再递减2方程组的解构成的集合是 （ ）A B C（1，1） D3已知集合A=a，b，c,下列可以作为集合A的子集的是 （ ）A. a B. a，c C. a，e D.a，b，c，d4下列图形中，表达的是 （ ）MNDNMCMNBMNA5下列表述对的的是 （ ）A. B. C. D. 6、设集合Ax|x参与自由泳的运动员，Bx|x参与蛙泳的运动员，对于“既参 加自由泳又参与蛙泳的运动员”用集合运算表达为 ( )A.AB B.AB C.AB D.AB7.集合A=x ,B= ,C=又则有（ ） A. （a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8函数f（x）x22（a1）x2在（，4）上是增函数，则a的范围是（）Aa5Ba3Ca3Da59.满足条件1,2,3M1,2,3,4,5,6的集合M的个数是 （ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 510.全集U = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ， A= 3 ，4 ，5 ， B= 1 ，3 ，6 ，那么集合 2 ，7 ，8是 （ ） A. B. C. D. 11.下列函数中为偶函数的是（ ）A B C D12. 假如集合A=x|ax22x1=0中只有一个元素，则a的值是 （ ）A0 B0 或1 C1 D不能拟定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13函数f（x）2×23x的单调减区间是_14函数y的单调区间为_15.具有三个实数的集合既可表达成，又可表达成，则 .16.已知集合，那么集合 ， ， .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合，集合，若，求实数a的取值集合18. 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求解不等式f（x）f（x2）119. 已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）x32x21，求f（x）在R上的表达式20. 已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、15 CABCB 610 ABACC 1112 cB二、13 0，（，） 14 （，1），（1，） 15 -1 16 或； 或.三、17 .0.-1,1； 18. 解：由条件可得f（x）f（x2）fx（x2），1f（3）所以fx（x2）f（3），又f（x）是定义在R上的增函数，所以有x（x2）3，可解得x3或x1答案：x3或x1 19. 解析：本题重要是培养学生理解概念的能力f（x）x32x21因f（x）为奇函数，f（0）-1当x0时，x0，f（x）（x）32（x）21x32x21，f（x）x32x21 20. 二次函数的图象关于轴对称， ，则，函数的单调递增区间为.