小学数学奥数习题讲义《等量代换》.docx

第十二讲 等量代换小朋友们一定都知道曹冲（曹操的儿子）称大象的故事吧.曹冲用一条船,让大象先上船,看船被河水水面淹到什么位置,然后刻上记号.把大象赶上岸,再把这条船装上石块,当船被水面淹没到记号的位置时,就可以判断：船上的石块共有多重,大象就有多重.为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样.只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时,船才会被淹没得一样深.“曹冲称象”不是瞎称的,而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量,可以互相代换.解决数学题,经常会用到这种思考方法.典型例题例1 =25 （1）= （2）=? =?分析 把两个算式编号为（1）式、（2）式.把（1）式中的用（2）式中的三个代换,可得=25 也就是 ×5=25解 =25÷（23）=5=555=15例2 根据下图,求最大的球的克数.48克（1）（2）（3）分析 先比较上图（1）中天平两端,容易看出：1个小黑求的重量恰好等于砝码的重量48克.由图（2）可知,3 =2 .这样可求出小白球的重量.算出小白球的重量后,由图（3）又可以算出最大球的重量.解 由于 =48和3 =2 ,可算出 =48×3÷2=32（克）.答：最大球的重量为：32×4=128（克）例3 百货店运来300双球鞋,分别装在2个木箱、6个纸箱里.如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多,想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?分析 根据“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”,把木箱换成纸箱,也就是说,把300双球鞋全部用纸箱装,不用木箱装.根据已知条件,2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱,再加上原来已装好的6个纸箱,一共是10个纸箱.这样,题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里,平均每个纸箱装多少双球鞋?”可以求出每个纸箱装多少双鞋,也就能求出一个木箱能装多少双鞋.解 300÷（2×26）=300÷10=30（双）30×2=60（双）答：每个纸箱里装30双球鞋,每个木箱里装60双球鞋.例4 如下图,淡黄色部分是正方形,求出最大的长方形的周长.ACBDGFHE5厘米7厘米分析 因为图的中间是正方形,正方形的4边相等,所以DF=FE=BE=BD（1）长方形ABCD的周长为7×2=14（厘米）,长方形EHGF的周长为5×2=10（厘米）,又因为最大的长方形AHGC的周长等于：ABACCDDFFGGHEHBE（2）根据（1）对（2）式进行等量代换,就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABCD的周长加上长方形EHGF的周长.解 7×25×2=24（厘米）答：图中最大长方形的周长是24厘米.例5 如果鱼尾重4千克,鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量,而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少千克?分析 依题意列出下列等式：尾=4 （1）头=尾身÷2 （2）身=头尾 （3）由于等式左右两边同乘以一个数,结果仍相等,所以把（2）式两边同乘以2得：2头=2尾身 （4）把（3）式代入（4）式得：2头=2尾+头+尾解 头=3尾=3×4=12（千克）身=头尾=124=16（千克）、全鱼=头身尾=12164=32（千克）答：这条鱼有32千克.小结 在进行等量代换时,我们通常要把题目中的等量关系或图中的相等关系（天平平衡就是一种等量关系）转化为等式,并把这些等式按顺序编号,再互相代换.5