小学数学知识点例题精讲《带余除法（一）》教师版.docx

5-5-1.带余除法（一）教学目标1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4. 根据简单操作进行找规律计算知识点拨带余除法的定义及性质1、定义：一般地,如果a是整数,b是整数（b0）,若有a÷b=qr,也就是ab×qr, 0rb;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小.2、余数的性质 被除数除数商余数;除数（被除数余数）商;商（被除数余数）除数; 余数小于除数3、解题关键理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了例题精讲除法公式的应用【例 1】 某数被13除,商是9,余数是8,则某数等于 .【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第2题,5分【解析】 125【答案】【例 2】 一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中,最大的是_.【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第3题【解析】 因为最大的三位数为,所以满足题意的三位数最大为：【答案】【巩固】 计算口÷,结果是：商为10,余数为.如果的值是6,那么的最小值是_.【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,复赛,第4题,6分【解析】 根据带余除法的性质,余数必须小于除数,则有 的最小值为7.【答案】【例 3】 除法算式中,被除数最小等于 . 【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,4题【解析】 本题的商和余数已经知道了,若想被除数最小,则需要除数最小即可,除数最小是,所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】【例 4】 71427和19的积被7除,余数是几?【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第14题【解析】 71427被7除,余数是6,19被7除,余数是5,所以71427×19被7除,余数就是6×5被7除所得的余数2.【答案】【例 5】 除以一个两位数,余数是求出符合条件的所有的两位数【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ,那么符合条件的所有的两位数有,因为“余数小于除数”,所以舍去,答案只有.【答案】共三个【巩固】 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.【答案】39或者97【巩固】 在下面的空格中填上适当的数.【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,决赛,第10题,12分【解析】 本题的被除数、商和余数已经给出,根据除法的计算公式：被除数除数商余数,逆推计算得到：除数(2004713)÷742=27.【答案】【例 6】 一个两位奇数除1477,余数是49,那么,这个两位奇数是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 这个两位奇数能被1477-49=1428整除,且必须大于49,1428=2×2×3×7×17,所以这样的两位奇数只有51.【答案】51【例 7】 大于35的所有数中,有多少个数除以7的余数和商相等?【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 除以7的余数只能是06,所以商只能是06,满足大于7的数只有商和余数都为5、6,所以只能是40、48.【答案】40、48【例 8】 已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个?【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目.由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数,同时还要满足大于10这个条件.这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数,共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数,其中1,2,3,6,9是比10小的约数,所以符合题目条件的自然数共有11个.【答案】11【巩固】 写出全部除109后余数为4的两位数 【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】美国长岛,小学数学竞赛,第五届【解析】 因此,这样的两位数是：15;35;21【答案】两位数是：15;35;21【例 9】 甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】清华附中,小升初分班考试【解析】 (法1)因为 甲乙,所以 甲乙乙乙乙;则乙,甲乙(法2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从中减掉以后,就应当是乙数的倍,所以得到乙数,甲数【答案】乙数,甲数【例 10】 用某自然数去除,得到商是46,余数是,求和【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第五届,小数报,决赛【解析】 因为是的倍还多,得到,得,所以,【答案】,【例 11】 当1991和1769除以某个自然数n,余数分别为2和1那么,n最小是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如果用1990和1769去除这个自然数n时,余数是1而,我们不妨取,再验证一下：,所以n最小为13【答案】13【例 12】 有三个自然数,已知除以,得商3余3;除以,得商9余11.则除以,得到的余数是 .【考点】除法公式的应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯,5年级,初赛,第4题,6分【解析】所以应该余2.【答案】【例 13】 有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968【答案】1968【巩固】 两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是_【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍,所以根据和倍问题可知,除数为,所以,被除数为.【答案】324【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少?【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型.根据题意设两个自然数分别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数分别是856,21.【答案】两个自然数分别是856,21【例 14】 有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍.且这个三位数除以5余4,除以11余3.这个三位数是_ 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【解析】 首先个位数不是4就是9,又因为它是百位的3倍所以一定是9,那么百位就是3,又因为它被11除余3,因此十位是9,答案是399【答案】399【例 15】 一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_.【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2004年,福州市,迎春杯【解析】 设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,所以这个自然数为.【答案】84【例 16】 盒子里放有编号1到10的十个球,小红先后三次从盒子中共取出九个球,如果从第二次起,每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一,那么剩下的球的编号为_.【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,四年级,初赛,第11题【解析】 令第1次取的编号为a,第二次取的编号为2a+1,第三次取的编号为：2（2a+1）+1=4a+3;还剩下的编号为：55-7a-4=517a,当a为6时,余下的是9;当a为7时,余下的是2.【答案】或者【例 17】 10个自然数,和为100,分别除以3.若用去尾法,10个商的和为30;若用四舍五入法,l0个商的和为3410个数中被3除余l的有_个【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第13题【解析】 由题意,“用去尾法,10个商的和为30;用四舍五入法,l0个商的和为34”可知,10个数中除以3余2的数有34-30=4（个）,又知道10个自然数的和为100,设除以3余1的数有个,那么根据用去尾法后十个商的和与10个自然数的和,可得关系式：,解得,.【答案】【例 18】 除以某个整数后所得的商恰好是余数的倍,那么除数最小可能是 .【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4年级,第2题【解析】 设除数为,商为,余数为,则,且.可以将除式转化为,所以,所以和是的约数,在的约数中只有被除所得的余数为,所以,.【答案】【例 19】 在大于2009的自然数中,被57除后,商与余数相等的数共有_个.【考点】除法公式的应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第10题【解析】 根据题意,设这样的数除以57所得的商和余数都为a（a57）,则这个数为57×a+a=58a.所以58a2009,得到a2009÷58=,由于a为整数,所以a至少为35.又由于a57,所以a最大为56,则a可以为35,36,37,56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数,所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个.【答案】【例 20】 用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?【考点】除法公式的应用 【难度】5星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第14题【解析】 用1、9、8、8可排成12个四位数,即1988,1898,1889,9188,9818,9881,8198,8189,8918,8981,8819,8891【解析】 它们减去8变为1980,1890,1881,9180,9810,9873,8190,8181,8910,8973,8811,8883其中被11整除的仅有1980,1881,8910,8811,即用1、9、8、8可排成4个被1除余8的四位数,即1988,1889,8918,8819.【解析】 【又解】什么样的数能被11整除呢?一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数字之和,如果它们之差能被11除尽,那么所给的数就能被11整除,否则就不能够【解析】 现在要求被11除余8,我们可以这样考虑：这样的数加上3后,就能被11整除了所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数,再将奇位数字相加再加上3,得另一个和数,如果这两个和数之差能被11除尽,那么这个数是被11除余8的数;否则就不是【解析】 要把1、9、8、8排成一个被11除余8的四位数,可以把这4个数分成两组,每组2个数字其中一组作为千位和十位数,它们的和记作A;另外一组作为百位和个位数,它们之和加上3记作B我们要适当分组,使得能被11整除现在只有下面4种分组法：【解析】【解析】 经过验证,第（1）种分组法满足前面的要求：A18,B98320,BA11能被11除尽但其余三种分组都不满足要求【解析】 根据判定法则还可以知道,如果一个数被11除余8,那么在奇位的任意两个数字互换,或者在偶位的任意两个数字互换,得到的新数被11除也余8于是,上面第（1）分组中,1和8中任一个可以作为千位数,9和8中任一个可以作为百位数这样共有4种可能的排法：1988,1889,8918,8819【解析】 答：能排成4个被11除余8的数【答案】6