小学数学知识点例题精讲《同余问题》学生版.docx

5-5-3.同余问题教学目标1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数知识点拨同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.2、重要性质及推论：（1）若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除例如：与除以的余数都是,所以能被整除（2）用式子表示为：如果有ab ( mod m ),那么一定有abmk,k是整数,即m|(ab)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对于除数m同余由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数; 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数; 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数; 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数; 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;（不够减的话先适当加11的倍数再减）; 整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是_. 【例 3】 有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33求这个数是多少?【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少?【例 5】 两位自然数与除以7都余1,并且,求【例 6】 现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子.余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2,这个大班有_名小朋友,每人分得糖果_粒,饼干_块,桔子_个.模块二、三个数的同余问题【例 7】 有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【巩固】 有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.问这个整数是几?【巩固】 在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_【巩固】 140,225,293被某大于1的自然数除,所得余数都相同.2002除以这个自然数的余数是 .【巩固】 三个数：23,51,72,各除以大于1的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是 .【例 8】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班?【例 9】 若2836,4582,5164,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为_【例 10】 一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为,则这个自然数是多少?【巩固】 有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_.【例 11】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、,求这个自然数和的值. 【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603,939,393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少?【例 13】 已知60,154,200被某自然数除所得的余数分别是,求该自然数的值【例 14】 有一个自然数,它除以、所得到的商()与余数()之和都相等,这样的数最小可能是多少【例 15】 三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_,_,_.模块三、运用同余进行论证【例 16】 在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数.将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作.问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗?为什么?【例 17】 一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?【例 18】 从1,2,3,n中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为多少? 【例 19】 设是质数,证明：,被除所得的余数各不相同5