小学数学奥数习题讲义《循环问题》.docx

第十三讲 循环小朋友们,你留意过循环问题吗?在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复出现的现象.如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的.在数学中,也常会碰到一些重复出现的问题.在研究这些问题时,我们不仅要判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,而更重要的是看它的余数.如1999年元旦是星期五,2000年元旦是星期几?因为1999年是平年,有365天,365÷7=521,所以2000年的元旦是星期六.这就是根据365除以7所得的余数来判定的.那么,就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题.典型例题例1 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后又依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白像这样继续下去,到第2003个小球该涂什么颜色?分析 小木球涂色的次序是：“5红,4黄,3绿,2黑,1白”,也就是每涂过“5红,4黄,3绿,2黑,1白”循环一次,给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15.所以只要用2003除以15,根据余数就可以判断球的颜色.解 2003÷15=1338这就是说,第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个,所以第2003个小球涂的是黄色.例2 有一列数：7,0,2,5,3,7,0,2,5,3,（1） 第81个数是多少?（2） 这81个数相加的和是多少?分析 （1） 从排列可以看出这组数是按7,0,2,5,3依次重复排列的,那么一个循环周期就有5个数.（2） 之和是7+0+2+5+3=17.用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数,即可得到答案.解（1）81÷5=161按照循环次序可知：第81个数为7.（2）17×16+7=279 所以这81个数相加的和为279例3 假设所有自然数排列起来如下图所示,55应排在哪个字母下面?248应排在哪个字母下面?A B C D1 2 3 45 6 7 89 10 11 12. . . . . . . . . .分析 从排列情况可知,这些自然数按从小到大4个数一个循环排列.要求这些数字排在哪个字母的下面,我们可以根据这些数除以4的余数来判断.解 55÷4=133所以55排在第3个字母C的下面.248÷4=62所以248排在第4个字母D的下面.例4 如下图,8个队员围成一圈做传球游戏,从1号开始,按照箭头方向向下一个人传球.在传球的同时按自然数数列报数.当报到96时,球在几号队员手上?分析 把8个队员看成一组,解法与例3相同.解 96÷8=12所以报96时,球应在8号队员手上.例5 2003个学生按下列方法编号排成5列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 14 问：最后一位学生应站在第几列?分析 观察这些学生排列的情况可以看出,除15外,从第2排起都是按8个数一个循环依次不断重复出现.因此,除以8余数为1、2、3、4、5、6、7、0对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五.解 （20035）÷8=2496因此,第2003个学生站在第3列.小结 解决循环问题时,应把注重点放在以下几个方面：一、 数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性.二、 每几个数循环一次,周期长度是多少.三、 每个循环节是按什么次序排列的.解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应.比如余数为3,就找循环节里面的第3个状态.5