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神奇巧解技巧高考数学选择题例题与题组一、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。【例题】、（07江苏 6）设函数 f (x) 定义在实数集上，它的图象关于直线 x =1对称，且当 x ³1时， f (x) = 3x -1，则有（ ）。A、 f (1) 3 2 B、 (2) 3 1f3 2 3 3 2 3C、 f (2) 1 3 D (3) 2 1f3 3 2 2 3 3【解析】、当 x ³1时， f (x) = 3x -1， f (x) 的图象关于直线 x =1对称，则图象如图所示。这个图象是个示意图，事实上，就算画出f (x) =| x -1| 的图象代替它也可以。由图知，符合要求的选项是 B，【练习 1】、若 P（2，-1）为圆(x -1)2 + y2 = 25的弦 AB 的中点，则直线 AB的方程是（ ）A、 x - y -3 = 0 B、2x + y -3 = 0 C、 x + y -1= 0 D、2x - y -5 = 0（提示：画出圆和过点 P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选 A）ì - + 2 £ 0x yï ³ ，则 yíx 1【练习 2】、（07 辽宁）已知变量 x 、 y 满足约束条件xï + - £x y 7 0î的取值范围是（ ）A、 9 ,6é ùê úë5 ûæ-¥ ù ¥9B、 ),ç úè 5ûC、(-¥, 3 +¥) D、3, 61（提示：把 yx看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。）【练习 3】、曲线 y =1+ 4 - x2 (xÎ -2, 2 )与直线 y = k(x - 2) + 4 有两个公共点时，k 的取值范围是（ ）A、(0, 5 ) B、(1 , 1)12 4 3C、( 5 ,+¥) D、( 5 , 3)12 12 4（提示：事实上不难看出，曲线方程 y =1+ 4 - x (xÎ -2,2 ) 的图象为2x2 + (y -1)2 = 4(-2 £ x £ 2,1£ y £ 3) ，表示以（1，0）为圆心，2 为半径的上半圆，如图。直线 y = k(x - 2) + 4 过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选 D）【练习 4】、函数 y =| x | (1- x) 在区间A上是增函数，则区间 A是（ ）é 1ùA、(- ¥,0 B、 ú0,êë û2æ ,+¥1 öC、0,+¥) D、 ÷çè 2 ø（提示：作出该函数的图象如右，知应该选 B）| x - | y | = 与直线 y = 2x + m|【练习 5】、曲线 12 3有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A、m f 4 或m p -4 B、- 4 p m p 4C、m f 3或m p -3 D、-3 p m p 3（提示：作出曲线的图象如右，因为直线2y = 2 + 与其有两个交点，则m f 4 或m p -4，选 A）x m【练习 6】、（06 湖南理 8）设函数 f (x)=x -a x -1，集合 M = x | f (x) ， P = x | f (x) ，若M Í P ，则实数a 的取值范围是（ ）'A、(-¥, 1) B、(0,1) C、(1,+¥) D、1,+¥)（提示：数形结合，先画出 f (x) 的图象。 ( ) 1 1 1 1x -a x - + -a -af x = = = + 。当x -1 x -1 x -1a 时，图象如左；当a 时图象如右。由图象知，当a 时函数 f (x) 在(1,+¥)上递增， f ' (x) ，同 时 f (x) 的解集为(1,+¥)的真子集，选 C）【练习 7】、（06湖南理 10）若 圆 x2 + y2 -4x -4y -10 = 0上至少有三个不同的点到直线l : ax + by = 0 的距离为2 2 ，则直线l 的倾斜角q 的取值范围是（ ）é p p ùA、 ,ê úë12 4 ûB、é p , 5p ù ê úë12 12 ûép p ùC、 ,ê úë 6 3 ûé p ùD、 0,ê úë 2 û（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为(x - 2) + (y - 2) = (3 2) ，由题意知，圆心到直线2 2 2的距离d 应该满足0 £ d £ 2 ，在已知圆中画一个半径为 2 的同心圆，则过原点的直线l : ax + by = 0 与小圆有公共点，选 B。）3【练习 8】、（07浙江文 10）若非零向量 a，b满足|a-b|=| b |，则（ ）A、|2b| | a-2b | B、|2b| | a-2b |C、|2a| | 2a-b | D、|2a| | 2a-b |（提示：关键是要画出向量 a，b的关系图，为此先把条件进行等价转换。|a-b|=| b |Û |a-b|2=2 Û a2 Û a·（a-2b）=0Û | b | 2+b2-2a·b= ba（a-2b），又 a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，|2b| | a-2b |，选 A。另外也可以这样解：先构造等腰OAB，使 OB=AB，再构造 ROAC，如下图，因为 OCAC，所以选 A。）【练习 9】、方程 cosx=lgx的实根的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4（提示：在同一坐标系中分别画出函数 cosx与 lgx的图象，如图，4由两个函数图象的交点的个数为 3，知应选 C）【练习 10】、(06江苏 7)若 A、B、C为三个集合，A ，则一定有（ ）A、 A Í C B、C Í A C、 A ¹ C D、 A = F（提示：若 A = B = C ¹ F ，则 A成立，排除 C、D选项，作出 Venn图，可知 A成立）【练习 11】、(07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f (x) 是偶函数，且f x = f - x 。若 f (x) 在区间1，2上是减函数，则 f (x) （ ）( ) (2 )A、在区间-2，-1上是增函数，在区间3，4上是增函数B、在区间-2，-1上是增函数，在区间3，4上是减函数C、在区间-2，-1上是减函数，在区间3，4上是增函数D、在区间-2，-1上是减函数，在区间3，4上是减函数（提示：数形结合法， f (x) 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选 B）【练习 12】、（07山东文 11改编）方程 3 (1) 2x = x- 的解2x 的取值区间是（ ）0A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）5（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数 3, (1) 2 y = x y = x- 的图象，则立2刻知选 B，如上右图）二、特值代验包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列 a 中，若a a = ，n5 6 9则log a + log a + + a = （ ）3 1 3 2 10A、12 B、10 C、8 D、2 + log 53【解析】、思路一（小题大做）：由条件有9 = a a = a q4 5 = 2q9 , 从而5 6 1 1 1a = + + + = a q = ，1 2 3 10 110 1 2 ( 12 9 )5 310所以原式=log (a a og 310 =10 ，选 B。3 1 2 3思 路 二 （ 小 题 小 做 ）： 由9 = a a = a a = a a = a a = a a 知 原 式5 6 4 7 3 8 2 9 1 10=log (a a )5 = log 310 = 3，选 B。3 5 6 3思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列a5 = a6 = 3,q =1即可，选 B。 p ，则下列命题中正确的是（ ）【练习 1】、（07江西文 8）若02A、sin x 2 B、sin x 2 C、sin x 3 D、sin x 3p p p pp p（提示：取 x = , 验证即可，选 B）6 3【练习 2】、（06北京理 7）设 f (n) = 2 + 24 + 27 + 210 + 3n+10 (nÎ N) ，则 f (n) =（ ）A、 2 (8n -1) B、 2 (8n+1 -1) C、 2 (8n+3 -1) D、 2 ( 4 1) nn+ -7 7 7 7（提示：思路一：f（n）是以 2 为首项，8 为公比的等比数列的前n+ 4 项6的和，所以2(1 8 ) 2- +n 4f (n) (n 1)= = n+4 -1-8 7，选 D。这属于直接法。思路 2：令n = 0 ，则fé - 3 4 ù4 7 10 2 1 (2 ) 2 4ë û(0) = 2 + 2 + 2 + 2 = = (8 -1) 1- 2 7，对照选项，只有 D成立。）【练习 3】、（06全国 1理 9）设平面向量 a1、a2、a3的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量 b1、b2、b3满足| bi|=2| ai |，且 ai顺时针旋转30 以后与 bi同向，其中 i=1、2、3则（ ）A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0（提示：因为 a1+a2+a3=0，所以 a1、a2、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则 bi实际上是将三角形顺时针旋转30 后再将其各边延长 2 倍，仍为封闭三角形，故选 D。）【练习 4】、 若 f (x) = ax (a ¹ ， f -1(2) 则 f -1(x +1) 的图象是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：抓住特殊点 2， f -1(2) ，所以对数函数 f -1(x)是减函数，图象往左移动一个单位得 f -1(x +1) ，必过原点，选 A）【练习 5】、若函数 y = f (x +1) 是偶函数，则 y = f (2x) 的对称轴是（ ）A、 x = 0 B、 x =1 C、 1 x = D、 x = 22（提示：因为若函数 y = f (x +1) 是偶函数，作一个特殊函数 y = (x -1)2 ，则7y = f x 变为 y = (2x -1)2 ，即知 y = f (2x) 的对称轴是 1(2 ) x = ，选 C）2【练习 6】、已知数列an的通项公式为 an=2n-1，其前 n和为 Sn，那么Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn=（ ）A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式 an=2n-1求得和的公式 Sn，再代入式子 Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选 B）【练习 7】、（06辽宁理 10）直线 y = 2k 与曲线9k2 x2 + y2 =18k2 x （k Î R,k ¹1）的公共点的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4y2（提示：取k =1，原方程变为 x - 2 + = ，这是两个椭圆，与直线 y = 2 有 4( 1) 19个公共点，选 D）【练习 8】、如图左，若 D、E、F分别是三棱锥 S-ABC的侧棱 SA、SB、SC上的点，且 SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面 DEF截三棱锥 S-ABC所得的上下两部分的体积之比为（ ）A、4：31 B、6：23C、4：23 D、2：25（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥，K 是FC的中点，V V1, 2V V 分别表示上下两部分的体积1, 28则 2 (2)2 2 8 -V S h V 8 4 4S DEF = S DEF = × = ， 1- - = =V S 3h 3 3 27 V 27 -8+ 4 23S-ABC S-ABC 2，选 C）【练习 9】、ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，OH = m(OA+OB +OC)，则m 的取值是（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、2（提示：特殊化处理，不妨设ABC为直角三角形，则圆心 O在斜边中点处，此时有OH = OA+OB +OC ，m =1，选 B。）【练习 10】、双曲线方程为x y2 2+ =1，则k 的取值范围是（ ）k - 2 5- kA、k B、2 C、-2 D、-2 或k（提示：在选项中选一些特殊值例如k = 6, 0 代入验证即可，选 D）三、筛选判断包括逐一验证法将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。【例题】、设集合 A和 B都属于正整数集，映射 f： A ® B 把集合 A中的元素 n映射到集合 B中的元素，则在映射 f下，像 20的原像是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5【解析】、经逐一验证，在 2、3、4、5中，只有 4符合方程2n + n =20，选 C。【练习 1】、（06安徽理 6）将函数 y = sinwx(wp的图象按向量 a=(- ,0)平移以后的图象如图所示，则6平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ）p p p= - 7 A、 y = sin(x + ) B、 y sin(x )6 6 12 p pC、 y = sin(2x + ) D、 y = sin(2x - ) 3 3（提示：若选 A或 B，则周期为2p ，与图象所示周期不符；若选 D，则与 “按9p向量 a=(- ,0)平移” 不符，选 C。此题属于容易题）6【练习 2】、（06重庆理 9）如图，单位圆中 AB 的长度为 x ， f (x) 表示 AB 与弦 AB所围成的弓形的面的2倍，则函数 y = f (x) 的图象是（ ）2p 2p 2p 2pp p p pp 2p p 2p p 2p p 2pA、 B、 C、 D、（提示：解法 1 设ÐAOB =q ，则 x =q ，则 S弓形=S扇形- SAOB=1 1 2 1 sin cosq qx´ - ´2 2 2 2 1 1= (x -sinq) = (x -sin x)，当 xÎ(0,p) 时，2 2sin x ，则 x -sin x ，其图象位于 y = x 下方；当 xÎ(p, 2p ) 时， sin x ，x -sin x ，其图象位于 y = x 上方。所以只有选 D。这种方法属于小题大作。解法 2 结合直觉法逐一验证。显然，面积 f (x) 不是弧长 x 的一次函数，排除 A；当 x 从很小的值逐渐增大时，f (x) 的增长不会太快，排除 B；只 要 x p则必然有面积 f (x) p ，排除 C，选 D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D）【练习 3】、（06天津文 8）若椭圆的中心点为 E（-1，0），它的一个焦点为F（-3，0），相应于焦点的准线方程是 7 x = - ，则这个椭圆的方程是（ ）2A、2( 1) 2x- 2 y2+ = B、121 32(x+1) 2y2 2+ = C、121 3(x-1)25+ 2 = D、y 1(x +1)25+ 2 =y 1（提示：椭圆中心为（-1，0），排除 A、C，椭圆相当于向左平移了 1个单 a2 7位长度，故 c=2，- -1= - ，a2 = 5 ，选 D） c 210【练习 4】、不等式 2x +x +1的解集是（ ）A、(-1, 0) +¥ B、(-¥,-1)C、(-1, 0) D、(-¥,-1) +¥（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取 x = 2，代入原不等式，成立，排除 B、C；取 x = -2，排除 D，选 A）【练习 5】、（06江西理 12）某地一年内的气温Q（t）（）与时间 t（月份）之间的关系如右图，已知该年的平均气温为 10。令 C（t）表示时间段0，t的平均气温，C（t）与 t之间的函数关系如下图，则正确的应该是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排 除 C；t=12时，C（t）=10，排除 D；t6时的某一段气温超过 10，排除 B，选 A。）【练习 6】、集合M = (2n +1)p | nÎZ与集合 N = (4k ±1)p | k ÎZ之间的关系是（ ）A、M Ì N B、M É N C、M = N D、M ¹ N（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以 A、B均假； 2n+1表示全体奇数，4k ±1也表示奇数，故M Ê N 且 B假，只有 C真，选 C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令 k=0，±1，±2，±3，然11后观察两个集合的关系就知道答案了。）2 4 4 1 【练习 7】、 当 xÎ-4, 0时，a + -x - x £ x + 恒成立，则a 的一个可能的3值是（ ）A、5 B、 53C、 5- D、-53（提示：若选项 A正确，则 B、C、D也正确；若选项 B正确，则 C、D也正确；若选项 C正确，则 D也正确。选 D）【练习 8】、（01广东河南 10）对于抛物线 y2 = 4x 上任意一点 Q，点 P（a，0）都满足 PQ ³ a ，则a 的取值范围是（ ）A、(-¥,0) B、(-¥,2 C、0, 2 D、(0, 2)（提示：用逻辑排除法。画出草图，知 a0符合条件，则排除 C、D；又取a =1，则 P是焦点，记点 Q到准线的距离为 d，则由抛物线定义知道，此时 ad|PQ|,即表明a =1符合条件，排除 A，选 B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较设 点 Q 的 坐 标 为y2( , )0 y ， 由 PQ ³ a ， 得04y2y + -a ³ a ， 整 理 得02 ( 0 )2 24y y + - a ³ ，2 20 ( 0 16 8 ) 0 y2 ³ ， 02 16 8 00 0 y + - a ³ ，即y2a £ 2 + 恒成立，而08y22 + 0 的最小值是 2，8a £ 2，选 B）x【练习 9】、（07 全国卷理 12）函数 f (x) = cos2 x -cos2 的一个单调增区间是2（ ）A、 , 2æ p p öç ÷è 3 3 øæp p öB、 ,ç ÷è 6 2 øæ p öC、 0,ç ÷è 3 øæ- öp pD、 ,ç ÷è 6 6 ø12（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选 A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端p p点值其实是可以取到的，由 f (- ) = f ( ) ，显然直接排除 D，在 A、B、C 中只6 6要计算两个即可，因为 B 中代入p 会出现 p ，所以最好只算 A、C、现在就验6 12算 A，有 (p ) 2p ，符合，选 A）f3 3四、等价转化解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。【例题】、（05辽宁 12）一给定函数 y = f (x) 的图象在下列图中，并且对任意 ( ) a + = f a 得到的数列满足 + Î ，则该函数的图a Î ，由关系式 a N +1 0,1 1 ( ) 1 )n n n n象是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】问题等价于对函数 y = f (x) 图象上任一点(x, y)都满足 y x ，只能选 A。【练习 1】、设t = sina + cosa ，且 sin3a + cos3a p 0 ，则t 的取值范围是（ ）A、- 2 ，0） B、- 2, 2 C、（-1，0）U (1, 2 D、（- 3 ，0）U ( 3,+¥)（提示：因为 sin3a + cos3a =（sina + cosa ）（sin2a - sina cosa + cos2a），而 sin2a - sina cosa + cos2a 0恒成立，故 sin3a + cos3a p 0 Û t0,选 A。另解：由 sin3a + cos3a p 0 知a 非锐角，而我们知道只有a 为锐角或者直角时13t = sina + cosa £ 2 ，所以排除 B、C、D，选 A）【练习 2】、F1, F2 是椭圆2x4+ = 的左、右焦点，点 P在椭圆上运动，则y2 1PF 的1最大值是（ ）A、4 B、5 C、1 D、2（提示：设动点 P 的坐标是( 2 cosa,sina) ，由 1, 2F F 是椭圆的左、右焦点得F1(- 3, 0) ，F ， 则2 ( 3, 0)PF ×PF = | (2 cosa + 3, sina) a - 3, sina)| =| 4 cos2 a -3+sin2 a |1 2=| 3cos a -2 |£ 2 ，选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求2最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的| PF | + | PF |PF PF a× £ = 2 = ）1 2 41 22【练习 3】、若log 2a b ，则（ ）。A、0 B、0 C、a D、b（提示：利用换底公式等价转化。 lg 2 lg2log 2a a blg lg0 ，选 B）【练习 4】、 a,b,c,d Î R, 且d ，a + b = c + d,a + d ，则（ ）A、d B、bC、b D、b（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，如图 ，用线段代表a,b,c,d,立马知道选 C。当然14这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字 1，4，2，3 代表a,b,c,d,容易知道选 C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“a,b,c,dÎR”收严一些变为“a,b,c,dÎR+”。wx p +wx é- p p ù【练习 5】、已知w 若函数 f (x) = sin sin 在 ,ê ú2 2 ë 4 3 û上单调递增，则w 的取值范围是（ ）A、æ0, 2ù ç úè 3ûB、æ0, 3ù ç úè 2ûC、(0, 2 D、2,+¥)（提示： 化简得 ( ) 1 sin é- ùp pf x = wx，sin x 在 , ê ú2 ë 2 2 û上递增，p w p p p é- ùp p- £ x £ Þ - £ x £ ，而 f (x) 在 ,ê ú2 2 2w 2w ë û4 3上单调递增é ù é ù 3p p p p wÛ ê- ú Ê ê- ú Þ £ £, , 0ë û ë w w û4 3 2 2 2，又w 选 B）【练习 6】、 把 10 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）1A、C3 B、C C、C3 D、 22 C6 6 9 92（提示：首先在编号为 1，2，3的三个盒子中分别放入 0，1，2个小球，则余下的 7个球只要用隔板法分成 3 堆即可，有C2 种，选 B；如果你认为难以6想到在三个盒子中分别放入只 0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只 1，2，3个小球，那也好办：你将余下的 4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的 7球 6空中插入 2块隔板，也与本问题等价。）【练习 7】、方程x + x + x + x = 的正整数解的组数是（ ）1 2 3 4 12A、24 B、 72 C、144 D、165（提示：问题等价于把 12个相同的小球分成 4堆，故在排成一列的 12球1511空中插入 3块隔板即可，答案为C131 =165，选 D）【练习 8】、 从 1，2，3，10中每次取出 3个互不相邻的数，共有的取法数是（ ）A、35 B、56 C、84 D、120（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的 8个空中，那么问题转化为求从 8个空位中任意选 3个的方法数，为C8 = 56，选 B）3ax bx 12+ + =【练习 9】、（理科）已知lim 3，则b = （ ）x -1x®1A、4 B、-5 C、-4 D、5（提示：逆向思维，分母（ x -1）一定是存在于分子的一个因式，那么一定 有 ax2 +bx +1= (x -1)(ax -1) = ax2 -(1+ a)x +1 ， 必 然 有 b = -(1+ a) ， 且ax bx 12 + + = -lim lim(ax 1)，a´1-1= 3 Þ a = 4, b = -5，选 B）x -1x®1 x®1【练习 10】、异面直线m,n 所成的角为60 ，l2l1过空间一点 O的直线l 与m,n 所成的角等于60 ，a则这样的直线有（ ）条A、1 B、2 C、3 D、4（提示：把异面直线m,n 平移到过点 O 的位置，记他们所确定的平面为a ，则问题等价于过点 O有多少条直线与m,n 所成的角等于60 ，如图，恰有 3条，选C）【 练 习 11】、 不 等 式 ax2 +bx +c 的 解 集 为 x -1 ， 那 么 不 等 式a(x +1)+b(x -1)+c 的解集为（ ）2A、x 0 B、x x C、x -2 D、x x - 16（提示：把不等式a(x2 +1)+b(x -1)+c 化为a(x -1)2 +b(x -1)+c ，其结构与原不等式ax2 +bx +c 相同，则只须令 -1 - ，得0 ，选 A）五、巧用定义定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长 7%，那么经过 x 季度增长到原来的 y 倍，则函数 y = f (x) 的图象大致是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】、由题设知，y = (1+ 0.07)x ，1+0.07 ，这是一个递增的指数函数，其中 x ，所以选 D。 x + y x - y【练习 1】、已知对于任意 x, y Î R ，都有 f (x)+ f (y) = 2 f ( ) f ( ) ，且 2 2f (0) ¹ 0，则 f (x) 是（ ）A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数（提示：令 y = 0 ，则由 f (0) ¹ 0 得 f (0) = 1；又令 y = -x ，代入条件式可得f (-x) = f (x) ，因此 f (x) 是偶函数，选 B）【练习 2】、 点 M为圆 P内不同于圆心的定点，过点 M作圆 Q与圆 P相切，则圆心 Q的轨迹是（ ）A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段（提示：设P的半径为 R，P、M为两定点，那么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，由椭圆定义知圆心 Q的轨迹是椭圆，选 B）17【练习 3】、若椭圆x + y = 内有一点 P（1，-1），F 为右焦点，椭圆上有2 214 3一点 M，使|MP|+2|MF|最小，则点 M为（ ）A、(2 6, -1) B、(1,± 3) C、(1,- 3) D、( 2 6, 1)± -3 2 2 3（提示：在椭圆中，a = 2,b = 3 ，则 1, 1cc = e = = ，设点 M到右准线的距离a 2为 |MN| ， 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ， | | 1 | | 2 | |MF= Þ MN = MF ， 从 而| MN | 2| MP | +2 | MF |=| MP | + | MN |，这样，过点 P 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求 M点，知易 M(2 6, 1) - ，故选 A）3【练习 4】、 设 1, 2F F 是双曲线x y2 22 - 2 =1(a 的左、右焦点，P 为双曲a b线右支上任意一点，若PF2PF1的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A、2，3 B、（1，3 C、3,+¥) D、(1, 2（提示：PF a PF a(2 + ) 42 22 1= + PF + 4a ³ 8a ，当且仅当1PF PFPF1 114a2PF1= PF ，即1PF = a ，1 2PF = a 时取等于号，又2 4PF + PF ³ F F ，得6a ³ 2c ，1 £ ，选1 2 1 2B）【练习 5】、已知 P为抛物线 y2 = 4x 上任一动点，记点 P到 y 轴的距离为d ，对于给定点 A（4，5），|PA|+d的最小值是（ ）A、4 B、 34 C、 17 -1 D、 34 -118（提示：d 比 P到准线的距离（即|PF|）少1，|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而 A点在抛物线外，|PA|+d的最小值为|AF|-1= 34 -1，选 D）【练习 6】、函数 y = f (x) 的反函数 -1( ) = 1-2xf xx +3，则 y = f (x) 的图象（ ）。A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称C、关于直线 y=3对称 D、关于直线 x = -2对称（提示：注意到 -1( ) = 1-2xf xx +3的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由反函数的定义，知 y = f (x) 图象的对称中心的纵坐标是-3，只能选 B）【 练 习 7】、 已 知 函 数 y = f (x) 是 R 上 的 增 函 数 ， 那 么 a +b 是f (a) + f (b) + f (-b) 的（ ）条件。A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要（提示：由条件以及函数单调性的定义，有a + bìaîb，而这个过程并不可逆，因此选 A）【练习 8】、 点 P是以F1, F2 为焦点的椭圆上的一点，过焦点F 作ÐF PF 的外2 1 2角平分线的垂线，垂足为 M，则点 M的轨迹是（ ）A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线（提示：如图，易知PQ = PF ，M是2F Q 的中点，2OM是1 1 1FQ 的中位线，MO = FQ = (F P + PQ) = (F P + F P) ，由椭圆的定1 1 1 1 22 2 2义知，F P + F P =定值，MO =定值（椭圆的长半轴长 a），选 A）1 2【练习 9】、在平面直角坐标系中，若方程 m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的是双曲线，则的取值范围是（ ）19A、（0，1） B、（ 1，+ ¥ ） C、（0，5） D、（5，+ ¥ ）（提示：方程 m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2可变形为 mm=(x - 2y + 3)2x + y + 2y +12 2，即得1m=x2 + (y +1)2x - 2y + 3，5m=x2 + (y +1)2 x - 2y + 3 5，这表示双曲线上一点(x, y)到定点（0，-1）与定直线 x - 2y +3 = 0 的距离之比为常数e 5= ，又由e ，得到0 ，m选 C。若用特值代验，右边展开式含有 xy 项，你无法判断）六、直觉判断数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据