2023高中物理步步高大一轮 第一章 专题强化二　追及相遇问题.docx

专题强化二追及相遇问题目标要求1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题1追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙的距离不断增大(2)若v甲v乙，甲、乙的距离保持不变(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小3分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”(1)一个临界条件：速度相等它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口4常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vBvA时，若xB>xAx0，则能追上；若xBxAx0，则恰好追上；若xB<xAx0，则不能追上(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离x与时间t的二次函数关系，x0时，表示两者相遇若>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若0，一个解，说明刚好追上或相遇；若<0，无解，说明追不上或不能相遇当t时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像位移时间图像的交点表示相遇，分析速度时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系5常见追及情景(1)速度小者追速度大者情景图像说明匀加速追匀速tt0以前，后面物体与前面物体间距离增大tt0时，两物体相距最远，为x0x(x0为两物体初始距离) tt0以后，后面物体与前面物体间距离减小能追上且只能相遇一次匀速追匀减速匀加速追匀减速特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.(2)速度大者追速度小者情景图像说明匀减速追匀速开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即tt0时刻：若xx0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件若x<x0，则不能追上，此时两物体最小距离为x0x若x>x0，则相遇两次，设t1时刻xx0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2t0t0t1)匀速追匀加速匀减速追匀加速题型一追及相遇问题 考向1速度小者追速度大者例1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？答案2 s6 m解析解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为x，则有vat所以t2 sxvtat26 m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则xvtat2代入已知数据得x6tt2由二次函数求极值的条件知：t2 s时，x有最大值6 m所以t2 s时两车相距最远，为x6 m.解法三(图像法)：自行车和汽车的vt图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v16 m/s所以有t1 s2 s，x m6 m.例2汽车A以vA4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x07 m处、以vB10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a2 m/s2.从刚刹车开始计时求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B.答案(1)16 m(2)8 s解析汽车A和B的运动过程如图所示(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vvBatvA，触得t3 s此时汽车A的位移xAvAt12 m汽车B的位移xBvBtat221 m故最远距离xmaxxBx0xA16 m.(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t15 s运动的位移xB25 m汽车A在t1时间内运动的位移xAvAt120 m此时相距xxBx0xA12 m汽车A需再运动的时间t23 s故A追上B所用时间t总t1t28 s.拓展延伸(1)若某同学应用关系式vBtat2x0vAt，解得经过t7 s(另解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？(2)若汽车A以vA4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x07 m处，以vB10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？答案见解析解析(1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动(2)由位移时间关系公式有：vBtat2x0vAt，解得t1(3) s，t2(3) s. 考向2速度大者追速度小者例3(2022·山东德州市夏津一中开学考试)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？答案(1)5 m/s2(2)1 m/s2解析(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽54 km/h15 m/s，初始距离d14 m在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距dd(v汽v自)t010 m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自v自t汽车的位移为：x汽v汽tat2假设汽车能追上自行车，此时有：x汽x自d代入数据整理得：at210t100要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：10220a0，解得：a5 m/s2.汽车的加速度大小至少为5 m/s2.(2)设自行车加速度为a，同理可得：x汽x自dx自v自tt2整理得：(a2)t210t100要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：10220a800解得：a1 m/s2.自行车的加速度大小至少为1 m/s2. 考向3体育赛事中的追及问题例4如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒在这次练习中，甲以v10 m/s的速度跑到接力区前端s014.0 m处向乙发出起跑口令已知接力区的长度为L20 m.(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？答案(1)6 m(2)16.7 m(3)2 s解析(1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，则在甲追及乙过程中有：s0at2vt代入数据得：t12 s，t24.67 s(大于乙加速最长时间tm s，故舍去)此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：xat126 m(2)乙加速时间为：t乙 s设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令则在甲追及乙过程中有：svt乙vt乙代入数据得：s16.7 m(3)棒在(2)情形下以v10 m/s的速度运动，所以有：t2 s.题型二图像法在追及相遇问题中的应用1xt图像、vt图像中的追及相遇问题：(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解2利用vt图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出vt图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷3若为xt图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为at图像，可转化为vt图像进行分析 考向1xt图像、vt图像中的追及相遇问题例5甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移时间图像如图所示，其中乙车的位移时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是()A甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动B乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动C甲车在010 s内的平均速度为1.5 m/sD在010 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等答案B解析甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的xt图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程xat2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10 s内的平均速度 v0.6 m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误例6(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其vt图像如图所示已知两车在t3 s时并排行驶，则()A在t1 s时，甲车在乙车后B在t0时，甲车在乙车前7.5 mC两车另一次并排行驶的时刻是t2 sD甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m答案BD解析根据vt图像知，甲、乙两车都沿正方向运动t3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲30 m/s，v乙25 m/s，由vt图线与时间轴所围“面积”对应位移知，03 s内甲车位移x甲×3×30 m45 m，乙车位移x乙×3×(1025) m52.5 m故t0时，甲、乙两车相距x1x乙x甲7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；01 s内，x甲×1×10 m5 m，x乙×1×(1015) m12.5 m，x2x乙x甲7.5 mx1，说明在t1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为xx甲x甲45 m5 m40 m，选项D正确 考向2利用vt图像分析追及相遇问题例7假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶甲车在前，乙车在后，速度均为v030 m/s.甲、乙相距x0100 m，t0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示取运动方向为正方向下列说法正确的是()At3 s时两车相距最近Bt6 s时两车速度不相等Ct6 s时两车距离最近，且最近距离为10 mD两车在09 s内会相撞答案C解析由题给图像画出两车的vt图像如图所示，由图像可知，t6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为06 s内两车位移之差，即xx乙x甲×30×3×30×(63) m90 m<x0100 m，即两车在t6 s时距离最近，最近距离为x0x10 m，故A、B错误，C正确；t6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车在后，在69 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在09 s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误课时精练1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移时间(xt)图线，由图可知()A在时刻t1，a车追上b车B在时刻t2，a、b两车运动方向相反 C在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大D在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大答案BC解析t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前b车在后，此后b车在前a车在后，因此，是b车追上a车由于xt图像的斜率表示速度的大小及方向，因此，a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反选项A、D错误，B、C正确2.(多选)(2018·全国卷·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示已知两车在t2时刻并排行驶下列说法正确的是()A两车在t1时刻也并排行驶B在t1时刻甲车在后，乙车在前C甲车的加速度大小先增大后减小D乙车的加速度大小先减小后增大答案BD解析t1t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确3一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为()A21.6 km/h B18 km/hC16 km/h D12 km/h答案A解析轿车速度为v轿72 km/h20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近，有t；t22 mv货t120 m，解得：v货6 m/s21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误4(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a1的匀减速运动，后车司机经t时间后刹车，以大小为a2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是()A. Bv0tC.() D.()答案AD解析前车减速到零所需时间为：t1，减速通过的位移为：x1，后车在t时间内通过的位移为xv0t，后车减速到零经历的时间为：t2，减速通过的位移为：x2，由于两车同时停下且没有发生碰撞，故t1tt2，xx2x1s0，联立解得，在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是：s0或()，故A、D正确，B、C错误5.(多选)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的vt图像如图所示根据图像提供的信息可知()A6 s末乙追上甲B在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 mC8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 mD在04 s内与46 s内甲的平均速度相等答案BC解析根据题图图像可知，在04 s内甲的平均速度1 m/s6 m/s，在46 s内甲的平均速度2 m/s4 m/s，D错误；在06 s内，甲的位移x甲1×4 s2×2 s32 m，乙的位移x乙6×4 m24 m，因此6 s末乙未追上甲，A错误；当两者速度相等时，距离最远，即5 s末距离最远，此时x甲×4 m×1 m30 m，x乙4×5 m20 m，最远距离xx甲x乙10 m，B正确；6 s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离出发点32 m，所用时间t s8 s，C正确6在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的vt图像如图所示，下列说法正确的是()A甲车的加速度大于乙车的加速度B若t24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远C为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 mD若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的答案C解析甲车的加速度大小a1 m/s2 m/s2乙车的加速度大小a2 m/s2 m/s2所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；t24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；024 s内，甲车的位移x1×24 m288 m乙车的位移x2×24 m336 m两者位移之差xx2x148 m所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；t24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误7台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v140 m/s、v225 m/s，轿车在与货车距离x022 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x160 m才能停下来两车均可视为质点若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞答案见解析解析法1：临界法对轿车刹车过程有v122a1x解得轿车刹车过程的加速度大小a15 m/s2设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，有v1a1t0v2，解得t03 s此段时间内轿车行驶的距离为x1v1t0a1t02解得x197.5 m货车行驶的距离为x2v2t0，解得x275 m因为x1x222.5 m>x022 m，故两车会相撞法2：函数法假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1x2x0即v1ta1t2v2tx0整理得t215t220这是一个关于时间t的一元二次方程，(15)24××225>0，说明该方程有实数解，即两车会相撞法3：图像法作出两车运动的vt图像，图中阴影面积x表示两车速度相等时的位移差，由图可知x×3×15 m22.5 m>22 m，说明两车会相撞8一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车答案(1)75 m(2)12 s解析(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等则：t1 s4 sx货v110×(5.54) m95 mx警at12×2.5×42 m20 m所以两车间的最大距离xx货x警75 m(2)警车达到最大速度v90 km/h25 m/s所用的时间：t210 s此时两车的位移分别为x警 m125 mx货v110×(5.510) m155 m两车距离xx货x警30 m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过t时间追上货车，则：t2 s所以警车发动后要经过tt2t12 s，才能追上货车9(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)答案(1)6 m/s(2)20 s225 m(3)20 s解析(1)赛车3 s末的速度v1a1t12×3 m/s6 m/s.(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2200 ma1t22解得t220 s此时赛车的速度va1t22×20 m/s40 m/s当两车速度相等时，两车相距最远由v0a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3 s5 s两车最远相距sv0t3200 ma1t32(10×5200×2×52) m225 m.(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)由位移关系得vt4a2t42v0t4解得t415 s赛车停下来的时间t s10 s所以t415 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动设再经时间t5两车第二次相遇，应满足v0t5解得t520 s.