二次方程根的分布情况归纳(完整版) 教师版.doc

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳2 +bx + c =1、一元二次方程 ax 0根的分布情况设方程 ( )的不等两根为 1, 2 且 ，相应的二次函数为 f x = ax + bx + c = ，方程的ax2 +bx +c = 0 a ¹ 0 x xx < x ( ) 2 01 2根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0( )x1 < 0, x2 < 0两个正根即两根都大于 0( )x1 > 0, x2 > 0一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0(x < < x )1 0 2 大致图象（）ì D >ï0得出 ï- b <í0的2a结 ï论 ( )ï 0 > 0fì D > 0ïï- >bí 02aïï 0 > 0fîf(0)< 0大致图象（）ì D > 0得ï出 ï- b <í0的2a结 ï论 ( )ï f <0 0ì D > 0ïï- b >í02aïï 0 < 0fîf(0)> 0综 合 结 论 （ 不 讨 论ì D >ï0ï - <bíï02aïa× f ( ) >0 0ì D > 0ïï - >bí 02aïïa× f 0 > 0îa × f(0)< 0）1表二：（两根与k 的大小比较）分布 情 况两根都小于 k 即x < k x <1 ,2k两根都大于 k 即x1 > k, x >2k一个根小于 k ，一个大于 k 即x1 < k < x2大致图象（k kk）ì D > 0得ï出 ï- <bík的2a结 ï论 ( )ï f k > 0ì D > 0ïï- b >í k2aïï > 0f kîf(k)< 0大致图象（）ì D > 0得ï出 ï- <bíïk的2a结 ï f k <论 ( )0ì D > 0ïï- b >ík2aïï < 0f kîf(k)> 0综合结论（ 不 讨 论ì D > ì D > 00ï ïï - < ï - >b b kí í k2a 2aï ïïîa× f (k)> 0 ïa f (k)× >î0a× f k( )< 0）2表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在 (m,n)内两根有且仅有一根在 (m,n)内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 (m,n)内，另一根在 (p,q)内， m < n < p < q 大 致 图 象（）得出的 结论ì D >0ï >( )f m 0ïï >( )íïf n 0bï < - <m nïî2af(m)× f (n)< 0ì f m > 0( )ï <( )f n 0ïí <( )f p 0ïï >( )f q 0îì f m f n( ) ( ) <ï或 í < ( ) ( ) ï f p f q î00 大 致 图 象（）得出的 结论ì D > 0ï <( )f m 0ïï <( )íïf n 0bï < - <m nï 2aîì f (m)< 0ï >( )f n0 ( ) ( ) <ì f m f nï ïf í > 或 í < ( ) ( ) ( )(m)× f (n)< 0f p 0 f p f qïï îï <( )f q 0î00综合结论（不讨论 f (m)× f (n)< 0ìïíïîff( ) ( )m f n <( ) ( )p f q<00）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 (m,n)外，即在区间两侧 ，（图形分别如下）需满x < m x > n1 , 2足的条件是3ì f m < 0 ì( )ï ï（1） a > 0 时， ； （2） a < 0 时，í íf n < 0( )ï ïî î( )f m( )f n>0> 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 (m,n)内有以下特殊情况：1° f (m)= 0 f (n)= 0 f (m)g f (n)< 0 m n若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 (m,n)内，从而可以求出参数的值。如方程 ( ) 在区mx2 - m + 2 x + 2 = 0mx - m + x + = x - mx - 2 < 2 < 2 2 间(1, 3)上有一根，因为 f (1)= 0，所 以 ( ) ( )( )，另一根为 ，由 得2 2 2 1 2 1 3 < m <m m 3 即为所求；2° (m,n) D = 0 D = 0方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 - 4mx + 2m + 6 = 0 有且 一 根 在 区 间 (-3, 0)内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由 f (-3)g f (0)< 0 即 (14m +15)(m + 3)< 0 得 出15 16m - 4 2m + 6 = 0 m = -1 3- < < - D = 0 ( ) m = m = -1 x = -2Î(-3, 0)3 m；由 即 得出 或 ，当 时，根 ，即214 2m = - 3 m = 3 3 151 - < m < - m = -1满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；综上分析，得出 或m = x = 3Ï(-3, 0)2 2 14根的分布练习题例 1、已知二次方程( ) ( ) 有一正根和一负根，求实数 的取值范围。2m +1 x2 - 2mx + m -1 = 0 m1解：由 (2m +1)g f (0)< 0 即 (2m +1)(m -1)< 0 ，从而得 即为所求的范围。- < m <12例 2、已知方程 ( ) 有两个不等正实根，求实数 的取值范围。2x2 - m +1 x + m = 0 m解：由4ì D >ï - +0( )ï- >m 1íï2 2gï f (0)> 0î0 Þì + - >( )2m 1 8m 0 m > -1ïíï >m 0îì < - > +Þ 3 2 2或 3 2 2 Þïm míï m > 0î0 < m < 3- 2 2 m > 3+ 2 2或 即为所求的范围。例 3、已知二次函数 ( ) ( ) ( )与 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数y = m + 2 x - 2m + 4 x + 3m + 3 x m2的取值范围。1解：由 (m + 2)g f (1)< 0 即 (m + 2)g(2m +1)< 0 Þ 即为所求的范围。-2 < m <2例 4、已知二次方程 ( ) 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值范围。mx2 + 2m -3 x + 4 = 0 m1解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则 f (0)g f (1)< 0 Þ 4g(3m +1)< 0 Þ 即为所求范围。m < -3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内，由 D = 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例 1、当关于 x 的方程的根满足下列条件时，求实数 a 的取值范围：（1）方程 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；x2 - ax + a2 - 7 = 0（2）方程 的一个根在区间 上，另一根在区间 上；7x2 - (a +13)x + a2 - a - 2 = 0 (0,1) (1, 2)（3）方程 x2 + ax + 2 = 0 的两根都小于 0； 变题：方程 x2 + ax + 2 = 0 的两根都小于-1（4）方程 的两根都在区间 上；x2 - (a + 4)x - 2a2 + 5a + 3 = 0 -1, 3 （5）方程 x2 - ax + 4 = 0 在区间（-1，1）上有且只有一解；例 2、已知方程 x2 - mx + 4 = 0在区间-1，1上有解，求实数 m 的取值范围例 3、已知函数 f (x) = mx2 + (m - 3)x +1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围检测反馈：1若二次函数 ( ) ( 1) 5在区间 上是增函数，则 f (2) 的取值范围是_f x = x - a - x + (1 ,1)222若 a、b 是关于 x 的方程 x2 - 2kx + k + 6 = 0的两个实根, 则 (a -1)2 + (b -1)2 的最小值为 3若关于 x 的方程 x2 + (m - 2)x + 2m -1= 0只有一根在 (0,1) 内，则 mÎ_ _4对于关于 x 的方程 x2+(2m-1)x+4 -2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围：（1）有两个负根 （2） 两个根都小于-1（3）一个根大于 2，一个根小于 2 （4） 两个根都在（0 ，2）内（5）一个根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于 2，一个根大于 4（7） 在（0， 2）内 有根（8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数 f (x) = mx2 + x -1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围。2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨设 f ( ) 0 ( 0)，则二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：x = ax2 + bx + c = a >m b b< n < - m < - < n 即 2a 2ab b < <- Î , - m nm n2a 2a5图象最 大、最小值ff( ) ( )x = f mmax(x) f (n)=minff( ) ( ) ( )x = max f n , f mmax ( ) ( )f x = f nmaxæ- öb( ) ÷x = f çminè 2aøf(x) f (m)=min对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：b ö ì ö üì bæ- æ- bü（1）若 - m n，则 ( )max ( ) ( ) ， ( ) ( ) ( ) ；Î , f f , f ç , , fx = f nmax m f x = min ç ÷, f ní ý÷ ý í f mmin2a î ø þè ø þ î 22aè ab（2）若 - m n，则 f (x)max = maxf (m), f (n)， f (x) minf (m), f (n) Ï , min =2a 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 f (x)= ax - ax + + b(a ¹ )在2, 3上有最大值 5 和最小值 2，求 a,b 的值。2 2 2 0解：对称轴 x = Ï ，故函数 f (x)在区间2, 3上单调。0 1 2,3ì =f (x) f (3) 3a + b + 2 = 5 a =1（1）当 a > 0 时，函数 f (x)在区间2, 3上是增函数，故 ；max ÞÞí = í + = í =( ) ( )ï î îîf x f 2 2 b 2 b 0minì f x = f 2( ) ( )ï（2）当 a < 0 时，函数 f (x)在区间2, 3上是减函数，故í =max( ) ( )ïîf x f 3minÞì + 2 = 5bí + + =î3a b 2 2Þìa = -1í =îb 3f x = x2 - 2ax +1, xÎ 1,3例 2、求函数 ( ) 的最小值。解：对称轴x = a0（1）当 a <1时， y = f ( )= - a （2）当1£ a £ 3 时， ( ) ；（3）当 时，min 1 2 2 ymin = f a =1- a2 a > 3y = f ( )= - amin 3 10 6改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当 a < 2 时， f (x) = f ( )= - a ；max 3 10 66（2）当 a ³ 2 时， ( ) ( ) 。f x max = f 1 = 2 - 2a2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当 a <1时， f (x) = f ( )= - a ， ( ) ( ) ；max 3 10 6 f x min = f 1 = 2 - 2a（2）当1£ a < 2时， f (x) = f ( )= - a ， ( ) ( ) ；max 3 10 6 f x min = f a =1- a2（3）当 2 £ a < 3时， ( ) ( ) ， ；f x = f = - a f (x) = f (a)= - a2max 1 2 2 min 1（4）当 a ³ 3时， f (x) = f ( )= - a ， ( ) ( ) 。max 1 2 2 f x min = f 3 =10 - 6a2 4 3例 3、求函数 在区间 上的最小值。解：对称轴x =0 2（1）当 2 < t 即t > 2时， ( ) ；（2）当 即 时， ；y = f t = t2 - t + t £ 2 £ t +1 1£ t £ 2 y = f ( )= -min 4 3 min 2 1（3）当 2 > t +1即t <1时， ( )y = f t + = t2 - tmin 1 2f x = x2 + x - a +1例 4、讨论函数 ( ) 的最小值。ìx + x - a +1, x ³ a 22f x = x + x - a + = í解： ( ) ，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线1x2 - x + a +1, x < a îx = - 11 x = a < - 1 - 1 £ < 1 1， ，当 ， a ， a ³ 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）2 2 2 2 2 21 1 3 1 1f x = f çæ- ÷ö = - a因此，（1）当 时， ； （2）当 时， min 1；a < - ( ) - £ < ( ) ( )a f x = f a = a2 +2 minè 2 ø 4 2 21 f x = f æç ö÷ = + a1 3（3）当 时，a ³ ( )2 è 2 ø 4min7