【2022高中数学精品教案】3.3 幂函数（2）.docx
【新教材】3.3 幂函数（人教A版）幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1，y=x的图象；2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。重点：常见幂函数的概念、图象和性质；难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？ 问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=t1 km/s，这里v是t的函数.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？ 3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、 新知探究1幂函数一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,是常数. 2、 幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在0,+)上是增函数,在(-,0上是减函数在R上是增函数在0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数,在(-,0)上是减函数公共点(1,1)四、典例分析、举一反三题型一 幂函数的概念例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x(0,+)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 【答案】m=3【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,不符合要求.故m=3. 解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=x(为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式.跟踪训练一1.如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,求实数m的取值. 【答案】m=1或m=2.【解析】由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 题型二 幂函数的图象与性质例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 () A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a. 解题技巧：(幂函数图像与性质)1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c. 2.对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1),且不过第四象限. (2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). (3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= y=x,y=x3)来判断. (4)当>0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是增函数;当<0时,幂函数的图象在区间(0,+)上都是减函数. 跟踪训练二1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是() A.n<m<0B.m<n<0 C.n>m>0D.m>n>0 【答案】 A【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A. 题型三 利用幂函数的单调性比较大小例3 比较下列各组中两个数的大小:(1)2512与1312;(2)-23-1与-35-1;(3)1234与3412.【答案】见解析【解析】(1)幂函数y=x12在0,+)上是增函数,又25>13,2512>1312.(2)幂函数y=x-1在(-,0)上是减函数,又-23<-35,-23-1>-35-1.(3)函数y1=12x在定义域内为减函数,且34>12,1212>1234.又函数y2=x12在0,+)上是增函数,且34>12,3412>1212.3412>1234.解题技巧：（比较幂函数大小）1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 跟踪训练三1. 已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<c C.b<c<aD.c<a<b 【答案】A【解析】a=243=1613,b=425=1615,c=2513, a>b,a<c,b<a<c. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计3.3幂函数1. 幂函数概念 例1 例2 例3 2. 幂函数的图像性质 七、作业课本91页习题3.3本节主要学习了一类新的函数：幂函数。主要就幂函数的形式定义、图像性质、比较大小三方面学习幂函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因此本节课需要学生熟记定义及图像特征.
