【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式（50题竞赛真题强化训练）试卷.docx

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题13 多项式（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2021·全国·高三竞赛）若，则_2（2019·全国·高三竞赛）若a>b>，a+b+c=0，且为的两实根.则的取值范围为_.3（2018·湖南·高三竞赛）四次多项式的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_.4（2018·湖南·高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_.5（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的三个非零实根成等比数列，则_.6（2021·全国·高三竞赛）若实数a，b满足则_7（2019·全国·高三竞赛）已知实数、满足，.则_.8（2019·全国·高三竞赛）设抛物线的一条弦被直线：垂直平分.则弦的长等于_.9（2019·全国·高三竞赛）对正整数k，方程的整数解组有_个10（2018·全国·高三竞赛）在复数范围内，方程的两根为、若，则_11（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，4，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有_个12（2020·浙江·高三竞赛）设曲线：，若对于任意实数，直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围为_.13（2019·江苏·高三竞赛）若x+y2是关于x、y的多项式的因式，则ab的值是_ .14（2019·江西·高三竞赛）设x>0，且，则_ .15（2019·江西·高三竞赛）将集合1，2，19中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_ .16（2019·山东·高三竞赛）整数n使得多项式f(x)=3x3nxn2，可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n的可能值的和为_ .17（2019·全国·高三竞赛）已知关于的方程的两根均为整数则实数的值为_18（2019·全国·高三竞赛）已知实系数方程有三个正实根.则的最小值为_.19（2019·全国·高三竞赛）若是关于的一元三次方程的三个两两不等的复数根，则代数式的值为_20（2019·全国·高三竞赛）对，定义设是一个6次多项式且满足，用表示_21（2018·河北·高三竞赛）若实数x、y、z满足，则_.22（2018·福建·高三竞赛）已知整系数多项式，若，则_23（2018·全国·高三竞赛）设、.且满足方程组，则的取值范围是_.24（2018·全国·高三竞赛）设实数使得关于的一元二次方程的两个根均是整数.则所有这样的是_.25（2018·全国·高三竞赛）设多项式满足.则=_.26（2018·全国·高三竞赛）已知关于的方程（）有三个实数根则的最大值为_27（2021·全国·高三竞赛）已知多项式有2020个非零实根（可以有重根），其中为非负整数，求的最小值28（2021·浙江·高三竞赛）已知方程有两个不同的实数根，则有_个不同的实数根.29（2019·福建·高三竞赛）已知，若方程f(x)=0的根均为实数，m为这5个实根中最大的根，则m的最大值为_ .二、解答题30（2021·全国·高三竞赛）设是方程的两个实根，是方程的两个实根，若，求实数的取值范围.31（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y、z满足求证：x、y、z中至少一个为202032（2020·浙江·高三竞赛）已知，为整系数多项式，若，求，.33（2019·新疆·高三竞赛）已知x、y、z是正数且满足.则x+y+z+xy=_ .34（2019·山东·高三竞赛）已知是素数，求正整数n的所有可能值35（2019·全国·高三竞赛）设实数a、b、c、d满足.证明：.36（2019·全国·高三竞赛）若为某一整系数多项式的根，则称为“代数数”.否则，称为“超越数”，证明：（1）可数个可数集的并为可数集；（2）存在超越数.37（2019·全国·高三竞赛）是否存在实数，使得是一个三元多项式38（2019·全国·高三竞赛）已知非零实数满足.(1)证明：二次方程必有实根；(2)当时,求.39（2019·全国·高三竞赛）设实数、满足：存在为、中某一个，且另两个恰为方程的两实根. 试求的最小可能值.40（2019·全国·高三竞赛）设2006个实数满足，求代数式的值.41（2018·全国·高三竞赛）求出所有使均为整数的正有理数组.42（2018·全国·高三竞赛）已知复平面上的正边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式的个复根.求该正多边形面积的最小值.43（2021·浙江·高二竞赛）已知二次函数有两个不同的零点.若有四个不同的根，且，成等差数列，求的取值范围.44（2021·全国·高三竞赛）设函数有三个正零点，求的最小值.45（2019·江苏·高三竞赛）已知实数a、b、c均不等于0，且，求的值.46（2019·全国·高三竞赛）已知非常数的整系数多项式满足.证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.47（2019·全国·高三竞赛）已知正的三个顶点在抛物线上.试求正中心的轨迹方程.48（2019·全国·高三竞赛）已知方程和都有实根（、，），且可以安排适当的顺序分别将两个方程的根记为、和，.则成立的充要条件是.49（2019·全国·高三竞赛）试求出所有实系数多项式，使得对满足的所有实数、，都有.50（2018·全国·高三竞赛）求所有正整数对.其中,且,使得.