【2022高中数学精品教案】4.1.1 n次方根与分数指数幂（1）.docx

第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节n次方根与分数指数幂第课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。课程目标学科素养1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；2. 理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质；3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：根式的概念；b.逻辑推理：根式与分数指数幂的互化；c.数学运算：根式的化简；d.直观想象：指数幂的运算法则；e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围；重点：根式的概念、分数指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、温故知新1思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个()(2)当nN*时，()n2.()(3)4.()答案(1)(2)×(3)×2.的运算结果是()A2 B2 C±2 D±A2.3m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A B. C D.C当m<0时，没有意义，其余各式均有意义4若x35，则x_.若x35，则x.（二）、探索新知探究1 n次方根的概念问题例1(1)27的立方根是_；16的4次方根是_(2)已知x62 016，则x_.(3)若有意义，求实数x的取值范围为_. (1)3；±2(2)±(3)3，解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.(2)因为x62 016，所以x±.(3)要使有意义，则需要x30，即x3.所以实数x的取值范围是3，)规律方法n次方根的个数及符号的确定(1.)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2.)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.跟踪训练1已知aR，nN*，给出下列4个式子：；，其中无意义的有()A1个B2个 C 3个 D0个A中(3)2n>0，所以有意义，中根指数为5有意义，中(5)2n1<0，因此无意义，中根指数为9，有意义选A.探究2 利用根式的性质化简求值例2 化简下列各式：(1)()5；(2)()6；(3)； 解(1)原式(2)(2)4.(2)原式|2|2224.(3)原式|x2|跟踪训练2若3a1，求a的取值范围解|3a1|，由|3a1|3a1可知3a10，a.探究3 根式与分数指数幂的互化(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? ； ； 总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 43的5次方根是 75的3次方根是 a2的3次方根是 结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义；1.正数的正分数指数幂的意义： 2.正数的负分数指数幂的意义：3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.1思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)5.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如a.()答案(1)×(2)×(3)×跟踪训练1.用根式表示下列各式:(a0) ， ， ， 2.用分数指数幂表示下列各式：； ； ；规律方法根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题通过温故知新，帮助学生在学习了开平方和开立方概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。合作探究：探究1.仿照开立方和开平方，提出开n次方根的概念。发展学生数学推理能力；探究2.通过根式的化简，培养学生分类思想，发展学生数学抽象和数学运算的核心素养。通过特殊问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力；三、当堂达标1下列说法正确的个数是()16的4次方根是2；的运算结果是±2；当n为大于1的奇数时，对任意aR都有意义；当n为大于1的偶数时，只有当a0时才有意义A1B2 C 3 D4【答案】B16的4次方根应是±2；2，所以正确的应为.2已知m102，则m等于() A. B C D±【答案】Dm102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m±.3. 把根式a化成分数指数幂是()A(a) B(a) C -a Da答案D由题意可知a0，故排除A、B、C选项，选D.4. _.【答案】1431.5.（设x<0，则()2_.【答案】xx<0，x>0，2x.6将下列根式与分数指数幂进行互化(1)a3·；(2)(a>0，b>0)7. (1)若x<0，则x|x|_.(2)若3<x<3，求的值. 思路探究：(1)由x<0，先计算|x|及，再化简(2)结合3<x<3，开方，化简，再求值(1)1x<0，|x|x，|x|x，x|x|xx11.解(2)|x1|x3|，当3<x1时，原式1x(x3)2x2.当1<x<3时，原式x1(x3)4.因此，原式通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的 指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；