【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何(50题竞赛真题强化训练)试卷.docx
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【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何(50题竞赛真题强化训练)试卷.docx
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题7 解析几何(50题竞赛真题强化训练)一、填空题1(2021·全国·高三竞赛)已知的四个顶点均在双曲线上,点在边上,且,则的面积等于_.2(2021·全国·高三竞赛)抛物线,设它的某三条切线交于A、B、C三点,设的外接圆与x轴相切,切点为,则_3(2021·全国·高三竞赛)设双曲线的中心为O,右焦点为F,点B满足若在的右支上存在一点A,使得且,则离心率的取值范围为_4(2021·全国·高三竞赛)过椭圆上一点M作圆的两条切线,点AB为切点过AB的直线l与x轴y轴分别交于点PQ两点,则面积的最小值为_.5(2021·全国·高三竞赛)设为抛物线的内接三角形,分别过作抛物线的切线,设三条切线相交所成的三角形为.求与的面积比.6(2021·全国·高三竞赛)双曲线,左右顶点分别为,P为双曲线右支上一点,且,则_.7(2021·全国·高三竞赛)已知双曲线的左右焦点为、,过的直线与双曲线右支交于A、B两点,则、的内切圆面积之和的取值范围是_8(2021·全国·高三竞赛)已知双曲线的左右焦点分别为、,过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点B、C,若,则双曲线的离心率为_9(2021·浙江·高三竞赛)若正方形的一条边在直线上,另两个顶点在抛物线上,则该正方形的面积为_.10(2021·浙江·高三竞赛)已知点,存在抛物线上相异的两点,使得四边形为矩形,则点的轨迹方程是_.11(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆的方程为,经过的左焦点,且斜率为(存在且不为0)的直线与交于A、B两点,设点,延长、与分别交于点C、D直线的斜率为,将写成既约分数,其中a,b是互质的正整数,则_12(2021·全国·高三竞赛)已知集合满足,若P为集合B的边界线C上任意一点,为曲线C的焦点,I为的内心,直线和的斜率分别为,且则t的最小值为_13(2021·全国·高三竞赛)已知、是椭圆的焦点,P是M上一点,的周长是6,且的值是3,过的直线交M于不同两点A,B,则的取值范围是_14(2021·全国·高三竞赛)已知P、Q分别是圆与圆上的点,O是坐标原点,则的最小值为_15(2021·全国·高三竞赛)半径为2的球O放在水平桌面上,该水平桌面所在平面内的一点的竖直正上方有一个点光源A若与球O相切,且,那么,球O经过点光源A照射之后,在该水平桌面上的投影的离心率为_16(2021·全国·高三竞赛)在平面直角坐标系中,若椭圆与双曲线相切,则_17(2021·全国·高三竞赛)设双曲线的离心率为e,过原点的直线与之交于A、B两点,若双曲线上存在一点C,使得直线的斜率与直线的斜率之乘积恰为e,则e的值为_.18(2021·全国·高三竞赛)任作椭圆的一条切线与椭圆两条对称轴分别交于点,若长度的最小值为,则椭圆的离心率为_.19(2021·全国·高三竞赛)已知S、P(非原点)为抛物线上不同的两点,点P处的切线与y轴交于点R,若,则的最小值为_20(2019·山东·高三竞赛)ABC中,.在ABC外部,到点B、C的距离小于6的点组成的集合,所覆盖平面区域的面积是_ .21(2019·重庆·高三竞赛)已知ABC为椭圆的内接三角形,且AB过点P(1,0),则ABC的面积的最大值为_ .22(2019·全国·高三竞赛)在平面直角坐标系中,若以(r+1,0)为圆心r为半径的圆上存在一点(a,b)满足b24a,则r的最小值为_ .23(2019·四川·高三竞赛)双曲线的右焦点为F,离心率为e,过点F且倾斜角为的直线与该双曲线交于点A、B,若AB的中点为M,且|FM|等于半焦距,则_ .二、解答题(共0分)24(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆,其右焦点为F,过F作直线l交椭圆于A、B两点(l与x轴不重合),设线段中点为D,连结(O为坐标原点),直线交椭圆于M、N两点,若A、M、B、N四点共圆,且,求椭圆的离心率25(2021·全国·高三竞赛)已知如图椭圆的左右顶点为、,上下顶点为、,记四边形的内切圆为(1)求圆的标准方程;(2)已知P为椭圆上任意一点,过点P作圆的切线分别交椭圆于M、N两点,试求三角形面积的最小值26(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆的右焦点为F.C上两点AB满足,且.求证:以为直径的圆恒过异于点F的一个定点.27(2021·全国·高三竞赛)已知是抛物线上三个不同的动点,有两边所在的直线与抛物线相切.证明:的重心在定直线上.28(2021·全国·高三竞赛)设椭圆,抛物线(1)若经过的两个焦点,求的离心率;(2)设,又M、N为与不在y轴上的两个交点,若的垂心为,且的重心在上,求椭圆和抛物线的方程29(2020·浙江·高三竞赛)已知直线与椭圆:交于、两点,直线不经过原点.(1)求面积的最大值;(2)设为线段的中点,延长交椭圆于点,若四边形为平行四边形,求四边形的面积.30(2021·全国·高三竞赛)如图,已知抛物线焦点为F,三边所在直线与抛物线分别相切,求证:外接圆过定点31(2021·全国·高三竞赛)已知AB是抛物线上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限,直线分别过点A,B且与抛物线C相切,P为的交点.设CD为直线与直线的交点,求面积的最小值.32(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆,点P、Q在椭圆C上,满足在椭圆C上存在一点R到直线、的距离均为,证明:33(2021·全国·高三竞赛)在平面直角坐标系中,已知抛物线,焦点为F,A为抛物线C上异于顶点的动点,D为x轴正半轴上的动点设直线、分别交抛物线C于M、N(不同于点A),设已知,且,求直线的方程34(2021·全国·高三竞赛)已知圆与抛物线交于A、B、C、D四个不同的点,且为圆的直径,线段和的中点分别为M、N,求证:线段在y轴上的投影长度为定值(2021·全国·高三竞赛)已知为椭圆上的点,对椭圆上的任意两点P、Q,用如下办法定义它们的“和”:过点S作一条平行于(若点P与Q重合,则直线表示椭圆在P处的切线)的直线l与椭圆交于不同于S的另一点,记作(若l与椭圆相切,则规定S为).并规定.35若点,求、以及的坐标. 36在椭圆上是否存在不同于S的点P,满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 37(2021·全国·高三竞赛)如图所示,为抛物线外一点,过P引抛物线的两条切线,切点分别为A、B在线段上取两点D、E,使得若过D、E两点的直线分别切抛物线于M、N两点(异于A)求四边形面积的最大值38(2021·全国·高三竞赛)在平面直角坐标系中,椭圆T的中心为原点O,焦点在x轴上,离心率为,过点的直线l与T交于两点A、B满足求面积的最大值以及取到最大值时T的方程39(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆的右焦点为,上顶点为M,圆,问:椭圆E上是否存在两点P、Q使得圆F内切于三角形?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由40(2021·全国·高三竞赛)设F是椭圆左焦点,过F作两条相互垂直的直线,与椭圆的四个交点顺次记为A、B、C、D,设F在四边形的四条边上的射影分别为P、Q、R、S,求证:P、Q、R、S四点共圆. 41(2021·全国·高三竞赛)设为正实数在平面直角坐标系中,已知直线,过点的直线分别与直线交于点,其中点在第三象限,点在第二象限,点设直线交于点,直线交于点若直线的斜率均存在,分别为,判断是否为定值?若为定值求出该定值;若不为定值,说明理由42(2021·全国·高三竞赛)已知椭圆分别是其左,右焦点,为椭圆上任意一点(非长轴端点),是轴上一点,使得平分过点作的垂线,垂足分别为试求的最大值43(2021·全国·高三竞赛)点P为椭圆外一点,过P作椭圆两条切线、,切点分别为A、B,连结,点M、N分别为、中点,连结并延长交椭圆于点C,连结交椭圆于另一点D,连结并延长交于Q,证明:Q为的中点44(2021·全国·高三竞赛)过抛物线(p为不等于2的质数)的焦点F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线于MN两点,线段的垂直平分线交于P点,交x轴于Q点.(1)求中点R的轨迹L的方程;(2)证明:L上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点),但L上任意整点到原点的距离均不是整数.45(2019·贵州·高三竞赛)已知定长为4的线段AB的两端点,分别在两条相交直线x±2y=0上移动.(1)设线段AB的中点为G,求点G的轨迹C的方程;(2)若由点P向曲线C作出的两条切线互相垂直,求证:动点P在定圆上.46(2019·广西·高三竞赛)如图所示,设k>0且k1,直线l:y=kx+1与l1:y=k1x+1关于直线y=x+1对称,直线l与l1分别交椭圆于点A、M和A、N.(1)求的值;(2)求证:对任意的实数k,直线MN恒过定点.47(2019·福建·高三竞赛)已知F为椭圆的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PAPB,AB为切点.(1)求证:AFB三点共线;(2)求PAB面积的最小值48(2019·吉林·高三竞赛)已知椭圆的左右焦点分别为F1F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点.已知的最大值为3,最小值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于MN两点(MN不是左右顶点),且以MN为直径的圆过点A.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.49(2019·新疆·高三竞赛)设F是椭圆的左焦点,过点F且斜率为正的直线与E相交于A、B两点,过点A、B分别作直线AM和BN满足AMl,BNl,且直线AM、BN分别与x轴相交于M和N.试求|MN|的最小值.50(2019·江西·高三竞赛)设椭圆C的两焦点为,两准线为,过椭圆上的一点P,作平行于的直线,分别交于,直线与交于点Q.证明:P、F1、Q、F2四点共圆