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普通高中数学课程标准解读普通高中数学课程标准解读 郭郭 民民 东北师范大学数学与统计学院东北师范大学数学与统计学院在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 选修系列选修系列1和系列和系列2 一、常用逻辑用语、圆锥曲线与立体几何一、常用逻辑用语、圆锥曲线与立体几何常用逻辑用语常用逻辑用语在选修1-1与选修2-1中的内容与要求相同。（一）教育价值（一）教育价值 众所周知，在数学中逻辑用语的作用是至关重要的。数学内容的表达，命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）之间的关系，以及命题成立的条件（如，充分条件、必要条件、充要条件），都离不开逻辑用语。在日常生活中，为了使表达更加准确、清楚、简捷，我们常常要用一些逻辑用语。因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （二）内容设计要求与依据（二）内容设计要求与依据在本模块中，学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。大纲里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的简易数理逻辑，新标准所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用。注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （三）标准中目标描述的说明（三）标准中目标描述的说明在本模块中，考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时，是非常困难和难以理解的，但是所有这些内容当在学生经历了一段时间的学习，有了数学上具体命题的积累后，对这些问题的理解就不成为问题了。因此，本模块中重点是要求学生关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件，并在今后的使用过程中加深理解。对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，主要的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容。因此，内容的设计上要求通过具体的数学实例来进行展开，避免抽象地讨论。对于量词，有全称量词与存在量词两类，内容设计上要求通过具体的案例来进行展开，不要追求形式化的定义。形式化的定义，对于学生来说，很难理解，并且很难找到具体应用的背景。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 二 圆锥曲线与方程 （一）教育价值圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，所以学习这部分内容对于提高学生自身的素质是非常重要的。高中阶段对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在本模块中，在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。圆锥曲线本身有一些很深奥的性质（如光学性质，行星运行轨道等），其中有一些是圆锥曲线最基本的性质，由于学时限制，可以只介绍结论和应用。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （二）内容设计要求与依据（二）内容设计要求与依据与大纲相比，标准更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。在大纲中，所有学生都要求学习从椭圆、抛物线到双曲线的定义到几何性质，层次性体现不够，要求相对单一。而在标准中，这方面就相对有层次，对于希望在人文、社会科学等方面发展的学生来说，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （三）标准中目标描述的说明（三）标准中目标描述的说明在引入圆锥曲线时，强调让学生了解圆锥曲线的背景与应用，目的是让学生更加深刻地理解学习圆锥曲线的必要性。在内容设计上要求通过丰富的实例来展开内容，如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面。标准要求学生能够经历椭圆曲线的形成过程，目的是让学生对圆锥曲线的定义和几何背景有一个比较深入地了解。标准设计了一个平面截圆锥得到椭例1图圆的过程，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例1 如图，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切。那么，截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。例1图在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对抛物线、双曲线的有关定义与性质只作一般的了解，以拓展学生的知识，使学生对圆锥曲线有一个比较全面的了解。选修2-1要求学生能够用坐标法解决一些简单的几何问题和实际问题。在这一点上，比希望在人文、社会科学等方面发展的学生要在数学上的要求加深了一步。知识的应用是标准非常强调与重视的，这相当于知识的去脉。标准中虽然规定是“了解”，但这是一个非常重要的教学环节。在内容设计上，可以向学生展现一些圆锥曲线在日常生活中的实际应用，如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在一定的意义上，圆锥曲线是较好体现数形结合思想的一个素材。在学习了圆锥曲线之后，要通过圆锥曲线的背景让学生了解曲线与方程之间的对应关系，进一步体会数形结合的思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 三 空间中的向量与立体几何 这一内容设置在选修2中。（一）教育价值（一）教育价值空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。向量是一个重要的代数研究对象，是一种运算。它的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式、到向量，运算也是从一元到多元。向量又是一个几何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度与长度，能刻画直线、平面、切线。点乘、叉乘与图形的面积、体积有着直接的关系。向量是建立代数与几何的一个桥梁坐标法与向量法，用向量来解决问题可以看到代数问题的几何背景。向量是一个重要的数学与物理模型。几何量和物理量用向量表达比较简洁，处理起来也比较方便，比如：方向、夹角、功、力的运算等。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础，因此，在选修2中设置了这部分内容。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （二）内容设计要求与依据（二）内容设计要求与依据标准对几何的设计主要分为三大块内容：必修部分的几何（立体几何初步、平面解析几何的初步、平面上的向量）、选修系列1与选修系列2中的几何（圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何）、选修系列3与选修系列4中的几何（球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类、几何证明选讲、坐标系与参数方程等）。与大纲相比，标准中立体几何的定位主要做了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。英国著名数学家M.阿蒂亚说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即洞察与严格，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。这就明确指出，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对于几何学的处理，大纲中的几何内容是一套演绎的体系，现在标准中的几何内容是由一个视角变成两个视角，即从整体到局部与从局部到整体来认识。大纲要求是从初中开始讲立体几何，标准要求是从小学开始渗透对空间图形的认识。标准中有关几何的内容要求提供更多的过程性内容，让学生进行感受。解析几何是以坐标系为核心的几何学。主要有两个方面的作用：其一，以代数的方法来解决几何问题，也就是几何问题的代数化，通过代数方法来解决；其二，给代数问题以一种几何的看法，即代数关系的几何意义。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （三）标准中目标描述的说明（三）标准中目标描述的说明空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并如何解决这些问题。同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。有条件的地区，可以引导学有余力的学生将空间向量的有关性质向多维进行推广，并试着解决一些简单的几何问题。掌握空间向量的基本概念及其性质是这部分内容的基础知识，是后续学习的前提。在向量运算的教学过程中，注意引导学生思考向量运算与通常的实数运算的联系与区别。利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 统计、概率及计数统计、概率及计数 一 统计案例 （一）教育价值（一）教育价值在本模块，学生将在必修课程已学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。标准中提供的一些案例所涉及到的统计模型都是学生将来在走向社会时所要面临的、常见的统计模型，如质量控制、回归、独立性、聚类分析、假设检验等。在一定的程度上，很好地理解和应用这些统计模型会对将来学生的生活和工作质量起到一定的促进作用。另外，通过对这些统计模型的学习，学生将学习到一些经典的统计方法与统计思想，体验解决特殊问题的统计过程及统计方法，进而感受到统计思想在解决实际问题过程中的作用。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （二）内容设计要求与依据在这部分，我们试图通过案例介绍一些统计方法，但更看重的是统计思想。“统计学不止是一种方法或技术，还含有世界观的成分它是看待世界上万事万物的一种方法。我们常讲某事从统计观点看如何如何，指的就是这个意思。”由于高中课程的特点，我们更加强调一些有用的思想方法的直观合理性（实际上也是这种方法的原始产生过程），而不是从数学上给出严格论证。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （三）标准中目标描述的说明我们通过典型案例讲述实际推断原理和假设检验的基本思想参见案例1。在这里没有给出检验的水平和否定域等概念。当然，今后的教材并非绝对不许出现这些名词。但这个案例告诉我们的是，不应把大学教材精简下放，不是讲假设检验理论，而是着重其思想。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例例1 1 某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。现假设药无效，5只羊都不生病的概率是 这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，我们有近92%的把握认为药是有效的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在统计案例的教学中，应培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如估计结果的随机性，统计推断可能犯错误等)，体会统计方法应用的广泛性，理解其方法中蕴涵的思想。避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的地方还可以运用一些常见的统计软件解决实际问题。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二二 概概 率率 这一内容设置在选修2中。（一）教育价值学生将在必修课程已学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量。分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。学生通过这部分内容的学习，将在随机观念方面是一次提升，了解如何从定量的角度来刻画与反映离散性随机变量，这是从定性到定量的一次提升，有助于学生思维的发展。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（二）内容设计要求及依据（二）内容设计要求及依据分布是概率论中重要的概念，均值、方差等数字特征也是常见与有用的概念。在高中数学中，我们只讨论有限值离散分布列，并简单介绍正态分布。为了更好地理解随机变量和分布，我们作以下一些说明。概率论是研究随机现象的。随机现象有两个最基本的特点。粗 略 地 说 就 是：（1）结 果 的 随 机 性；（2）频 率 的 稳 定 性。“随机性”是指，重复同样的试验时，所得结果并不相同，以至于在试验之前无法预料试验的结果。“稳定性”是指，在大量重复试验中每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么“了解”一个随机现象是指：（1）知道这个随机现象中所有可能出现的结果；（2）知道每个结果出现的概率。知道了这两点，就说对这个随机现象研究清楚了。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（三）标准中目标描述的说明（三）标准中目标描述的说明标准要求通过实例来介绍超几何分布和二项分布。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二项分布还有助于人们对概率的理解，如例3。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么可见，许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么标准要求掌握有限值离散随机变量的数学期望和方差。它们的定义和计算公式都不难。（超几何分布和二项分布均值的计算，利用其性质更方便。超几何分布的方差计算十分繁难，不应要求学生掌握。）这里最重要的是要理解分布和这些数字特征的关系，以及这些数字特征的背景和意义。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么首先应该让学生清楚数学期望，方差等都是数，它们没有随机性（分布也是如此）。它们是用来刻画随机现象的。分布完全描述了随机变量的规律。从而它也完全确定了随机变量的数字特征（这由这些数字特征的定义即可知道）。反过来，仅仅知道数字特征是无法确定分布的。从这个意义上说，分布远比数字特征重要。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么数字特征的重要性在于，它们有非常明确的含义，反映了随机变量的重要信息。在许多情形，人们往往不需要知道随机变量的分布。只需要知道它的数字特征。例如，考察某一县的小麦产量，通常并不关心小麦亩产量310千克到315千克有多少、315千克到320千克有多少，只关心该县的平均亩产量。另一方面，人们有时求不出随机变量的分布，退而求其次，只能设法求其数字特征。在求分布时，往往是先求出分布所在的类，然后再确定参数，而参数通常都是由数字特征决定的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在随机现象中的优化问题中，如当利润、成本等是随机变量时，希望利润最大、成本最小是做不到的。通常的提法是，采用一个决策使其数字特征达到最大或最小，如这里是使利润、成本的均值达到最大或最小。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么值得注意的是，这样的决策只能保证多次采用时，其平均效果好。对个别的一次决策，其结果可能是很糟的。这是随机性本身决定的，无法改变。标准在这部分的最后给出了正态分布。正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，不应在中学展开讨论。但由于它在实际中应用极广，这一名词常被提到。因此，在这里做一简单介绍。只要求通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。（例如知道 原则。）要求学生知道中心极限定理的直观意义，即若一个量X是许多微小的量的总和，当每一个微小的量和X相比都可以忽略不计时，则X近似服从正态分布。由于自然界中存在着大量的这种现象，如实验误差等，因此，正态分布成为最重要的一个数学模型。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 三 计数原理这一内容设置在选修2中。（一）教育价值计数是人与生俱来的一种能力，也是了解客观世界的一种最基本的方法。计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（二）内容设计要求与依据在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。从内容上看，这部分和原来高中数学大纲没有太大差别。在处理方式上，相对于排列、组合，标准更强调基本的计数原理，而将排列、组合作为计数原理的一个应用实例。因为计数原理的思想和方法是更基本的，计数的方法有两类：一类是无序的，也就是分类；另一类是有序的，也就是分步。所有的计数方法都不会超越这两大类，而在排列、组合中最重要的就是所考察对象的计数问题。就计数原理本身而言，强调对计数思想的理解，避免抽象的讨论计数原理，而是强调计数原理在实际中的应用。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（三）标准中目标描述的说明1。分类加法计数原理、分步乘法计数原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理，都是通过具体的实例来体现计数原理的思想的。对于具体的实例，要做到计数准确、有效，首先要搞清楚计数问题是否考虑次序，这样就可以知道是分类问题还是分步问题。这部分内容的学习，最重要的是培养学生解决实际问题的能力。学生要能根据具体问题的特征，正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，也只有这样才能真正地理解计数原理的思想与方法。分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中，应引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2排列与组合排列、组合概念的建立要通过具体的实例，让学生在具体的情境中理解。排列数公式、组合数公式的推导是计数原理一个重要应用，这个过程重要的是让学生进一步理解计数原理的思想。利用排列、组合解决简单的实际问题，对学生来说，是有一定困难的。教师应引导学生用计数原理来分析问题。如，掷三个骰子有多少可能结果，把问题分解为一个一个掷；四个球放入五个盒中有多少种放法，把问题分解为一个球一个球地放，等等。在教学时，教师不应该脱离计数原理，只片面地把问题归为两类：排列、组合，让学生去套公式。这样做，学生将无法真正地理解计数原理的思想。另一方面值得注意的是，要求学生能较好地掌握计数原理，而不主张过分地讨论一题多解，更不应该去作一些繁难的，技巧性很高的题。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3 3二项式定理二项式定理二项式定理的证明可以看成是计数原理的又一个重要应用，在证明时，重要是让学生根据问题建立适当的模型，然后根据计数原理加以证明。在此基础上，要让学生学会用二项式定理来解决与二项展开式有关的简单问题。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么上例是一个不用数学归纳法的证明，教师应很好体会。教学时，可对具体的，例如=4，5等来引导学生理解。在学习二项式定理时，可以介绍我国古代数学成就杨辉三角，以丰富学生对数学文化价值的认识。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么导数及其应用这部分内容分别在选修系列1-1和选修系列2-2中学习。其中，对导数概念的认识、导数在研究函数性质中的应用，以及生活中的优化问题举例等内容的学习和教学要求是一样的。稍有区别的是在选修系列2-2中，增加了定积分与微积分基本定理的内容；此外，对运算的要求略有提高。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么微积分的内容在我国的中学教材中几进几出，分析其原因，除了高考导向的影响外，主要是定位不当。主要问题大致有：（1）作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放。（2）先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解。（3）无论是导数概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教、来学，影响了对导数思想和本质的认识和理解。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二“标准”对“导数及其应用”内容的基本定位1强调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。2全面体现数学的价值，包括应用价值：了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题的有力工具导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值：人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值。3体现数学的教育价值。总之，要体现新一轮课程改革的理念知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的有机整合，具体到数学课程来说，就是要充分体现数学的价值和数学在利用数学的特点育人方面、在推动社会发展方面的价值。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三处理方式上的变化及变化的理由三处理方式上的变化及变化的理由与原有教材相比较，“标准”在理念、编排、内容选择的处理上，都有很大的变化，主要表现在：1突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习，学生对极限概念认识和理解的困难，影响了对导数本质的认识和理解。因此，“标准”在这部分的处理有了大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念；加强对导数几何意义的认识和理解。例如，通过问题“研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念,为抽象出导数概念作准备。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么还可通过增长率、膨胀率等问题，让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，并通过提出恰当的问题使学生感受学习瞬时变化率的必要性。然后，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。同时也体现“标准”让学生在经历过程中感受数学的思想，认识数学的本质，主动参与数学教学活动的基本理念。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会计算导数，会按步骤求极大（小）值、最大（小）值，而忽视了导数作为一种通法的意义和作用。为了使学生不仅会算，而且使学生真切地感受导数在研究函数性质中的意义和作用，尤其是与初等方法相比较，处理相应问题中作为通法的一般性和有效性（如：用配方法求二次函数的极值只是特殊情况下的一个特殊解法，不能解决一般函数的极值问题），以及导数在处理和解决客观世界变化率问题、最优化问题中的广泛应用，“标准”要求通过较丰富的实际问题和优化问题举例，充分体现导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的广泛应用。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用。以往教材和教学中对导数几何意义的处理和要求也是较弱的，“标准”提高了对导数几何意义以及用导数的几何意义去解决问题的要求，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 推理与证明、框图、数系的扩充与复数的引入推理与证明、框图、数系的扩充与复数的引入是选修1-2与选修2-2的内容。推理与证明、框图是标准中新增加的内容，复数是高中数学的传统内容，标准对复数内容作了新的处理，在要求上也有变化。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么本模块课程内容的设计及其依据推理与证明、框图是标准新增加的高中数学课程内容。数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的全日制普通高级中学数学教学大纲相比，删去了复数的三角形式、复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容。突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么推理与证明是选修1-2与选修2-2中共有的内容。选修1-2中的推理与证明的内容包括演绎推理与合情推理、直接证明与间接证明、数学文化三部分。选修2-2中的推理与证明的内容在选修1-2的基础上增加了数学归纳法。框图只是选修1-2的内容。数系的扩充与复数的引入是选修1-2与选修2-2中共有的内容，且要求相同。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么数学中的推理包括演绎推理与合情推理。以往的数学课程中，忽视合情推理。新一轮基础教育数学课程改革中，给合情推理以应有的关注。在义务教育阶段的数学课程中，学生对演绎推理、数学证明、公理化思想、合情推理等已有初步的认识和体会。通过高中必修课程的学习，学生对数学中的推理与证明有了进一步的认识。标准在选修1-2与选修2-2中设计了推理与证明的内容，要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，体会合情推理、演绎推理以及数学证明在数学结论的发现、证明与数学体系建构中的作用。这样处理是为了学生进一步加深对推理与证明的理解，掌握推理与证明的基本方法，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程。因此，理解数学归纳法对学生有一定的困难。标准只在选修2-2中设计了数学归纳法的内容，供希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生学习。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能够清晰地表达一个复杂系统的各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较、项目管理等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。为了提高学生的思维的条理性、清晰性，养成用框图清晰地表达和交流思想的习惯，标准在选修1-2中设计了框图的内容，供希望在人文、社会科学方面发展的学生学习。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索。数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求。标准在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充。标准强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练。这样处理主要是为了学生体会数学体系的建构过程，数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对标准内容的有关说明与建议 （一）关于推理与证明推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学证明是逻辑证明，主要通过演绎推理来进行。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1合情推理与演绎推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。在数学中，合情推理的主要形式有归纳和类比。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么关于合情推理，波利亚在他的著作数学与猜想中指出：“数学的创造过程是与其它知识的创造一样的，在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前，你先得猜测证明的思路。你要先把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地尝试。数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明。但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么波利亚还认为：“论证推理是可靠的、无疑的和终决的。合情推理是冒险的、有争议的和暂时的。它们相互之间并不矛盾，而是相互补充的。”“我不相信有十拿九稳的方法，用它可以学会猜测；”但是，“假如我们能从一种情形学到适用于其它一些情形的某些东西，那么这种情形就是有启发性的，可能适用的范围越广就越有启发性。”这说明，合情推理的模式与方法只是一种启发性的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（1）归纳推理归纳推理（以下简称归纳）是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式。归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么归纳推理的特点归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论，超越了前提所包容的范围。归纳是依据若干已知的没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质。归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一股，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的。观察、实验、对有限的资料作归