工程力学第六章杆件的应力.ppt

应力：应力：内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力来衡量；单位：帕斯卡（Pa），或 kPa,MPa,GPa正应力正应力垂直于截面的应力垂直于截面的应力切应力切应力平行于截面的应力平行于截面的应力1Pa=1N/m2,1MPa=106Pa，1GPa=103MPa=109Pa第六章第六章 杆件的应力杆件的应力6-1 应力的概念应力的概念1一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到都将趋于一定极限，得到应力的国际单位为应力的国际单位为Pa 1N/mPa 1N/m2 2=1Pa=1Pa（帕斯卡）（帕斯卡）1MPa=10 1MPa=106 6Pa 1GPa=10Pa 1GPa=109 9PaPa应力总量应力总量P P 可以分解成可以分解成:垂直于截面的分量垂直于截面的分量正应力正应力 平行于截面的分量平行于截面的分量切应力切应力应力应力目录目录平均应力平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度某范围内单位面积上内力的平均集度2 0 0 0正负号规定正负号规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。切应力切应力 顺时针为正，逆时针为负顺时针为正，逆时针为负36-2 应变的概念应变的概念(正应变和切应变正应变和切应变),胡克定律胡克定律正应变：微体在某一方向上长度的改变量与原长度的比值的极限值 称为微体在此方向上的正应变e。拉伸拉伸变细变长变细变长压缩压缩变短变粗变短变粗4切应变：当微体的棱长发生改变时，相邻棱边之夹角一般也发生 改变。微体相邻棱边所夹直角的改变量称为切应变切应变的单位为rad(弧度)5线应变线应变:平均线应变：平均线应变：6角应变角应变7练习练习8一一 拉压胡克定律拉压胡克定律实验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即引入比例系数E，则胡克定律胡克定律比例系数E称为弹性模量弹性模量9二二 剪切胡克定律剪切胡克定律在纯剪状态下，单元体相对两侧面将发生微小的相对错动，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量。两正交线段的直角两正交线段的直角改变量改变量剪应变剪应变10 薄壁圆筒的实验薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪即当剪应力不超过材料的剪切比例极限应力不超过材料的剪切比例极限p时时,剪应力剪应力与剪应变成正比与剪应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪剪切胡克定律切胡克定律。即：当即：当p时时引入引入比例系数比例系数G，则则116-3 拉压杆的正应力拉压杆的正应力一 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 拉压杆的平面假设：在轴向载荷作用下，变形后，横截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴作了相对平移。12PN如果杆的横截面积为：A根据平面假设，我么可以得出结论，即横截面上每一点存在相同的拉力在轴向载荷下，横截面上正应力计算式为：正应力与轴力具有相同的正负符号，即拉应力为正，压应力为负。13例例 图示矩形截面（图示矩形截面（b h）杆，已知）杆，已知b=2cm，h=4cm，P1=20 KN，P2=40 KN，P3=60 KN，求，求AB段和段和BC 段的应力段的应力ABCP1P2 P314P1N1压应力压应力 P3N2压应力压应力15例例 图示为一悬臂吊车，图示为一悬臂吊车，BC为为实心圆管，横截面积实心圆管，横截面积A1=100mm2，AB为矩形截面，横截面积为矩形截面，横截面积A2=200mm2，假设起吊物重为，假设起吊物重为Q=10KN，求各杆的应力。，求各杆的应力。ABC16首先计算各杆的内力：首先计算各杆的内力：需要分析需要分析B点的受力点的受力QF1F217ABCQF1F2BC杆的受力为拉力，大小等于杆的受力为拉力，大小等于 F1AB杆的受力为压力，大杆的受力为压力，大小等于小等于 F2由作用力和反作用力可知：由作用力和反作用力可知：最后可以计算的应力：最后可以计算的应力：BC杆：杆：AB杆：杆：18 二 圣维南原理 当作用在杆端的轴向外力，沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近各截面的应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理圣维南原理指出，力作用于杆端的分布方式，只影响力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端范围约离杆端12个杆的横向尺寸。个杆的横向尺寸。此原理已为大量试验与计算所证实。用与外力系静力等效的合力代替原力系，除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域稍远处，上述代替影响非常微小，可以略而不计。19 三 应力集中应力集中 应力集中：应力集中：应力集中：应力集中：杆件外形突变，引起局部应力急剧增大的现象由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大匀分布而急剧增大1.应力集中的概念20应力集中系数应力集中系数平均应力平均应力 2 应力集中对构件强度的影响应力集中对构件强度的影响对脆性材料而言，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达强度极限，故在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。对塑性材料而言，应力集中对其在静载作用下的强度几乎没有影响，故在研究塑性材料构件的静强度时，一般不考虑应力集中的影响。21交变应力（或循环应力）：随时间循环变化的应力在交变应力作用下的构件，虽然所受应力小于材料的静强度极限，但经过应力的多次重复后，构件将产生可见裂纹或完全断裂。疲劳破坏：在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象。应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件的疲劳强度影响很大226-4 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律一一 薄壁圆管的扭转应力薄壁圆管的扭转应力 平平面面假假定定 应应变变分分布布 物物性性关关系系应应力力分分布布 静静力力方方程程应应力力表表达达式式试验观察试验观察加载前 画横向圆周线及纵向线23TT 加载后：24加载后现象：TT 1、各纵向线倾斜同角度2、各圆周线大小形状间距不变25ABCDABCDt t 管壁扭转时的应力变形特征 上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生剪切变形；而且，沿圆周方向所有的剪切变形相同。由于管壁很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂直于半径方向的切应力t沿圆周大小不变。26剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径与周线相切与周线相切27根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式上式的误差不超过的误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。28二二 纯剪切与切应力应力互等定理纯剪切与切应力应力互等定理微元体微元体 单元体单元体纯剪切：单元体上只有剪应力而无正应力。29剪应力互等定理剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。时指向或背离两平面的交线。306-5 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式从三方面考虑：变形几何关系从三方面考虑：变形几何关系 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系 31 观察到下列现象观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化变化 (2)纵向线仍近似为直线纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度（3）表面方格变为菱形。）表面方格变为菱形。1.变形几何关系变形几何关系32平面假设：平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。3334横截面上距形心为的任一点处应变在外表面上35 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材当剪应力不超过材料的剪切比例极限时料的剪切比例极限时剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径2.物理关系物理关系363.静力学关系静力学关系截面的极惯性矩截面的极惯性矩37于是再由物理关系得于是再由物理关系得二、二、最大扭转切应力最大扭转切应力当当 max 时，时，max 抗扭截面系数抗扭截面系数38396-6 极惯性矩和极惯性矩和抗扭截面系数抗扭截面系数一、一、实心圆截面实心圆截面40二、二、空心圆截面空心圆截面=d/D41已知已知已知已知：P P1 114kW,14kW,n n1 1=n n2 2=120r/min,=120r/min,z z1 1=36,=36,z z3 3=12;=12;d d1 1=70mm,=70mm,d d 2 2=50mm,=50mm,d d3 3=35mm.=35mm.求求求求:各各各各轴轴轴轴横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力。42N N1 1=14kW,=14kW,N N2 2=N N3 3=N N1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1=n n2 2=120r/min=120r/minn n3 3=n n1 1 z z3 3z z1 1=120=120 36361212=360r/min=360r/minT1=1114 N.mT2=557 N.mT3=185.7 N.m maxmax(C C)=)=21.98 MPa21.98 MPaT T3 3Wp3 maxmax(HH)=)=22.69 MPa22.69 MPaT T2 2Wp2 maxmax(E E)=)=T T1 1Wp1=16.54 MPa16.54 MPa43一、概述：一、概述：当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的 横截面上既有弯矩横截面上既有弯矩 M，又有剪力又有剪力 Q。只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 dN=dN=dA dA 才能合成弯矩才能合成弯矩只有与剪应力有关的切向内力元素只有与剪应力有关的切向内力元素 dQ=dQ=dA dA 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有正应力，又有 剪应力剪应力11-1 引言引言 QM44弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力基本变形：拉压；扭转；弯曲组合变形：对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式称为对称弯曲。4511-2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力一 基本假设用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲纯弯曲试验:纯弯曲：梁横截面上纯弯曲：梁横截面上只有弯矩而无剪力时只有弯矩而无剪力时的弯曲。的弯曲。46观察到以下变形现象观察到以下变形现象:(1)aa、bb弯成弧线，弯成弧线，aa缩短，缩短，bb伸长伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变变形后仍保持为直线，且仍与变为为 弧线的弧线的aa，bb垂直垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。长。梁的梁的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。轴旋转了一个角度。47单向受力假设单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。的状态。由平面假设得到的推论：由平面假设得到的推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向保持原来的长度，这一纵向纤维层称为纤维层称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴48中性轴中性轴中性层中性层中性层中性层49二 弯曲正应力一般公式从三方面考虑：从三方面考虑：变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系1 变形几何关系变形几何关系中性轴中性轴50由于距中性层等远各由于距中性层等远各“纤维纤维”的变形相同，所以，上述正应变的变形相同，所以，上述正应变e e即代表纵坐标即代表纵坐标y的任一的任一“纤维纤维”的正应变的正应变该式说明该式说明，和和 y 成正比成正比,而与而与z 无关无关。因而，。因而，与这些纵与这些纵向线段沿向线段沿 z 轴的位置无关轴的位置无关。512 物理关系物理关系正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零正应力为零上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）52将梁的轴线取为将梁的轴线取为 x 轴，横截轴，横截面的对称轴取为面的对称轴取为 y 轴轴，中性中性轴取为轴取为 z 轴。OxyZ3 静力学关系静力学关系53在横截面上法向内力元素在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系构成了空间平行力系。因此，只可能组成三个内力分量因此，只可能组成三个内力分量通过截面法，根据梁上只有外力偶通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中这一条件可知，上式中的的 N 和和 My均等于零，均等于零，而而Mz就是横截面上的弯矩就是横截面上的弯矩M。54截面几何参数的定义截面几何参数的定义，可得可得将正应力将正应力代入以上三个条件，并根据有关的代入以上三个条件，并根据有关的55这就确定了中性轴的位置。即过形心与这就确定了中性轴的位置。即过形心与 y 轴垂直。轴垂直。ZCZ中性轴中性轴C横截面对Z轴的静矩56中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。因为因为 y 是对称轴，所以是对称轴，所以该式自动满足该式自动满足截面对yz轴的惯性积57由式由式可得可得EIz称为抗弯刚度称为抗弯刚度将上式代入将上式代入得得截面对z轴的惯性矩58中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式：梁截面的弯曲刚度，简称弯曲刚度M 横截面上的弯矩横截面上的弯矩横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩y 求应力的点到中性轴的距离求应力的点到中性轴的距离式中式中：59横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩60当梁上有横向力作用时，横截面上既又当梁上有横向力作用时，横截面上既又 弯矩弯矩 又有又有 剪力剪力。梁在此梁在此 剪应力使横截面发生翘曲。剪应力使横截面发生翘曲。横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力。横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力。横力弯曲时，梁的横截面上既又正应力横力弯曲时，梁的横截面上既又正应力 ，又有剪应力，又有剪应力 。纯弯曲时所作的纯弯曲时所作的 平面假设平面假设平面假设平面假设 和和 各各 纵纵 向线向线 段段 间间 互互 不不 挤挤 压压 的假设都不成立的假设都不成立。但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力 。等直梁等直梁 横力弯曲横力弯曲 时横截面上的正应力公式为时横截面上的正应力公式为种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为 横力弯曲。横力弯曲。61横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：三三 最大弯曲正应力最大弯曲正应力62 称为称为抗弯截面系数抗弯截面系数，仅与截面的形状和尺寸有关公式适用条件公式适用条件：1 1）符合平面弯曲条件（平面假设，）符合平面弯曲条件（平面假设，横截面具有一根对称轴）横截面具有一根对称轴）2 2）p p(材料服从虎克定律）材料服从虎克定律）631）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距中性轴最远处。64梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图b b 所示，由所示，由所示，由所示，由图知梁在固定端横截面上的图知梁在固定端横截面上的图知梁在固定端横截面上的图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为弯矩最大，其值为弯矩最大，其值为弯矩最大，其值为 例例例例11-111-1 图图a所所示示，一一受受均均布布载载荷荷的的悬悬臂臂梁梁，其其长长l=1m，均均布布载载荷荷集集度度q=6kN/m；梁梁由由10号号槽槽钢钢制制成成，由由型型钢钢表表查查得得横横截截面面的惯性矩的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，）作弯矩图，求最大弯矩求最大弯矩65 因危险截面上的弯因危险截面上的弯矩为负，故截面矩为负，故截面上缘上缘受受最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为在截面的在截面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为（2）求最大应力）求最大应力6611-3 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理同理:一 简单截面的惯性矩1 矩形：672 圆及圆环圆及圆环Zy0ydy(实际：68圆环：yxDd697011-4 对称弯曲切应力对称弯曲切应力一、一、矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力图所示一矩形截面梁图所示一矩形截面梁P1P2q(x)mmnnxdx 用横截面用横截面 mm,nn 从梁中截取从梁中截取 dx 一段一段。两横截面上的弯矩不等。两横截面上的弯矩不等。所。所以两截面同一以两截面同一 y 处的正应力也不等。处的正应力也不等。mmnnQQMM+dMdxmmnndx（1）推导公式的思路）推导公式的思路受任意横向荷载作用受任意横向荷载作用。71（2）两个假设）两个假设横截面上距中性轴等远的各点处横截面上距中性轴等远的各点处剪应力剪应力大小大小相等相等。各点的剪应力方向均与各点的剪应力方向均与截面侧边平行截面侧边平行。（3）公式推导）公式推导假设假设 mm,nn上的弯矩为上的弯矩为 M和和 M+dM。两截面上距中性轴。两截面上距中性轴y1处的正应力为处的正应力为 和和 72mbbmb1a1adx (1)取图取图 示分离体，进行受力分析示分离体，进行受力分析ydcdczy 1 dAy1BAB Anmm1dxdQFN1FN2A*73（2）公式推导）公式推导假设假设 m-m,n-n上的弯矩上的弯矩为为 M和和M+dM。两截面上。两截面上距中性轴距中性轴y1处的正应力为处的正应力为 1 和和 2ABB1A1mnxzyyAdAy174式中：式中：为面积为面积 A*对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。A*为距中性轴为为距中性轴为 y 的横线的横线以外部分的横截面面积以外部分的横截面面积ABB1A1mnxzyyAdAy1A*75由假设及剪应力互等定理知由假设及剪应力互等定理知 ，纵向平面上横线纵向平面上横线AA1 各点各点剪应力剪应力 大小相等。所以大小相等。所以 在在AB1上为一常量。于是上为一常量。于是ABB1A1mnxzyyAdAy1A*76由平衡方程化简后得化简后得ABB1A1mnxzyyAdAy1A*77所以所以由剪应力互等定理由剪应力互等定理上式为上式为 矩形截面梁矩形截面梁 对称弯曲对称弯曲 时横截面上任一点处的时横截面上任一点处的 剪应力计算公式。剪应力计算公式。78式中：式中：整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩b矩型截面的宽度矩型截面的宽度距中性轴为距中性轴为 y 的横线以外部分的的横线以外部分的横截面面积对中性轴的静矩横截面面积对中性轴的静矩其方向与剪力其方向与剪力 Q 的方向相同的方向相同Zy79（4）切应力沿截面高度）切应力沿截面高度 的变化规律的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 Sz与坐标与坐标 y之间的关系确定之间的关系确定（3）静矩）静矩 Sz*的计算的计算Zyy0y0bh/2h/2可见可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。max80（即在横截面上距中性轴最远处（即在横截面上距中性轴最远处)式中式中，A =b h,为矩形截面的面积为矩形截面的面积。(即在中性轴上各点处）即在中性轴上各点处），剪应力达到最大值，剪应力达到最大值y =081对于圆截面和圆环截面，用类似的方法可以求得对直径为d的圆截面对内径为d，外径为的空心圆截面8283