常微分方程第一章绪论.ppt
内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作序序：什么是方程？：什么是方程？微分方程微分方程及其及其应用应用微分方程的微分方程的基本概念基本概念小结小结主要内容主要内容重点：重点：理解微分方程的解等基本概念。理解微分方程的解等基本概念。难点：难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。第一章第一章 绪论绪论内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 在在初等数学初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。和对数方程等等。在在高等代数高等代数中又学习过高次代数方程，中又学习过高次代数方程，n元线元线性代数方程组。性代数方程组。这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解根或解）。但在）。但在高等高等数学数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为而是一个函数。这类方程称为函数方程。函数方程。一、序及方程一、序及方程第一节第一节 微分方程的定义微分方程的定义内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 例如例如数学分析数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程由方程 (*)来确定隐函数，上述方程（来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的）是众所周知的隐函数方隐函数方程程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求的未知函数。的未知函数。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作返回返回 设设 f(x)是自变量为是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数的已知连续函数，试求函数 y=y(x)满满足下列方程：足下列方程：在数学分析中，不定积分问题在数学分析中，不定积分问题 ，实际上是，实际上是微分的逆运算问题，也可以用微分的逆运算问题，也可以用函数的概念函数的概念叙述如下：叙述如下：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 方程（方程（*）和方程（）和方程（*）共同之处在于未知的都是函数，不）共同之处在于未知的都是函数，不同处在于方程（同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（）中只有未知函数本身，而方程（*）中却出）中却出现了现了未知函数的导数未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它们和其变化率（们和其变化率（导数导数）之间的规律，于是，）之间的规律，于是，把包含未知函数导把包含未知函数导数的方程数的方程叫做叫做微分方程微分方程.二、微分方程的定义二、微分方程的定义内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 数学分析数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系关系(即函数即函数)往往往往不能直接写出来，不能直接写出来，却比较容易建立这些变却比较容易建立这些变量和它们的导数量和它们的导数(或微分或微分)间的关系式间的关系式.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 微分方程微分方程是数学中的古老分支之一它与动力系统紧密相是数学中的古老分支之一它与动力系统紧密相关并有重要应用价值如分支问题、混沌问题、非线性振动的关并有重要应用价值如分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 偏微分方程偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力是研究客观世界数量间相互制约关系的有力工具它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工工具它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工程技术中的有关问题在本世纪中偏微分方程的理论取得了程技术中的有关问题在本世纪中偏微分方程的理论取得了重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究还有许多问题还有许多问题返回返回内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作三、物体冷却过程的数学模型三、物体冷却过程的数学模型 问题一问题一：将某物体放置于空气中，在时刻：将某物体放置于空气中，在时刻 时，时，测量得它的温度为测量得它的温度为 ，10分钟后测量得温度为分钟后测量得温度为 .问题与要求问题与要求：决定此物体的温度：决定此物体的温度 和时间和时间 的关系，的关系，并计算并计算20分钟后物体的温度。分钟后物体的温度。基本假设基本假设：空气的温度保持为：空气的温度保持为 .内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 了解有关物体温度变化的基本规律：热量了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（顿（Newton）冷却定律）冷却定律.分分 析析内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作假设：假设：设物体在时刻的温度为设物体在时刻的温度为 ，则温度的变，则温度的变化速度以化速度以 来表示。注意到热量总是从温度高的来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而物体向温度低的物体传导的。因而 ，所以温，所以温差差 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度温度变化速度 恒为负。因此由牛顿冷却规律得恒为负。因此由牛顿冷却规律得到到：其中其中k是比例常数，方程（是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数知函数u及它的及它的(一阶一阶)导数导数 ，这样的方程，就成为（一阶），这样的方程，就成为（一阶）微分方程微分方程。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作改写（1.1）为：变量变量u和和t被分离出来了被分离出来了,对上式两边积分得到对上式两边积分得到：由此，令由此，令 ，有：，有：代入初始条件，并整理得到：代入初始条件，并整理得到：解曲线其中其中 是积分常数，对上式进行变形又得到：是积分常数，对上式进行变形又得到：图解图解分析：分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温物体在低温环境中的温度变化过程和情况物体在低温环境中的温度变化过程和情况.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作问题二问题二：数学摆（下图）的运动方程：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程下面三个方程).MQOAPmg内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作问题三问题三 ：R-L-C电路电流方程；电路电流方程；问题四问题四：R-L电路电流方程；电路电流方程；其它问题其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、天气预报模型（天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等方程）和化学动力学模型等人口增长模型（人口增长模型（Logistic）:天气预报模型（天气预报模型（Lorenz方程）方程）:分支与混沌！分支与混沌！内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大量的量的微分方程问题微分方程问题.同样在社会科学的一些领域里也存在着同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题微分方程的问题.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 因此，因此，微分方程微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在把重点放在应用数学方法研究微分方程本身应用数学方法研究微分方程本身的问题上的问题上.返回返回内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第二节第二节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念定义定义：把包含未知函数导数的方程叫做：把包含未知函数导数的方程叫做 微分方程微分方程.例例如方程如方程（1.1）.1、微分方程、微分方程定义的注定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数联系自变量、未知函数及它的导数(或或微分微分)的关系式的关系式,数学上称为数学上称为微分方程微分方程.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作设设 是自变量是自变量 的已知连续函数的已知连续函数,试求试求函数函数 满足方程满足方程 在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念函数的概念叙述如下：分析：分析：上述（上述（*）方程就是一个典型的）方程就是一个典型的微分方程微分方程.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、什么是、什么是常微分方程常微分方程？定义：在所讨论的微分方程中，当未知函数是一元函数定义：在所讨论的微分方程中，当未知函数是一元函数时，称为时，称为常微分方程常微分方程，而未知函数是多元函数时，称为，而未知函数是多元函数时，称为偏微分方程偏微分方程.偏微分方程：偏微分方程：常微分方程：常微分方程：二阶，线性二阶，线性二阶，线性二阶，线性一阶，线性一阶，线性二阶，二阶，非线性非线性内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、微分方程的、微分方程的阶阶 定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为称为微分方程的阶数（微分方程的阶数（阶阶）.一般地，n阶常微分方程为 这里这里 是是 的已知函数，一的已知函数，一定含有定含有 ；是未知函数，是未知函数，是自变量是自变量.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作4、线性和非线性、线性和非线性 定义定义：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而言是一次有理整式，则此微分方程称为言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程线性微分方程，否则称为否则称为非线性微分方程非线性微分方程.参见上述各例参见上述各例.一般地，一般地，n阶线性微分方程为阶线性微分方程为 这里这里 是是 的已知函数的已知函数.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作5、解和隐式解、解和隐式解 1、如果可微函数、如果可微函数 代入方程（代入方程（1.12）后，能使它）后，能使它变为恒等式，则称函数变为恒等式，则称函数 为方程（为方程（1.12）的）的解解.2、如果由关系式、如果由关系式 所确定的隐函数所确定的隐函数 是微是微分方程（分方程（1.12）的）的解解，则称关系式，则称关系式 是微分方程是微分方程（1.12）的）的积分（积分（？）或隐式解）或隐式解.定义定义内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作6、通解和特解、通解和特解 定义：把含有定义：把含有 个独立的任意常数个独立的任意常数 的解的解称为称为 阶方程（阶方程（1.12）的）的通解通解.类似地，定义类似地，定义n阶方程（阶方程（1.12）的隐式通解。同样，不）的隐式通解。同样，不加以区分通解和隐式通解，统称为方程（加以区分通解和隐式通解，统称为方程（1.12）的通解）的通解.定解条件定解条件：为了确定微分方程一个特定的解，给出这个解：为了确定微分方程一个特定的解，给出这个解所必需满足的条件。常见的定解条件就是初始条件和边界所必需满足的条件。常见的定解条件就是初始条件和边界条件条件.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定解问题定解问题：求微分方程满足定解条件（初始条件）的解：求微分方程满足定解条件（初始条件）的解.初值问题初值问题(柯西柯西Cauchy问题问题)：当定解条件是初始条件时，相应的：当定解条件是初始条件时，相应的 定解问题就称为定解问题就称为初值问题初值问题.这是本课程讨论的重点这是本课程讨论的重点.特解特解：把满足初始条件的解称为：把满足初始条件的解称为微分方程的特解微分方程的特解初始条件初始条件不同对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初不同对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到.初始条件初始条件：所谓：所谓n阶微分方程（阶微分方程（1.12）的初始条件是）的初始条件是指如下的指如下的n个条件：个条件：当 时，内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例实例分析例实例分析讨论下列方程在给定条件下的解讨论下列方程在给定条件下的解1、求通解、求通解:2、求在点（、求在点（1,2）的解）的解:3、求满足条件、求满足条件 的解的解:4、求与直线、求与直线 相切的的解相切的的解:分析分析内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作Oxy一阶微分方程解的曲线图一阶微分方程解的曲线图内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作微分方程微分方程(1.17)的通解的通解 代表代表xy平面上的平面上的一族曲线一族曲线，就称之为微分方程的就称之为微分方程的积分曲线族。积分曲线族。1.满足初始条件满足初始条件 的特解就是通过点的特解就是通过点 的的一一条积分曲线。条积分曲线。2.方程（方程（1.17）的积分曲线的每一点）的积分曲线的每一点 上的切线斜率上的切线斜率 刚好等于函数刚好等于函数 在这点的值在这点的值.7、积分曲线和方向场积分曲线和方向场积分曲线（积分曲线（定义定义）的解的解 代表代表xy平面上的一条曲线，就称之为微分方平面上的一条曲线，就称之为微分方程的程的积分曲线积分曲线。（1.17）一阶微分方程一阶微分方程注释：注释：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作方向场方向场设函数设函数 的定义域为的定义域为 ，在每一点，在每一点 处画处画上一个有向小线段，其斜率等于上一个有向小线段，其斜率等于 在该点的值，在该点的值，把带有这种直线段的区域把带有这种直线段的区域 称为由方程（称为由方程（1.17）规）规定的定的方向场，方向场，又称又称向量场向量场.等斜线等斜线在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等斜线（等倾斜线等倾斜线）.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作图1.2等斜线等斜线积分曲线：积分曲线：图中实线图中实线讨论微分方程等斜线是双曲线：积分曲线的分布概况如左图.拐点拐点所在所在的曲的曲线线例实例分析（方向场）例实例分析（方向场）注释：原方程的解为注释：原方程的解为内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 分析分析：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场这样即可画出这个方向场.例例3 画出方程画出方程 所确定的方向场示意图所确定的方向场示意图.解解方程的等斜线为方程的等斜线为取取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等画出三条等斜线斜线,再在每条等斜线上适当选取若干再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，即可得个点画出对应的向量，即可得方向场方向场（如图示），并可以进一步大体描绘（如图示），并可以进一步大体描绘出其出其积分曲线积分曲线。方向场画法方向场画法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例4 考察方程考察方程 的方向场和它的积分曲线。的方向场和它的积分曲线。图1.3图1.4半直线族半直线族 中的直线上每一点的方向都和方向场的中的直线上每一点的方向都和方向场的方向重合，故原方程的积分曲线是半直线族方向重合，故原方程的积分曲线是半直线族 .除坐标原点（，）外，原方程在整个（除坐标原点（，）外，原方程在整个（x,y）平面上定）平面上定义了一个方向场，在任意一点义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式处方向场的方向由比式确定，这与从坐标原点到确定，这与从坐标原点到P点的射线点的射线OP的方向一致的方向一致 返回返回内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作8、微分方程组微分方程组定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组微分方程组.Lorenz方程方程Volterra两种种群竞争模型两种种群竞争模型(1.18)(1.19)内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作高阶微分方程高阶微分方程 的另一种形式（的另一种形式（如果可能如果可能！）！）如果把如果把 都理解为未知函数，并作变换都理解为未知函数，并作变换上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式并可以记为向量形式其中均为向量函数其中均为向量函数分析分析：微分方程（组）的向量形式为其用：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便线性代数知识进行研究讨论提供了方便.内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作9、驻定与非驻定、动力系统、驻定与非驻定、动力系统如果方程组如果方程组 的右端不含自变量的右端不含自变量 ，即，即则称为则称为驻定驻定（自治自治）的，否则就称为）的，否则就称为非驻定的非驻定的（非自治非自治）的）的.注：注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组.把满足恒同性和可加性的映射称为把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统动力系统。动力系统分为。动力系统分为连续连续和离散系统两种类型和离散系统两种类型，对应有，对应有连续动力系统和离散动力系统连续动力系统和离散动力系统.注注：记：记 为单参数为单参数 的的 的映射（变换），则映的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：射满足恒同性和可加性，即：和和内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作10、相空间、奇点和轨线、相空间、奇点和轨线把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间相空间；积分曲线在相空间中的投影称为积分曲线在相空间中的投影称为轨线轨线；把驻定方程组的解称为微分方程组的把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解平衡解（驻定解、常数解驻定解、常数解）或或奇点奇点（平衡点平衡点几何定义）；几何定义）；内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作轨线分布图轨线分布图内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作11、雅可比矩阵雅可比矩阵与与函数相关性函数相关性对于对于 个变元的个变元的 个函数定义雅可比矩阵为个函数定义雅可比矩阵为当当 时，称雅可比矩阵对应的行列式为时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式雅可比行列式，记为，记为内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作解对常数的独立性是指解对常数的独立性是指对应的行列式不为对应的行列式不为0，即有：，即有：通解对常数的独立性通解对常数的独立性内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 如果雅可比矩阵如果雅可比矩阵 在在 内的任何点上的秩皆小内的任何点上的秩皆小于于 ，则，则 函数相关函数相关；如果秩皆为；如果秩皆为 ，则，则 函数无关函数无关，彼此独立。，彼此独立。函数相关性函数相关性 设函数设函数 及其一阶偏导数及其一阶偏导数在某开集在某开集 上连续，如果在上连续，如果在 内内 中的一个中的一个函数能表成其余函数的函数，则称它们在函数能表成其余函数的函数，则称它们在 内函数相关；如内函数相关；如果它们在果它们在 内的任何点的邻域内皆非函数相关，则称它们在内的任何点的邻域内皆非函数相关，则称它们在 内函数无关，或称它们彼此独立。内函数无关，或称它们彼此独立。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作小结小结 通过对实际问题的分析，引入了微分方程的一些基本概念：通过对实际问题的分析，引入了微分方程的一些基本概念：常微分方程和偏微分方程、微分方程的阶、线性和非线性、解和常微分方程和偏微分方程、微分方程的阶、线性和非线性、解和隐式解、特解和通解、积分曲线和方向场。隐式解、特解和通解、积分曲线和方向场。并阐述了讨论微分方并阐述了讨论微分方程的重要意义，指出了学习本课程的难点和重点程的重要意义，指出了学习本课程的难点和重点.作业作业：P27 2(任选任选)，3（任选（任选），），4，5，6，8（1-2）
