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1(十二)开始王柱2011.11.072 设设Z是随机变量是随机变量X,Y的函数的函数,Z=g(X,Y)(函数函数g(x,y)是连续函数是连续函数).则则Z也是一个随机变量也是一个随机变量,且且1.1 设离散随机变量设离散随机变量X,Y的分布律为的分布律为 PX=xk,Y=yj=pkj k,j=1,2,若级数若级数绝对收敛绝对收敛,则有则有-多维随机变量函数多维随机变量函数的的数学期望数学期望第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征被称为被称为 随机变量函数随机变量函数Z=g（X，Y）的的数学期望数学期望31.2 连续型随机变量连续型随机变量X,Y的概率密度为的概率密度为f(x,y),若积分若积分绝对收敛时绝对收敛时,则有则有被称为被称为 随机变量函数随机变量函数Z=g（X，Y）的的数学期望数学期望4 设设 X的分布律为的分布律为 P(X=xk)=pk k=1,2,当级数当级数特别：特别：随机变量自己的数学期望随机变量自己的数学期望1.3 离散随机变量的离散随机变量的均值均值(数学期望数学期望)绝对收敛时绝对收敛时,数学期望为数学期望为1.4 连续型随机变量的连续型随机变量的均值均值(数学期望数学期望),绝对收敛时绝对收敛时,则数学期望为则数学期望为设设X的概率密度为的概率密度为f(x),若积分若积分51.5数学期望数学期望的的性质性质:(以下均设所遇到的以下均设所遇到的数学期望数学期望存在存在)10 设设C为常数为常数,则有则有 E(C)=C。20 设设C为常数为常数,X是随机变量是随机变量,则有则有 E(CX)=CE(X)。30 X,Y是两个随机变量是两个随机变量,则有则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。这个这个性质性质可以推广可以推广到到任意有限个任意有限个随机变量之和的情况随机变量之和的情况.40 X,Y是两个是两个相互独立相互独立的随机变量的随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y)。这个这个性质性质可以推广可以推广到到任意有限个任意有限个相互独立的随机变量相互独立的随机变量之积的情况之积的情况.6定义定义:设设X是一个随机变量是一个随机变量,若若 EX-E(X)2 存在存在,则称则称 EX-E(X)2 为随机变量为随机变量X的方差的方差,记为记为D(X)或或Var(X),即即 D(X)=Var(X)=EX-E(X)2 还称还称 ,2.方差方差为标准差或均方差为标准差或均方差.72.2 对连续型随机变量对连续型随机变量X的的D(X),有有2.3 随机变量随机变量X的方差的方差 D(X),可以用如下可以用如下公式公式计算计算2.1对离散型随机变量对离散型随机变量X的方差的方差,即为即为82.4方差方差的的性质性质:(以下均设所遇到的以下均设所遇到的方差方差存在存在)10 设设C为常数为常数,则有则有 D(C)=0。20 设设C为常数为常数,X是随机变量是随机变量,则有则有 D(CX)=C2D(X)。30 X,Y是两个是两个相互独立相互独立的随机变量的随机变量,则有则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。这个这个性质性质可以推广可以推广到到任意有限个任意有限个相互独立的随机变量相互独立的随机变量之和的情况之和的情况.40 D(X)=0 的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数C,即即 PX=C=19#、0-1分布分布:设设X为服从为服从0-1分布分布的随机变量的随机变量,则则 E(X)=p D(X)=pq*几种重要随机变量的数学期望及方差几种重要随机变量的数学期望及方差1、二项分布、二项分布:设设X为服从为服从参数为参数为n,p的随机变量的随机变量,n重贝奴重贝奴利试验利试验.则则 E(X)=np D(X)=npq2、设设X为服从为服从参数为参数为N,M,n的的超几何分布超几何分布.则则 E(X)=nM/N104、设设X为服从为服从参数为参数为p的的几何分布几何分布,则则3、泊松分布、泊松分布:设设X为服从为服从参数为参数为 的随机变量的随机变量.则则11*、标准正态分布、标准正态分布 X N(0,1).则则5、正态分布、正态分布 Y N(,2).注意到：注意到：Y=X+，因此因此 E(Y)=D(Y)=26、均匀分布、均匀分布 X在在(a,b)上均匀分布上均匀分布.则则127、设设X为服从为服从参数为参数为 的的指数分布指数分布.则则13例例2.系统系统L由五个相互独立的子系统由五个相互独立的子系统Li,i=1,5连接连接而成而成.求两种连接方式求两种连接方式串联串联并联并联 系统系统L的平的平均寿命均寿命.设子系统设子系统Li的寿命为的寿命为X,概率密度为概率密度为其中其中 0.它们的分布函数为它们的分布函数为14解解(2):并联并联时时,系统系统L的寿命的寿命 Z=max(Xi)的的分布函数分布函数为为系统系统L的寿命的寿命 Z=max(Xi)的的密度函数密度函数为为15解解(1):串联串联时时,系统系统L的寿命的寿命 Z=min(Xi)的的分布函数分布函数为为系统系统L的平均寿命的平均寿命 E(N)=1/(5)系统系统L的寿命的寿命 Z=min(Xi)的的密度函数密度函数为为 两个比较两个比较,系统系统L的平均寿命的平均寿命 E(M)/E(N)=(137/60 )/(1/5 )=11.416解解(3):备用备用时时,系统系统L的寿命的寿命 Z=X+Y的的密度函数密度函数为为系统系统L的寿命的寿命 Z=X1+X2+X3+X4+X5的的密度函数密度函数很难求很难求.但系统但系统L的平均寿命的平均寿命 E(Z)=5E(X)=5/。比较比较,系统系统L的平均寿命的平均寿命 E(Z)/E(M)=(5/)/(137/60 )=2.2E(Z)/E(N)=(5/)/(1/5 )=2517例例3:按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆车到站都恰有一辆车到站,但到站的时刻是随机的但到站的时刻是随机的,且两车且两车到站的时间是相互独立的到站的时间是相互独立的.其规律为其规律为1.一人一人8:00到站到站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望,2.又一人又一人8:20到站到站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.解解:18例例4:N人团体普查验血人团体普查验血.每人分验需每人分验需N次次;k人一组人一组,若正常则一次通过若正常则一次通过k人人,否则再分验否则再分验k次次,共共k+1次次.设每人化验呈阳性的概率为设每人化验呈阳性的概率为p。且这些人化验反。且这些人化验反应是相互独立的。应是相互独立的。求适当的求适当的k,以使总化验的次数最少以使总化验的次数最少。解：解：k人为一组时人为一组时,组内每人平均化验的次数为组内每人平均化验的次数为X,则则则则N个人平均化验的总次数为个人平均化验的总次数为对固定的对固定的p,选取选取k使得使得 小于小于1且取且取到最小值到最小值,就是最好的就是最好的.19P=0.1,q=0.9时时,k=4 可使可使当当N=1000,4人为一组时人为一组时,则则N个人平均化验的总次数为个人平均化验的总次数为小于小于1且取到最小值且取到最小值,就是最好的就是最好的.平均来说平均来说,可以减少可以减少40%的工作量的工作量.演示演示21！20则有：则有：D(2X)=4*D(X)。D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2*D(X)。因此，因此，2X与与X+Y是不同的随机变量是不同的随机变量.例例4.2.4:X,Y是两个是两个相互独立、相同分布相互独立、相同分布的随机变量。的随机变量。21定义定义4.3.1:量量 EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量称为随机变量X与与Y 的的协方差协方差，记为，记为 Cov(X，Y),即即 Cov(X，Y)=EX-E(X)Y-E(Y),而而4.3 协方差及相关系数协方差及相关系数定义定义4.3.2:称为随机变量称为随机变量X与与Y 的的相关系数相关系数。224.1对任意两个随机变量对任意两个随机变量X和和Y,有有4.2将定义式展开易得将定义式展开易得我们常常利用这一式子算我们常常利用这一式子算协方差协方差。即即因此因此,当当X和和Y相互独立时相互独立时从而从而234.3 协方差的协方差的性质性质:(以下均设所遇到的以下均设所遇到的协方差协方差存在存在)10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。Cov(X,X)=D(X)。30 设设a,b为常数为常数,则有则有 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)。40 X1,X2,Y 是任三个随机变量是任三个随机变量,则有则有 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)20 Cov(X,c)=0。50 当当 X 和和 Y 相互独立时相互独立时24求：求：例例4.3.1:(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为解：解：25试证明试证明X与与Y不相关，但两者并不相互独立。不相关，但两者并不相互独立。例例4.3.2:设设X在区间在区间 上服从均匀分布，上服从均匀分布，解：解：26可见可见另外另外:对于一切满足对于一切满足0a10a1的实数的实数a a都有都有 因而因而故故X与与Y两者并不相互独立。两者并不相互独立。本本例例的的X与与Y两两者者有有明明显显的的函函数数关关系系，但但 又又是是不相关的。不相关的。相相关关系系数数 反反映映了了X X与与Y Y之之间间的的一一种种什什么么样样的的“相相关关”关关系系呢呢？实实质质上上，相相关关系系数数刻刻画画的的只只是是随随机机变变量量之间线性相关的程度。之间线性相关的程度。27例例:X*,Y*为为二维正态分布二维正态分布N(0,0,1,1,),其概率密其概率密度为度为其中其中-1 0),2(0),-1 0),2(0),-1 1为常数为常数.现在换个写法现在换个写法,42令令协方差矩阵协方差矩阵为为它的它的行列式行列式为为 ,逆矩阵逆矩阵为为43看看则则概率密度为概率密度为推广到推广到 n 维维44令令协方差矩阵为协方差矩阵为它的行列式为它的行列式为逆矩阵为逆矩阵为则则概率密度为概率密度为45n维维正态变量具有以下三条重要性质正态变量具有以下三条重要性质:1.n维维随机变量随机变量(X1,X2,Xn)服从服从n维维正态分布的正态分布的充要条件是充要条件是 X1,X2,Xn的任意线性组合的任意线性组合 l1X1+l2X2+lnXn 都服从都服从一维一维正态分布正态分布.2.(X1,X2,Xn)服从服从n维维正态分布正态分布,设设 Y1,Y2,Yk 是是 X1,X2,Xn的任意线性函数的任意线性函数,则则(Y1,Y2,Yk)也服从也服从k维维正态分布正态分布.3.(X1,X2,Xn)服从服从n维维正态分布正态分布,则则“X1,X2,Xn相互独立相互独立”与与“X1,X2,Xn两两不相关两两不相关”是是等价等价的的.即协方差矩阵为对角型即协方差矩阵为对角型,相关系数矩阵为单位矩阵相关系数矩阵为单位矩阵.46当级数当级数4.5 条件期望条件期望(一一)离散型离散型二维二维随机变量随机变量(X,Y)的条件数学期望的条件数学期望绝对收敛时绝对收敛时,称其为：在称其为：在 X=xi 条件下（关于）条件下（关于）随机变量随机变量Y的条件数学期望，记为的条件数学期望，记为设设在在 X=xi 条件下条件下随机变量随机变量Y的条件分布律的条件分布律47(二二)连续型连续型二维二维随机变量随机变量(X,Y)的条件数学期望的条件数学期望绝对收敛时绝对收敛时,则称其为：在则称其为：在 X=x条件下（关于）条件下（关于）随机变量随机变量Y的条件数学期望，记为的条件数学期望，记为若积分若积分设设在条件在条件 X=x 下下 Y 的的条件概率密度条件概率密度为为fY|X(y|x)，48(十二)结束作业作业:习题四的习题四的 16，17，18，20演示演示20！演示演示21！491650175118522053矩母函数矩母函数定义：定义：两个重要的函数：两个重要的函数：设随机变量设随机变量X的各阶原点矩为的各阶原点矩为 k=E(Xk),则称则称 为随机变量为随机变量X的的矩母函数矩母函数.显然有显然有和和54特征函数特征函数定义：定义：设随机变量设随机变量X的各阶原点矩为的各阶原点矩为 k=E(Xk),则称则称 为随机变量为随机变量X的的特征函数特征函数.显然有显然有和和还成立还成立55二项分布：二项分布：矩母函数矩母函数为为特征函数特征函数为为泊松分布：泊松分布：矩母函数矩母函数为为特征函数特征函数为为56均匀分布：均匀分布：矩母函数矩母函数为为特征函数特征函数为为标准正态分布：标准正态分布：矩母函数矩母函数为为特征函数特征函数为为57正态分布：正态分布：Y=X+,XN(0,1)矩母函数矩母函数为为特征函数特征函数为为58验证标准正态分布验证标准正态分布的概率密度在全区间上的积分为的概率密度在全区间上的积分为1。即求即求对二重积分作对二重积分作坐标变换坐标变换,直角坐标化成极坐标，直角坐标化成极坐标，令令x=r*cos(u),y=r*sin(u),雅克比行列式的值为雅克比行列式的值为r。59于是有：于是有：化成化成逐次逐次积分积分于是有于是有G=1，同时得：同时得：再见6099-9-28