1.2.3同角三角函数的基本关系式.ppt

1.2.3同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 在单位圆中，角在单位圆中，角的终边的终边OP与与OM、MP组组成直角三角形，成直角三角形，|MP|的长度是的长度是正弦正弦的绝对值，的绝对值，|OM|的长度是的长度是余弦余弦的绝对值，的绝对值，|OP|=1，根据勾股定理得根据勾股定理得sin2+cos2=1.又根据三角函数的又根据三角函数的定定义义有有sin=,cos=所以所以sin2+cos2=1.又知又知tan=,所以所以注意事项：注意事项：1.公式中的角一定是公式中的角一定是同角同角，否则公式可能，否则公式可能不成立不成立.如如sin230+cos2601.2.同角同角不要拘泥于形式不要拘泥于形式，6等等都可以等等都可以.如如sin24+cos24=1.3.在运用商数关系时，要注意等式成立的在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件限制条件.即即cos0.k+，kZ.(1)当我们知道一个角的某一个三角函数值当我们知道一个角的某一个三角函数值时，可以利用这两个三角函数关系式和三角时，可以利用这两个三角函数关系式和三角函数定义，函数定义，求求出这个角的出这个角的其余三角函数值其余三角函数值。同角三角函数关系式的应用：同角三角函数关系式的应用：(2)此外，还可用它们此外，还可用它们化简三角函数式化简三角函数式和和证证明三角恒等式明三角恒等式。4.常用变形：常用变形：在公式应用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用活用和变用.例例1 已知已知 ，并且，并且是第二象限角，是第二象限角，求求的其他三角函数值的其他三角函数值分析：由平方关系可求分析：由平方关系可求cos的值，的值，由已知条件和由已知条件和cos的值可以求的值可以求tan的值，的值，进而用倒数关系求得进而用倒数关系求得cot的值的值解：解：sin2+cos2=1，是第二象限角是第二象限角.例例2已知已知 ，求，求sin、tan的值的值.分析：分析：cos0是第二或第三象限角是第二或第三象限角因此要对因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论.解：当解：当是第二象限角时，是第二象限角时，当当是第三象限角时，是第三象限角时，例例3.已知已知sincos=,180270.求求tan的值。的值。解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组解：以题意和基本三角恒等式，得到方程组消去消去sin，得得5cos2 cos2=0，由方程解得由方程解得cos=或或cos=因为因为180270，所以，所以cos0，即，即 cos=代入原方程组得代入原方程组得sin=于是于是tan=2.例例4 化简：化简：解：原式解：原式=cos.例例5化简：化简：解：原式解：原式=例例6.求证：求证：(1)sin4cos4=2sin21；(2)tan2sin2=tan2sin2；(3)证明：（证明：（1）原式左边原式左边=(sin2+cos2)(sin2cos2)=sin2cos2 =sin2(1sin2)=2sin21右边右边.所以原等式成立所以原等式成立.(2)证明：证明：原式右边原式右边=tan2(1cos2)=tan2tan2cos2=tan2sin2=左边左边.因此因此(3)证明：左边证明：左边=右边右边 原等式成立原等式成立.证明等式的常用方法：证明等式的常用方法：1.从等式的一边证得它等于另一边；从等式的一边证得它等于另一边；2.先证明另外一个等式成立，从而推出需要先证明另外一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；证明的等式成立；3.利用作差利用作差(作商作商)的方的方法法。