09第九章弯曲内力.ppt

第九章 弯曲内力9-1 工程实际中的弯曲问题弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。例如工厂中常用的单梁吊车(图9-1(a),在单梁自重和电葫芦轮压力的作用下将发生弯曲变形。如图9-1(b)所示的计算简图,这种形式称为简支梁,变形后其轴线将移至虚线所示的位置。在机械传动中,常常使用斜齿轮和锥齿轮。图9-1作用在斜齿轮和锥齿轮上的啮合力,可以分解为径向力Pr、切向力Pt和轴向力Pa(图9-2(a)。图9-3(a)所示的车轴,它由车轮支承于钢轨上,车体的重力通过轴承作用于车轴的两端。图9-2 图9-3 图9-4图9-4(a)所示为车床上的切刀及其刀架。图9-5此外,如轧钢机上的轧辊(图9-5(a),机械传动中的齿轮轴(图9-5(b),受到水平方向风载荷作用的烟囱(图9-5(c)等,都是有弯曲变形的构件。以弯曲为主要变形的构件通常称为梁。在分析以弯曲为主要变形的构件时,都进行了三个方面的简化：(1)构件的简化(2)载荷的简化(3)支座的简化 根据梁的支承情况,在工程实际中通常将梁分为三种类型：(1)简支梁(2)外伸梁(3)悬臂梁 图9-6 图9-7在工程实际中大多数梁的横截面都有一个纵向对称轴,如图9-6所示。由梁的轴线和横截面的纵向对称轴所构成的平面叫做梁的纵向对称面。在多数情况下,作用于梁上的载荷均垂直于梁的轴线,并在纵向对称平面内,在这样的载荷作用下,梁的轴线将在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线,如图9-7所示。9-2 剪力和弯矩设有一简支梁AB,受集中载荷P1,P2,P3 的作用,如图9-8(a)所示。现求距A端x处横截面mm上的内力。首先,求出梁的支座反力RA和RB；然后用截面法假想沿mm截面将梁截为两部分,取左边部分为研究对象(图9-8(b)。它们的大小、方向或转向可以根据左段梁的平衡,按求固定端约束反力的平衡方程来确定。由得 由 得 在力矩式 中,所取的矩心为横截面的形心O。如果取右段梁为研究对象,用同样的方法也可得到截面mm上的剪力Q和弯矩M(图9-8(b)。分别以左段或右段梁为研究对象求出的剪力或弯矩,其数值应该相等,剪力的方向和弯矩的转向应该相反,因为它们都是同一截面上的内力,是作用与反作用的关系。为了使左右两段梁在同一截面上的内力符 号一致,须按梁的变形情况来规定它们的符号。为此,由梁上任意截取一段来看,我们规定：使该段梁发生左侧截面向上,右侧截面向下,相对错动趋势时,横截面上的剪力为正；反之为负,即剪力Q的方向是左下右上为负,如图9-9(a)所示。使该段梁弯曲成凹形时的弯矩为正；变曲成凸形时的弯矩为负,即弯矩M的转向是左顺右逆为正,反之为负,如图9-9(b)所示。按此符号规定,对同一截面,无论是取左段或取右段梁为研究对象,剪力或弯矩的符号总是一致的。横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上外力的代数和。横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上外力对该截面形心的力矩的代数和。符号规则,即:“左上右下剪力为正,左顺右逆,弯矩为正”,反之皆负。9-3 剪力图和弯矩图梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的,在梁的强度和刚度计算中,常常需要知道梁各横截面上的内力随截面位置变化的情况,为了描述其变化规律,可以用 横坐标x表示横截面沿梁轴线的位置,将梁各横截面上的剪力和弯矩以纵坐标表示,很显然它们的数值是横坐标x的函数,即：Q=Q(x)M=M(x)这两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程。为了能一目了然地表明梁各横截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况,在设计计 算中常把各横截面上的剪力和弯矩用图形来表示,即取一平行于梁轴线的横坐标x,表示横截面的位置,以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩,画出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。9-4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系图9-21(a)表示一在各种载荷作用下的梁。设以梁的左端为原点,选取坐标系如图所示。梁上分布载荷集度q=q(x)是x的连续函数,并规定向上的载荷为正。若以坐标为x 和x+dx的两个相邻横截面,从梁中取出长度为dx的一段,且将其表示于图9-21(b)中。在坐标为x的截面上,剪力和弯矩分别为Q(x)和M(x)；而在坐标为x+dx的截面上,则分别为Q(x)+dQ(x)和M(x)+dM(x)。假设以上各内力都是正的,并设在dx这一段内没有集中力和集中力偶。由于原梁处于平衡状态,故截出的这段也处于平衡状态。根据静力平衡方程图9-21由此得出 由略去二阶微量 ,即可得如将公式(9-2)再对x取导数,并利用公式(9-1),又可得到以上三式就是载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系。它们在各种载荷的梁中都普遍成立。剪力图中曲线上某点的斜率等于梁上对应点处的载荷集度；弯矩图中曲线上某点的斜率等于梁在对应截面上的剪力。(1)在梁上某一段内q=0时,Q为常数,M为x的一次函数。即在q=0的一段梁上,剪力图的斜率为零,为一水平直线；弯矩图曲线的斜率为常数,为一倾斜直线。此时,若剪力Q为正值,则弯矩图曲线的斜率为正,为一向右上倾斜的直线；若剪力Q为负值,则弯矩图曲线的斜率为负,为一向右下倾斜的直线。(2)在梁上某一段内q=常数时,Q为x的一次函数,M为x的二次函数。即在有均布载荷的一段梁上,剪力图的斜率为常数,为一倾斜直线；弯矩图曲线的斜率随x而变化,为一条二次抛物线。(3)若均布载荷向下,剪力图曲线的斜率为负,为一向右下倾斜直线,此时弯矩图曲线的斜率在逐渐减小,为一条凸形曲线；反之,若均布载荷向上,剪力图则向右上倾斜,弯矩图为凹形曲线。在剪力Q=0的地方,弯矩图曲线的斜率为零,此处的弯矩为极植。此外,弯矩的极值也有可能发生在集中力作用处(图9-14)或集中力偶作用处(图9-15)。9-5 刚架的弯矩图轴力图在工程中常遇到由许多杆件组成的框架形式的结构。如图9-23(a)所示的台钻机架,加重线为简化后的床身简图。图9-23(b)为C形卡头及其受力简图。在这种结构中,杆和杆的交点叫节点。如果在节点处杆间的夹角保持不变,即杆与杆在节点处不发生相对旋转,为了区别于铰链节点而称这样的节点为刚节点,常在节点处加填角表示。刚节点处的内力除了力以外还有力偶(因为用刚节点联结的两杆,在节点处不发生相对转动)。有刚节点的框架称为刚架。凡未知反力和内力能由静力平衡条件确定的刚架称为静定刚架。图9-239-6 平面曲杆的弯曲内力工程中常见的吊钩、链环、活塞环等,它们的轴线是一条曲线,称为曲杆。一般地说,它们的横截面有一根对称轴,如轴线是一条平面曲线,杆件就有一个对称平面,当外力 或力偶作用于对称面内时,曲线也将发生平面弯曲,称为平面曲杆。图9-25如图9-25(a)所示曲杆,其轴线为1/4圆弧,半径为R,在自由端受垂直载荷P作用。为了分析内力,在极角为的任意横截面假想将 曲杆切开,并保留右段研究其平衡。显然,该截面上的内力不仅有弯矩、剪力,而且有轴力N。由保留部分的平衡条件有可解得 曲杆内力符号的规定为：引起拉伸变形的轴力N为正；使轴线曲率增加的弯矩为正；在研究截面附近取一小段,使其产生顺时针转动趋势的剪力为正。按照这一组符号规定,图9-25(b)中所设截面内力均为正,计算结果Q,M为正,说明它们假设对了；惟有N为负,故实际产生负轴力。由于内力为的函数,根据上述内力方程,可分别作出内力图。例如作弯矩图时,将弯矩数值画在轴线的法线方向,并画在杆件受压的一侧,如图9-25(c)所示。类似地,可作出曲杆的剪力图和轴力图,这里不再详细讨论。