概率论与数理统计学经典课件4-1.ppt
第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 数学期望数学期望 2 方差方差 3 几种重要随机变量的几种重要随机变量的 数学期望和方差数学期望和方差 4 协方差及相关系数协方差及相关系数 5 矩矩退 出前一页后一页目 录数学期望的定义数学期望的定义随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质1 数学期望数学期望第四章 随机变量的数字特征退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例1解：解：平均成绩为：平均成绩为：若用若用X表示成绩，则表示成绩，则退 出前一页后一页目 录一、数学期望定义一、数学期望定义1）离散型离散型第四章 随机变量的数字特征1 数学期望设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为：的分布律为：若级数若级数 绝对收敛，则称随机变量绝对收敛，则称随机变量 X 的数的数学期望存在，记作学期望存在，记作 EX，且且数学期望也称为数学期望也称为均值均值。退 出前一页后一页目 录2）连续型）连续型第四章 随机变量的数字特征1 数学期望设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，若积分若积分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分的值为的值为X的数学期望。的数学期望。记为记为退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例2退 出前一页后一页目 录，其密度函数为，其密度函数为分布分布服从服从设随机变量设随机变量CauchyX()()+-+=xxxf2111p p()+-dxxfx由于由于+-+=dxxx211p p+=0212dxxxp p()+=021ln1xp p()不绝对收敛，不绝对收敛，这表明积分这表明积分+-dxxxf不存在不存在因而因而 EX第四章 随机变量的数字特征1 数学期望例例3退 出前一页后一页目 录：的射击水平由下表给出的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；：甲击中的环数；X：乙击中的环数；：乙击中的环数；Y平较高？平较高？试问哪一个人的射击水试问哪一个人的射击水第四章 随机变量的数字特征1 数学期望退 出前一页后一页目 录解：解：为为甲、乙的平均环数可写甲、乙的平均环数可写6.0103.091.08*+*+*=EX1.93.0105.092.08=*+*+*=EY要比乙的好要比乙的好，甲的射击水平，甲的射击水平因此，从平均环数上看因此，从平均环数上看5.9=例例 4第四章 随机变量的数字特征1 数学期望此例说明了数学期望更完整地刻化了此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。的均值状态。设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为：的分布律为：X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为：的分布律为：X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1退 出前一页后一页目 录例例 5第四章 随机变量的数字特征按规定，火车站每天按规定，火车站每天8:009:00,9:0010:00都恰都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：两者到站的时间相互独立，其规律为：到站时间到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6(1)旅客旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。到站，求他侯车时间的数学期望。(2)旅客旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。到站，求他侯车时间的数学期望。1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望解：解：X 10 30 50P 1/6 3/6 2/6(1)旅客旅客8：00到达到达（2）旅客）旅客8：20到达到达 X 的分布率为的分布率为X 的分布率为的分布率为X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6)设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X（以分记）以分记）退 出前一页后一页目 录例例6已知已知求求：解：解：二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望定理定理 1：第四章 随机变量的数字特征1 数学期望设设 Y=g(X),g(x)是连续函数，是连续函数，(2)若若 X 的概率密度为的概率密度为 f(x)，（1）若）若 X 的分布率为的分布率为退 出前一页后一页目 录定理定理 2：第四章 随机变量的数字特征若若(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(1)若若(X,Y)的分布律为的分布律为(2)若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 f(x,y)，且且 g(x,y)是二元连续函数，是二元连续函数，1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征解：解：例例 6 设设(X,Y)在区域在区域A上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中A为为x轴轴,y 轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征例例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量是随机变量 X（吨），吨），X U2000,4000，每售出这每售出这种商品种商品一吨一吨，可为国家挣得外汇，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出万元，但销售不出而囤积在仓库，则而囤积在仓库，则每吨每吨需浪费保养费需浪费保养费1万元。万元。问需要问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。组织多少货源，才能使国家收益最大。设设 y 为预备出口的该商品的数量，则为预备出口的该商品的数量，则用用 Z 表示国家的收益（万元）表示国家的收益（万元）解：解：1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征下面求下面求 EZ，并求并求 y 使使 EZ 达到达到最大最大 值，值，即，组织即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。吨此种商品是最佳的决策。例例8(续）续）1 数学期望退 出前一页后一页目 录三、数学期望的性质三、数学期望的性质第四章 随机变量的数字特征1 数学期望退 出前一页后一页目 录.,)4EXEYEXYYX=独立，则独立，则若若例例 8第四章 随机变量的数字特征对对N个人进行验血，有两种方案：个人进行验血，有两种方案：（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设个人一组混合后进行化验（设N是是k的倍数），若呈阴性反应，则认为的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都个人的血都是阴性反应，这时是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份个人的另一份血液逐一进行化验，这时血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验个人的血要化验k+1次次;（1）对每人的血液逐个化验，共需）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验；次化验；退 出前一页后一页目 录假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各且各次化验结果是相互独立的。次化验结果是相互独立的。试说明适当选取试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。可使第二个方案减少化验次数。第四章 随机变量的数字特征1 数学期望解：解：设设 X 表示第二个方案下的总化验次数，表示第二个方案下的总化验次数，表示第表示第 i 个组的化验次数，则个组的化验次数，则例例 8 （续）（续）退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望只要选只要选 k 使使即即就可使第二个方案减少化验次数；就可使第二个方案减少化验次数；当当q已知时，已知时，退 出前一页后一页目 录.1pq-=kqk /1第四章 随机变量的数字特征例如：当例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明时，可证明k=4可使最小；这时，可使最小；这时，工作量将减少工作量将减少40%.1 数学期望就可使化验次数最少。就可使化验次数最少。退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征例例9一民航送客载有一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客位旅客自机场开出，旅客有有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以下车就不停车。以X表示停车的次数。表示停车的次数。求求EX（设设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。客是否下车相互独立）。解：解：1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征例例10 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是抽查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。试求平均需抽查的件数。解：解：设设X为停止检查时，抽样的件数，为停止检查时，抽样的件数，则则 X 的可能取值为的可能取值为1,2,n，且，且1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望某工厂的自动生产线加工的某零件的内径某工厂的自动生产线加工的某零件的内径 X（单位：单位：mm）服从服从 规定该零件的内径小于规定该零件的内径小于10 mm或或大于大于12 mm时为时为不合格品，其余的情形为合格品。不合格品，其余的情形为合格品。又已知该零件的销售利润又已知该零件的销售利润 Y 与与 X 有如下关系：有如下关系：思考题：思考题：问问零件的平均内径零件的平均内径 取什么值时，销售一个零取什么值时，销售一个零件的平均利润最大？件的平均利润最大？退 出前一页后一页目 录第四章 随机变量的数字特征1 数学期望本节小结：本节小结：1）数学期望的定义。）数学期望的定义。2）随机变量函数的数学期望。）随机变量函数的数学期望。3）数学期望的性质。）数学期望的性质。退 出前一页后一页目 录
