2019届高考数学复习专题5统计与概率2.5.2概率、随机变量及其分布列课件ppt.pptx

第2课时概率、随机变量及其分布列热点考向一古典概型、几何概型热点考向一古典概型、几何概型考向剖析考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题本考向考查形式为选择题、填空题,主要考主要考查古典概型、几何概型的概率计算查古典概型、几何概型的概率计算.考查运算求解能力考查运算求解能力及应用意识及应用意识,为基础题或中档题为基础题或中档题,分值为分值为5 5分分.20192019年的高考仍将以选择题、填空题的形式考查年的高考仍将以选择题、填空题的形式考查,除常规的概率计算问题除常规的概率计算问题,还应注意与数学文化的渗透还应注意与数学文化的渗透.【典例典例1 1】(1)(2018(1)(2018全国卷全国卷)我国数学家陈景润在我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴哥德巴赫猜想是赫猜想是“每个大于每个大于2 2的偶数可以表示为两个素数的和的偶数可以表示为两个素数的和”,如如30=7+23.30=7+23.在不超过在不超过3030的素数中的素数中,随机选取两个不随机选取两个不同的数同的数,其和等于其和等于3030的概率是的概率是()(2)(2018(2)(2018赤峰二模赤峰二模)如图在矩形如图在矩形OABCOABC中的曲线分别是中的曲线分别是y=sin x,y=cos x,A ,C(0,1),y=sin x,y=cos x,A ,C(0,1),在矩形在矩形OABCOABC内随内随机取一点机取一点,则此点取自阴影部分的概率为则此点取自阴影部分的概率为()(3)(2018(3)(2018郑州一模郑州一模)如果把四个面都是直角三角形的如果把四个面都是直角三角形的四面体称为四面体称为“三节棍体三节棍体”,那么从长方体八个顶点中任那么从长方体八个顶点中任取四个顶点取四个顶点,则这四个顶点是则这四个顶点是“三节棍体三节棍体”的四个顶点的四个顶点的概率为的概率为_._.【解析解析】(1)(1)选选C.C.不超过不超过3030的素数有的素数有2,3,5,7,11,13,2,3,5,7,11,13,17,19,23,2917,19,23,29共共1010个个,其中和为其中和为3030的有的有7+23,11+19,7+23,11+19,13+17.13+17.所以随机选取两个数所以随机选取两个数,和为和为3030的概率为的概率为 (2)(2)选选B.B.由题可知图中阴影部分的面积由题可知图中阴影部分的面积S=2 (cos xS=2 (cos x-sin x)dx=2(sin x+cos x)=2(-1),-sin x)dx=2(sin x+cos x)=2(-1),易知矩形易知矩形OABCOABC的面积为的面积为 ,所以在矩形所以在矩形OABCOABC内随机取一点内随机取一点,此点取自阴影部分的概率为此点取自阴影部分的概率为 (3)(3)从从8 8个顶点任取个顶点任取4 4个顶点共有个顶点共有 =70=70种选择方法种选择方法;如如图所示图所示,三棱锥三棱锥C-AC-A1 1ABAB是是“三节棍体三节棍体”:可分以下三步确定可分以下三步确定“三节棍体三节棍体”的个数的个数,从六个面中从六个面中取一个面有取一个面有 =6=6种取法种取法,从一个面中的四个点中取从一个面中的四个点中取出三个点有出三个点有 =4=4种取法种取法,另外一个点有另外一个点有2 2种取法种取法,考考虑到重复性虑到重复性(如三棱锥如三棱锥C C-A A1 1ABAB与三棱锥与三棱锥A A1 1-ABC-ABC重复重复),),可知满足是可知满足是“三节棍体三节棍体”的有的有 =24=24种种,故所求故所求概率为概率为P=P=答案答案:【易错警示易错警示】解答本题容易出现重复计数解答本题容易出现重复计数,导致所得导致所得概率为概率为 的错误的错误.【探究追问探究追问】把例把例1(2)1(2)的矩形改为矩形的矩形改为矩形ABCD,ABCD,其四个顶其四个顶点的坐标分别为点的坐标分别为A(0,-1),B(,-1),C(,1),D(0,1),A(0,-1),B(,-1),C(,1),D(0,1),如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCDABCD内随机取一点内随机取一点,试计算此点取自阴影部分的试计算此点取自阴影部分的概率概率.【解析解析】根据题意根据题意,可得曲线可得曲线y=sin xy=sin x与与y=cos xy=cos x围成围成的区域的区域,其面积为其面积为 (sin x-cos x)dx=(-cos x-(sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)sin x)又矩形又矩形ABCDABCD的面积为的面积为2,2,由几何概型概率公式得该点取自阴影区域的概由几何概型概率公式得该点取自阴影区域的概率是率是 【名师点睛名师点睛】1.1.利用古典概型求概率的关键及注意点利用古典概型求概率的关键及注意点(1)(1)关键关键:正确求出基本事件总数和所求事件包含的基正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数本事件总数,这常常用到排列、组合的有关知识这常常用到排列、组合的有关知识.(2)(2)注意点注意点:对于较复杂的题目计数时要正确分类对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类分类时应不重不漏时应不重不漏.2.2.几何概型的适用条件及求解关键几何概型的适用条件及求解关键(1)(1)适用条件适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解应考虑使用几何概型求解.(2)(2)求解关键求解关键:构成试验的全部结果的区域和事件发生构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的确定是关键的区域的确定是关键,有时需要设出变量有时需要设出变量,在坐标系中在坐标系中表示所需要的区域表示所需要的区域.【考向精炼考向精炼】1.1.设不等式组设不等式组 所表示的区域为所表示的区域为M,M,函数函数y=y=的图象与的图象与x x轴所围成的区域为轴所围成的区域为N,N,向向M M内随机投内随机投一个点一个点,则该点落在则该点落在N N内的概率为内的概率为()【解析解析】选选B.B.作出图形如图所示作出图形如图所示:则区域则区域M M为为ABC,ABC,区域区域N N为单位圆的下半圆为单位圆的下半圆,点点O O到直线到直线x+y=-x+y=-和直线和直线x-y=x-y=的距离均为的距离均为 =1,=1,故半圆与故半圆与AB,BCAB,BC相切相切.所以向所以向M M内随机投一个点内随机投一个点,则该点落在则该点落在N N内内的概率为的概率为P=P=2.2.党的十九大报告指出党的十九大报告指出,建设教育强国是中华民族伟大建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程复兴的基础工程,必须把教育事业放在优先位置必须把教育事业放在优先位置,深化深化教育资源的均衡发展教育资源的均衡发展.现有现有4 4名男生和名男生和2 2名女生主动申请名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教毕业后到两所偏远山区小学任教,将这将这6 6名毕业生全部名毕业生全部进行安排进行安排,每所学校至少安排每所学校至少安排2 2名毕业生名毕业生,则每所学校则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为男女毕业生至少安排一名的概率为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()【解析解析】选选C.C.由题意由题意,将这六名毕业生全部进行安排将这六名毕业生全部进行安排,每所学校至少每所学校至少2 2名毕业生名毕业生,基本事件的总数为基本事件的总数为N=N=50 =50种种,每所学校男女毕业生至少安排每所学校男女毕业生至少安排一名共有一名共有:一是其中一个学校安排一女一男一是其中一个学校安排一女一男,另一个学校有一女另一个学校有一女三男三男,有有 =16=16种种,二是其中一个学校安排一女两男二是其中一个学校安排一女两男,另一个学校有一女另一个学校有一女两男两男,有有 =12=12种种,共有共有16+12=2816+12=28种种,所以概率为所以概率为P=P=【加练备选加练备选】1.(20161.(2016全国卷全国卷)从区间从区间0,10,1随机抽取随机抽取2n2n个数个数x x1 1,x,x2 2,x,xn n,y,y1 1,y,y2 2,y,yn n,构成构成n n个数对个数对(x(x1 1,y,y1 1),),(x(x2 2,y,y2 2),(x),(xn n,y,yn n),),其中两数的平方和小于其中两数的平方和小于1 1的数对的数对共有共有m m个个,则用随机模拟的方法得到的圆周率则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近的近似值为似值为()【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得:(x:(xi i,y,yi i)(i=1,2,)(i=1,2,n),n)在如图所在如图所示的正方形中示的正方形中,而平方和小于而平方和小于1 1的点均在如图所示的阴的点均在如图所示的阴影中影中,由几何概型概率计算公式知由几何概型概率计算公式知 所以所以=2.2.在区间在区间0,0,上随机取一个数上随机取一个数x,x,使使-cos x -cos x 的概率为的概率为()【解析解析】选选B.B.因为因为0 x,-cos x ,0 x,-cos x ,所以所以 x ,x ,区间长度为区间长度为 ,则对应的概率则对应的概率3.3.某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人,从这批跳舞机器人中随机抽取了从这批跳舞机器人中随机抽取了8 8个个,其中有其中有2 2个是次品个是次品,现从现从8 8个跳舞机器人中随机抽取个跳舞机器人中随机抽取2 2个分配给测验员个分配给测验员,则测则测验员拿到次品的概率是验员拿到次品的概率是()【解析解析】选选D.D.根据题意可得根据题意可得P=P=热点考向二热点考向二 条件概率及相互独立事件的概率条件概率及相互独立事件的概率考向剖析考向剖析:本考向考查形式为选择填空题本考向考查形式为选择填空题,主要考查条主要考查条件概率、相互独立事件的概率计算件概率、相互独立事件的概率计算.考查运算求解能力考查运算求解能力及应用意识及应用意识,为基础题或中档题为基础题或中档题,分值为分值为5 5分分.20192019年的高考仍将以选择填空题的形式考查年的高考仍将以选择填空题的形式考查,仍仍将以常规的概率计算问题为主将以常规的概率计算问题为主.【典例典例2 2】(1)(2018(1)(2018濮阳二模濮阳二模)如图如图,已知电路中已知电路中4 4个个开关闭合的概率都是开关闭合的概率都是 ,且是相互独立的且是相互独立的,则灯亮的则灯亮的概率为概率为()(2)(2)在中心为在中心为O O的正六边形的正六边形ABCDEFABCDEF的电子游戏盘中的电子游戏盘中(如图如图),),按下开关键后按下开关键后,电子弹从电子弹从O O点射出后最后落入正六边点射出后最后落入正六边形的六个角孔内形的六个角孔内,且每次只能射出一个且每次只能射出一个,现将现将A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F对应的角孔的分数依次记为对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关若连续按下两次开关,记事件记事件M M为为“两次落入角孔的分两次落入角孔的分数之和为偶数数之和为偶数”,事件事件N N为为“两次落入角孔的分数都为两次落入角孔的分数都为偶数偶数”,则则P(N|M)=P(N|M)=()(3)(2018(3)(2018孝义一模孝义一模)某游戏中一个珠子从通道某游戏中一个珠子从通道(图中图中实线表示通道实线表示通道)由上至下滑下由上至下滑下(假设珠子滑向每个通道假设珠子滑向每个通道是等可能的是等可能的),),从最下面的六个出口从最下面的六个出口(如图中如图中1,2,3,4,1,2,3,4,5,65,6所示所示)出来出来,规定猜中出口者为胜规定猜中出口者为胜,如果你在该游戏如果你在该游戏中中,猜得珠子从猜得珠子从3 3号出口出来号出口出来,那么你取胜的概率为那么你取胜的概率为_._.【解析解析】(1)(1)选选D.D.记甲、乙、丙、丁这记甲、乙、丙、丁这4 4个开关闭合分个开关闭合分别为事件别为事件A,B,C,D,A,B,C,D,又记甲与乙至少有一个不闭合为事又记甲与乙至少有一个不闭合为事件件 ,则则P()=P(A )+P(B)+P()=,P()=P(A )+P(B)+P()=,则灯则灯亮的概率为亮的概率为P=1-P()=1-P()P=1-P()=1-P()P()P()P()P()=1-=1-(2)(2)选选D.D.事件事件MNMN包括包括:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共共9 9种种,而事件而事件M M包括包括(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共共1818种种,由题可得由题可得,P(N|M)=P(N|M)=(3)(3)因为从因为从A A到到3 3总共有总共有 =10=10种走法种走法,每一种走法的概每一种走法的概率都是率都是 ,所以珠子从出口所以珠子从出口3 3出来的概率是出来的概率是 答案答案:【名师点睛名师点睛】1.1.条件概率的求法条件概率的求法(1)(1)利用定义利用定义,分别求分别求P(A)P(A)和和P(AB),P(AB),得得P(B|A)=P(B|A)=这是通用的求条件概率的方法这是通用的求条件概率的方法.(2)(2)借助古典概型概率公式借助古典概型概率公式,先求事件先求事件A A包含的基本事件包含的基本事件数数n(A),n(A),再在事件再在事件A A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B B包含的基本事包含的基本事件数件数,即即n(AB),n(AB),得得P(B|A)=P(B|A)=2.2.求复杂事件概率的方法及注意点求复杂事件概率的方法及注意点(1)(1)直接法直接法:正确分析复杂事件的构成正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题同时发生的积事件或独立重复试验问题,然后用相应概然后用相应概率公式求解率公式求解.(2)(2)间接法间接法:当复杂事件正面情况较多当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时反面情况较少时,可利用其对立事件进行求解可利用其对立事件进行求解.对于对于“至少至少”“”“至多至多”等等问题往往也用这种方法求解问题往往也用这种方法求解.(3)(3)注意点注意点:注意辨别独立重复试验的基本特征注意辨别独立重复试验的基本特征:在每在每次试验中次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况试验结果只有发生与不发生两种情况;在在每次试验中每次试验中,事件发生的概率相同事件发生的概率相同.【考向精炼考向精炼】1.(20181.(2018西宁一模西宁一模)先后掷一枚质地均匀的骰子先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子骰子的六个面上分别标有的六个面上分别标有1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6个点个点)两次两次,落在水平落在水平桌面后桌面后,记正面朝上的点数分别为记正面朝上的点数分别为x,y,x,y,设事件设事件A A为为“x+yx+y为偶数为偶数”,事件事件B B为为“x,yx,y中有偶数中有偶数,且且xy”,xy”,则概率则概率P(B|A)=P(B|A)=()【解析解析】选选A.A.由题意可得由题意可得P(AB)=P(AB)=P(A)=P(A)=所以所以P(B|A)=P(B|A)=2.2.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考,已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A A+的的概率分别为概率分别为 ,这三门科目考试成绩的结果互不这三门科目考试成绩的结果互不影响影响,则这位考生至少得则这位考生至少得2 2个个A A+的概率是的概率是_._.【解析解析】这位考生至少得这位考生至少得2 2个个A A+可分以下两种情况可分以下两种情况:(1)(1)恰有两门得恰有两门得A A+;(2);(2)三门都得三门都得A A+.其概率为其概率为 答案答案:3.3.抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是正反面出现的概率都是 ,反复反复这样投掷这样投掷,数列数列aan n 定义如下定义如下:a:an n=若若S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+an n(nN(nN*),),则则“S S2 20,S0,S8 8=2”=2”的概率的概率是是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析解析】事件事件“S S2 20,S0,S8 8=2=2”是指是指:(1):(1)前前2 2次都是正面次都是正面,后后6 6次中次中3 3正正3 3反反;(2);(2)前前2 2次都是反面次都是反面,后后6 6次中次中5 5正正1 1反反,故其概率为故其概率为P=P=答案答案:【加练备选加练备选】1.1.某企业有甲、乙两个研发小组某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功他们研发新产品成功的概率分别为的概率分别为 .现安排甲组研发新产品现安排甲组研发新产品A,A,乙组研乙组研发新产品发新产品B,B,设甲、乙两组的研发相互独立设甲、乙两组的研发相互独立,则至少有一则至少有一种新产品研发成功的概率为种新产品研发成功的概率为_._.【解析解析】设至少有一种新产品研发成功的事件为事件设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A A且事件且事件B B为事件为事件A A的对立事件的对立事件,则事件则事件B B为一种新产品为一种新产品都没有成功都没有成功,因为甲乙研发新产品成功的概率分别为因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 .则则P(B)=P(B)=再根据对立事件的概率之间的公式可得再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1-P(B)P(A)=1-P(B)=,=,故至少有一种新产品研发成功的概率是故至少有一种新产品研发成功的概率是 .答案答案:2.2.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位单位:分分)X)X服从正态分布服从正态分布N(110,10N(110,102 2),),从中抽取一个同学的数学从中抽取一个同学的数学成绩成绩,记该同学的成绩记该同学的成绩9011090110为事件为事件A,A,记该同学记该同学的成绩的成绩8010080100为事件为事件B,B,则在则在A A事件发生的条件下事件发生的条件下B B事件发生的概率事件发生的概率P(B|A)=_.(P(B|A)=_.(用分数表示用分数表示)附附:X:X满足满足P(-X+)0.68,P(-2XP(-X+)0.68,P(-2X+2)0.95,P(-3X+3)0.99.+2)0.95,P(-3X+3)0.99.【解析解析】由题意由题意,P(A)0.475,P(AB)(0.95-0.68),P(A)0.475,P(AB)(0.95-0.68)=0.135,=0.135,所以所以P(B|A)=P(B|A)=答案答案:热点考向三热点考向三 概率与频率、离散型随机变量的分布列概率与频率、离散型随机变量的分布列高频考向高频考向考情考情分析分析20162016年年20172017年年20182018年年T19 T19 T18T18 T18T18T18T18T20T20T8T8考向考向解读解读本考向考查形式以解答题为主本考向考查形式以解答题为主,也有可能出选择、填空题也有可能出选择、填空题,主要考查频率估计概率、离散型随机变量的分布列及期望主要考查频率估计概率、离散型随机变量的分布列及期望和方差和方差.考查数据处理能力和应用意识考查数据处理能力和应用意识,为中档题为中档题,分值为分值为1212分分.20192019年的高考仍将以解答题为主年的高考仍将以解答题为主,主要考查离散型随机变主要考查离散型随机变量的期望和方差与概率的概念和计算等知识的综合问题量的期望和方差与概率的概念和计算等知识的综合问题.类型一以统计图表为背景的随机类型一以统计图表为背景的随机变量的分布列问题变量的分布列问题【典例典例3 3】(2018(2018洛阳二模洛阳二模)某超市计划月订购一种冰某超市计划月订购一种冰激凌激凌,每天进货量相同每天进货量相同,进货成本每桶进货成本每桶5 5元元,售价每桶售价每桶7 7元元,未售出的冰激凌以每桶未售出的冰激凌以每桶3 3元的价格当天全部处理完毕元的价格当天全部处理完毕,根据往年销售经验根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温每天需求量与当天最高气温(单位单位:):)有关有关.如果最高气温不低于如果最高气温不低于25,25,需求量需求量600600桶桶;如果最高气温位于区间如果最高气温位于区间20,25),20,25),需求量为需求量为400400桶桶;如果如果最高气温低于最高气温低于20,20,需求量为需求量为200200桶桶.为了确定六月份的订为了确定六月份的订购计划购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得得下面的频数分布表下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率间的概率.最高气最高气温温10,1510,15)15,2015,20)20,2520,25)25,3025,30)30,3530,35)35,4035,40)天数天数2 21616363625257 74 4(1)(1)求六月份这种冰激凌一天需求量求六月份这种冰激凌一天需求量X(X(单位单位:桶桶)的分布的分布列列.(2)(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y(Y(单位单位:元元),),当六月份这种冰激凌一天的进货量当六月份这种冰激凌一天的进货量n(n(单位单位:桶桶)为多为多少时少时,Y,Y的数学期望取得最大值的数学期望取得最大值?【审题导引审题导引】(1)(1)要求冰激凌一天需求量要求冰激凌一天需求量X X的分布列的分布列,只要确定只要确定_及其对应事件的含义及其对应事件的含义,然后用频率估计概率然后用频率估计概率.(2)(2)要求要求Y Y的数学期望的数学期望,只要明确只要明确_的关系的关系,借助借助X X的分布列的分布列,得到得到Y Y的期望的期望.X X的取值的取值X X与与Y Y【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得:X:X的可能取值为的可能取值为200,400200,400和和600.600.记六月份最高气温低于记六月份最高气温低于2020为事件为事件A A1 1,最高气温位于区间最高气温位于区间20,25)20,25)为事件为事件A A2 2,最高气温不低于最高气温不低于2525为事件为事件A A3 3.根据题根据题意意,结合频数分布表结合频数分布表,用频率估计概率用频率估计概率,知知P(X=200)=P(AP(X=200)=P(A1 1)=)=P(X=400)=P(AP(X=400)=P(A2 2)=)=P(X=600)=P(AP(X=600)=P(A3 3)=)=故六月份这种冰激凌一天的需求量故六月份这种冰激凌一天的需求量X(X(单位单位:桶桶)的分布的分布列为列为:X X200200400400600600P P (2)(2)结合题意得当结合题意得当n200n200时时,E(Y)=2n400.,E(Y)=2n400.当当200n400200n400时时,E(Y)=2002+(n-200),E(Y)=2002+(n-200)(-2)+n2=n+160(400,640.(-2)+n2=n+160(400,640.当当400n600400600n600时时,E(Y)=2002+(n-200)(-2)+,E(Y)=2002+(n-200)(-2)+4002+(n-400)(-2)+6002+4002+(n-400)(-2)+6002+(n-600)(-2)=1 760-2n560.(n-600)(-2)=1 760-2n560.所以当所以当n=400n=400时时,Y,Y的数学期望的数学期望E(Y)E(Y)取得最大值取得最大值640.640.类型二以复杂事件概率计算为背景的随机类型二以复杂事件概率计算为背景的随机变量的分布列问题变量的分布列问题【典例典例4 4】20182018年年2 2月月2222日日,在韩国平昌冬奥会短道速滑在韩国平昌冬奥会短道速滑男子男子500500米比赛中米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现录的优异表现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破的突破.根据短道速滑男子根据短道速滑男子500500米的比赛规则米的比赛规则,运动员自运动员自出发点出发进入滑行阶段后出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过每滑行一圈都要依次经过4 4个直道与弯道的交接口个直道与弯道的交接口A Ak k(k=1,2,3,4).(k=1,2,3,4).已知某男子速已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为 ,摔倒的摔倒的概率均为概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行才停止滑行,现在用现在用X X表示一名顺利进入最后一圈的运表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后动员在滑行结束后,在最后一圈顺利通过的交接口数在最后一圈顺利通过的交接口数.(1)(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3 3个交接口个交接口的概率的概率.(2)(2)求求X X的分布列及数学期望的分布列及数学期望E(X).E(X).【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(2)(2)问问确定确定X X的所有可能取值的所有可能取值;明确明确A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4之间的关系之间的关系,求相应概求相应概率率;写出写出X X的分布列的分布列,求期望求期望.【解析解析】(1)(1)由题意可知由题意可知:P=:P=(2)X(2)X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.则则P(AP(Ak k)=(k=1,2,3,4),)=(k=1,2,3,4),且且A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4相互独立相互独立.故故P(X=0)=P()=,P(X=0)=P()=,P(X=1)=P(AP(X=1)=P(A1 1 )=)=P(X=2)=P(AP(X=2)=P(A1 1A A2 2 )=)=P(X=3)=P(AP(X=3)=P(A1 1A A2 2A A3 3 )=)=P(X=4)=P(AP(X=4)=P(A1 1A A2 2A A3 3A A4 4)=)=从而从而X X的分布列为的分布列为X X0 01 12 23 34 4P P 所以所以E(X)=0 +1 +2 +3 +4 =E(X)=0 +1 +2 +3 +4 =【名师点睛名师点睛】1.1.解以统计图表为背景的随机变量的分布列问题的两解以统计图表为背景的随机变量的分布列问题的两个关键点个关键点(1)(1)根据频率根据频率(数数)分布表、频率分布直分图、茎叶图等分布表、频率分布直分图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率图表准确求出随机事件的频率,并用之估计相应概率并用之估计相应概率.(2)(2)出现多个随机变量时出现多个随机变量时,应注意分析随机变量之间的应注意分析随机变量之间的关系关系,进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列量的分布列.2.2.解以复杂事件概率计算为背景的随机变量分布列问解以复杂事件概率计算为背景的随机变量分布列问题的两个关键点题的两个关键点(1)(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概然后综合应用各类概率公式求概率率公式求概率.(2)(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列的分布列.若随机变量服从特殊分布若随机变量服从特殊分布,则可直接使用公则可直接使用公式求解式求解.【考向精炼考向精炼】1.(20181.(2018乌鲁木齐三模乌鲁木齐三模)小明和他的一些同学住在同小明和他的一些同学住在同一小区一小区.他们上学、放学坐公交在路上所用的时间他们上学、放学坐公交在路上所用的时间X(X(分分钟钟)只与路况畅通情况有关只与路况畅通情况有关(上学、放学时的路况是一上学、放学时的路况是一样的样的),),小明在一年当中随机地记录了小明在一年当中随机地记录了200200次上学次上学(或放或放学学)在路上所用的时间在路上所用的时间,其频数统计如下表其频数统计如下表X(X(分钟分钟)1515202025253030频数频数(次次)5050505060604040(1)(1)求他上学求他上学(或放学或放学)在路上所用时间的数学期望在路上所用时间的数学期望E(X).E(X).(2)(2)小明和他的另外两名同学小明和他的另外两名同学4 4月月2323日彼此独立地从小日彼此独立地从小区到学校去区到学校去,设他们设他们3 3人中所用时间不超过人中所用时间不超过E(X)E(X)的人数的人数为为Y,Y,求求Y Y的分布列及数学期望的分布列及数学期望.(3)(3)小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过4040分分钟的概率是多少钟的概率是多少?【解析解析】(1)(1)将频率视作概率得到随机变量将频率视作概率得到随机变量X X的分布列的分布列如下如下:X X1515202025253030P P 则则E(X)=15 +20 +25 +30 =22.25.E(X)=15 +20 +25 +30 =22.25.(2)(2)小明以及同学每人所用时间不超过小明以及同学每人所用时间不超过E(X)=22.25E(X)=22.25的的概率为概率为 +=,+=,依题意依题意Y YB ,B ,因此因此Y Y的分布的分布列为列为:P(Y=k)=(k=0,1,2,3),:P(Y=k)=(k=0,1,2,3),Y Y0 01 12 23 3P P E(Y)=3 E(Y)=3 (3)(3)小明在一天中上学、放学所花的总时间不超过小明在一天中上学、放学所花的总时间不超过4040分分钟为事件钟为事件A,A,包括以下情况包括以下情况:上学、放学都是上学、放学都是1515分钟分钟;上上学、放学都是学、放学都是2020分钟分钟;上学上学1515分钟分钟,放学放学2020分钟分钟;上学上学2020分钟分钟,放学放学1515分钟分钟;上学上学1515分钟分钟,放学放学2525分钟分钟;上学上学2525分钟分钟,放学放学1515分钟分钟,共六种情况共六种情况,P(A)=,P(A)=2.(20182.(2018芜湖一模芜湖一模)某校高一某校高一200200名学生的期中考试语名学生的期中考试语文成绩服从正态分布文成绩服从正态分布N(70,7.5N(70,7.52 2),),数学成绩的频率分布数学成绩的频率分布直方图如下直方图如下:世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)计算这次考试的数学平均分计算这次考试的数学平均分,并比较语文和数学哪并比较语文和数学哪科的平均分较高科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的段是均匀分布的).).(2)(2)如果成绩大于如果成绩大于8585分的学生为优秀分的学生为优秀,这这200200名学生中本名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人?(3)(3)如果语文和数学两科都优秀的共有如果语文和数学两科都优秀的共有4 4人人,从从(2)(2)中的中的这些同学中随机抽取这些同学中随机抽取3 3人人,设三人中两科都优秀的有设三人中两科都优秀的有X X人人,求求X X的分布列和数学期望的分布列和数学期望.(附参考公式附参考公式:若若X XN(,N(,2 2),),则则P(-XP(-X+)0.68,P(-2X+2)0.96.)+)0.68,P(-2X+2)0.96.)【解析解析】(1)(1)数学成绩的平均分为数学成绩的平均分为(0.01245+0.02(0.01245+0.0255+0.02565+0.03575+0.00685+0.00295)55+0.02565+0.03575+0.00685+0.00295)10=65.9,10=65.9,根据语文成绩的正态分布知语文平均分为根据语文成绩的正态分布知语文平均分为7070分分,所以语所以语文平均分高些文平均分高些.(2)(2)语文成绩优秀的概率为语文成绩优秀的概率为p p1 1=P(X85)=(1-0.96)=P(X85)=(1-0.96)=0.02,=0.02,数学成绩优秀的概率为数学成绩优秀的概率为p p2 2=10=0.05,=10=0.05,语文成绩优秀人数为语文成绩优秀人数为2000.02=4(2000.02=4(人人),),数学成绩优秀数学成绩优秀人数为人数为2000.05=10(2000.05=10(人人).).(3)(3)语文数学两科都优秀的有语文数学两科都优秀的有4 4人人,单科优秀的有单科优秀的有6 6人人,X,X所有可能的取值为所有可能的取值为0,1,2,3,0,1,2,3,X X的分布列为的分布列为X X0 01 12 23 3P P 数学期望数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 =.E(X)=0 +1 +2 +3 =.【加练备选加练备选】1.(20161.(2016全国卷全国卷)某公司计划购买某公司计划购买2 2台机器台机器,该种机该种机器使用三年后即被淘汰器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件机器有一易损零件,在购进机在购进机器时器时,可以额外购买这种零件作为备件可以额外购买这种零件作为备件,每个每个200200元元.在在机器使用期间机器使用期间,如果备件不足再购买如果备件不足再购买,则每个则每个500500元元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此为此搜集并整理了搜集并整理了100100台这种机器在三年使用期内更换的易台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数损零件数,得如图柱状图得如图柱状图:以这以这100100台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替1 1台机器台机器更换的易损零件数发生的概率更换的易损零件数发生的概率,记记X X表示表示2 2台机器三年内台机器三年内共需更换的易损零件数共需更换的易损零件数,n,n表示购买表示购买2 2台机器的同时购买台机器的同时购买的易损零件数的易损零件数.(1)(1)求求X X的分布列的分布列.(2)(2)若要求若要求P(Xn)0.5,P(Xn)0.5,确定确定n n的最小值的最小值.(3)(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在在n=19n=19与与n=20n=20之中选其一之中选其一,应选用哪个应选用哪个?【解析解析】(1)(1)每台机器更换的易损零件数为每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11,8,9,10,11,记