计量经济学金玉国第四章.ppt

第四章第四章回归模型中的回归模型中的随机误差项问题随机误差项问题第一节第一节概述概述第二节第二节异方差异方差第三节第三节自相关自相关机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、古典假定一、古典假定假定假定1：随机项：随机项ui具有零均值：具有零均值：E(ui|xi)=0 i=1,2,n假定假定2：随机项：随机项ui具有同方差：具有同方差：Var(ui|xi)=u2i=1,2,n假定假定3：随机项：随机项ui无无序列相关性：序列相关性：Cov(ui,uj)=0ij i,j=1,2,n假定假定5：u服从正态分布服从正态分布ui N(0,u2)i=1,2,n第一节第一节概概述述12/28/202212/28/20222 2山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 有了以上这些假定，根据有了以上这些假定，根据高斯马尔可夫高斯马尔可夫（Gauss-Markov）定理）定理，我们知道古典回归模型的最，我们知道古典回归模型的最小二乘估计量（小二乘估计量（OLSE）是）是线性最优无偏估计量线性最优无偏估计量(BLUE)，而且服从正态分布。因此，就可以进行参数，而且服从正态分布。因此，就可以进行参数的区间估计，而且也可以检验真实总体回归系数的显的区间估计，而且也可以检验真实总体回归系数的显著性。著性。12/28/202212/28/20223 3山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、古典假定的违背及造成的后果二、古典假定的违背及造成的后果在实际经济问题中，上述的古典假定不一定都能在实际经济问题中，上述的古典假定不一定都能得到满足。如果这些假定不完全满足，则得到满足。如果这些假定不完全满足，则OLSE的的BLUE特性将不复存在。当然，每一个假定不满足所特性将不复存在。当然，每一个假定不满足所造成的后果是不同的。在本章中，我们将严格考察上造成的后果是不同的。在本章中，我们将严格考察上述假定，找出如果有一个或多个假定得不到满足时，述假定，找出如果有一个或多个假定得不到满足时，估计量的性质将会发生什么变化估计量的性质将会发生什么变化,并研究当出现这些并研究当出现这些情况时，应该如何处理，即古典模型假定违背的经济情况时，应该如何处理，即古典模型假定违背的经济计量问题。计量问题。12/28/202212/28/20224 4山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于假定关于假定1 1，一般地我们认为假定，一般地我们认为假定E(ui|xi)=0 是合理的。是合理的。因为随机项因为随机项u是多种因素的综合，而每种因素的影响都是多种因素的综合，而每种因素的影响都“均匀均匀”地微小，它对因变量的影响不是系统的，且正负影地微小，它对因变量的影响不是系统的，且正负影响相互抵消，故所有可能取值平均起来为零。即使有轻度响相互抵消，故所有可能取值平均起来为零。即使有轻度的违反，从实践的观点来看可能不会产生严重的后果，因的违反，从实践的观点来看可能不会产生严重的后果，因为它可能只影响回归方程的截距项为它可能只影响回归方程的截距项 。关于随机项正态性分布的假定，如果我们的目的仅仅关于随机项正态性分布的假定，如果我们的目的仅仅是估计，这种假定并不是绝对必要的。事实上，无论是否是估计，这种假定并不是绝对必要的。事实上，无论是否是正态分布，是正态分布，OLSE估计式都是估计式都是BLUE。剩下的四个假定将在下面的四节中分别加以讨论。剩下的四个假定将在下面的四节中分别加以讨论。12/28/202212/28/20225 5山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、广义最小二乘法（三、广义最小二乘法（GLS）给定线性回归模型给定线性回归模型Y=X +u (4.7)若古典假定完全满足，根据若古典假定完全满足，根据Gauss-Markov定理，其定理，其系数的最小二乘估计量系数的最小二乘估计量B(XX)1XY(4.8)具有具有BLUE性质。性质。若古典假定得不到完全满足，特别是假定若古典假定得不到完全满足，特别是假定2（同方（同方差性）和假定差性）和假定3（无序列相关性）得不到满足时，（无序列相关性）得不到满足时，对对OLSE的影响更大。的影响更大。12/28/202212/28/20226 6山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 使得其中的使得其中的 重新满足假定重新满足假定2(同方差性同方差性)和假定和假定3(无序列无序列相关性相关性)。这样就可以对上式使用。这样就可以对上式使用OLS估计参数，从而估计参数，从而使得上式的使得上式的OLSE仍然为仍然为BLUE。其中其中I，是一个是一个nn的正定对称方阵。的正定对称方阵。若因假定若因假定2和假定和假定3不满足时，有不满足时，有广义最小二乘法广义最小二乘法（GeneralLeastSquaresGLS）就是）就是为了解决上述问题提出的。其基本思路是：若假定为了解决上述问题提出的。其基本思路是：若假定2同同方差性）和假定方差性）和假定3（无序列相关性）得不到满足时，我（无序列相关性）得不到满足时，我们可以采取适当的变换，使原模型变为以下的形式：们可以采取适当的变换，使原模型变为以下的形式：12/28/202212/28/20227 7山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时可以觅得一个此时可以觅得一个nn的非奇异矩阵的非奇异矩阵P，使得：，使得：P P=I即即P P=-1然后用觅得的然后用觅得的P乘以乘以(4.7)的两边，有：的两边，有：PY=PX+Pu 记记(4.7)就就转换为转换为：由于：由于：(4.14)12/28/202212/28/20228 8山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以，所以，(4.14)满满足同方差性和无序列相关性，即可以采足同方差性和无序列相关性，即可以采用用OLS估估计计参数了。其参数的参数了。其参数的OLSE为为：GLSE的协方差矩阵为：的协方差矩阵为：上式中的上式中的 称为称为广义最小二乘估计量广义最小二乘估计量（GLSE），可以可以证明，它具有线性、无偏性和最小方差性，即它是最优证明，它具有线性、无偏性和最小方差性，即它是最优线性无偏估计量线性无偏估计量（BLUE）(4.16)12/28/202212/28/20229 9山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节异异方方差差一、异方一、异方差及其产生的原因差及其产生的原因则称则称随机误差项随机误差项u具有具有异方差性异方差性(Heteroscedasticity)。如果被解如果被解释变释变量量观测值观测值的分散程度是随解的分散程度是随解释变释变量的量的变变化而化而变变化的，如化的，如图图4.14.1所示，可以把异方差看成是由所示，可以把异方差看成是由于某个解于某个解释变释变量的量的变变化而引起的，化而引起的，则则当不能满足同方差的假设，即当不能满足同方差的假设，即u的条件方差在不同的条件方差在不同次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即12/28/202212/28/20221010山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 图图4.1异方差示意异方差示意图图 xyf(y)12/28/202212/28/20221111山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 异方差举例异方差举例例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为yi=0+1xi+uiyi：第：第i个家庭的储蓄额个家庭的储蓄额xi：第：第i个家庭的收入个家庭的收入高收入家庭：储蓄的差异较大高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 ui的方差呈现单调递增型变化的方差呈现单调递增型变化12/28/202212/28/20221212山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx图 4.2 收入-储蓄模型中的异方差 12/28/202212/28/20221313山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例:以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Q=A KL eu其中，其中，Q为产出量，为产出量，K为资本，为资本，L为劳动力，为劳动力，u为随机项。为随机项。u在在该该问问题题中中表表示示了了包包括括不不同同企企业业在在设设计计上上、生生产产工工艺艺上上的的区区别别，技技术术熟熟练练程程度度和和管管理理上上的的差差别别以以及及其其它它因因素素。这这些些因因素素在在小小企企业业之之间间差差别别不不大大，而而在在大大企企业业之之间间，这这些些因因素素都都相相差差甚甚远远，即即随随机机项项的的方方差差随随着着解解释释变变量量的的增增大而增大。大而增大。12/28/202212/28/20221414山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 异方差产生的原因异方差产生的原因1、模型中省略的解释变量、模型中省略的解释变量如果将某些未在模型中出现的重要影响因素归入随机误差如果将某些未在模型中出现的重要影响因素归入随机误差项，而且这些影响因素的变化具有差异性，则会对被解释项，而且这些影响因素的变化具有差异性，则会对被解释变量产生不同的影响，从而导致误差项的方差随之变化，变量产生不同的影响，从而导致误差项的方差随之变化，即产生异方差性。即产生异方差性。2、测量误差、测量误差一方面，解释变量取值越大测量误差会趋于增大；另一方一方面，解释变量取值越大测量误差会趋于增大；另一方面，测量误差可能随时间而变化。面，测量误差可能随时间而变化。3、截面数据中总体各单位的差异、截面数据中总体各单位的差异如前面家庭储蓄行为中高低收入家庭的差异。如前面家庭储蓄行为中高低收入家庭的差异。4.模型函数形式设定错误模型函数形式设定错误如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致异方差。异方差。12/28/202212/28/20221515山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：异方差问题多在于截面数据中而非时间序列数据中。异方差问题多在于截面数据中而非时间序列数据中。本教材只讨论横截面数据的异方差问题。本教材只讨论横截面数据的异方差问题。12/28/202212/28/20221616山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、异方差产生的后果二、异方差产生的后果最小二乘估计量仍然是线性无偏的，但不再具有最小最小二乘估计量仍然是线性无偏的，但不再具有最小方差性。方差性。参数的显著性检验和置信区间的建立发生困难。参数的显著性检验和置信区间的建立发生困难。虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但这些参数虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但这些参数方差的估计量、是有偏的。方差的估计量、是有偏的。预测的精确度降低。预测的精确度降低。12/28/202212/28/20221717山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、异方差的检验三、异方差的检验 由于由于异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式形式”。(一一)图示法图示法随机项随机项u的异方差与解释变量的变化有关。因此，的异方差与解释变量的变化有关。因此，可利用因变量可利用因变量y与解释变量与解释变量x的散点图或残差的散点图或残差e2i与与x的的散点图，对随机项散点图，对随机项u的异方差作近似的直观判断。的异方差作近似的直观判断。12/28/202212/28/20221818山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyxyxyxA A 同方差同方差B B 递增异方差递增异方差C C 递减异方差递减异方差D D 复杂异方差复杂异方差12/28/202212/28/20221919山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/28/202212/28/20222020山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（二）（二）Goldfeld-Quandt检验检验该方法该检验方法是该方法该检验方法是Goldfeld和和Quandt于于1965年提出年提出的，用于检验是否存在递增或递减异方差，要求观测的，用于检验是否存在递增或递减异方差，要求观测值为大样本。基本思想是将样本分为两部分，然后分值为大样本。基本思想是将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余平方和是否有明显差异，以此判断是否存在异方差。平方和是否有明显差异，以此判断是否存在异方差。原假设为：原假设为：H0：u同方差，即同方差，即21=2n备择假设为：备择假设为：H1：u是递增异是递增异(或递减或递减)方差，即方差，即2i随随xi递增递增(或递减或递减)(i=1,2,n)12/28/202212/28/20222121山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 G-QG-Q检验的步骤：检验的步骤：1.将将n对样本观察值对样本观察值(xi,yi)按观察值按观察值xi的大小排队。的大小排队。2.将序列中间的将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的观察值个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为样样本容量均为(n-c)/2。注意：注意：对于对于n30时时，c=n/4最合适。最合适。3.对每个子样分别进行对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残回归，并计算各自的残差平方和。分别用差平方和。分别用RSS1与与RSS2表示较小与较大的表示较小与较大的残差平方和，它们的自由度均为残差平方和，它们的自由度均为(n-c)/2k1，k为模型中自变量个数。为模型中自变量个数。4.选择统计量选择统计量12/28/202212/28/20222222山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果检验递增方差：如果检验递增方差：如果检验递增方差：如果检验递增方差：5.进行检验进行检验可以证明，在原假设下，可以证明，在原假设下，如果具有等方差性，两个方差估计量应该相差不大，如果具有等方差性，两个方差估计量应该相差不大，F值就应接近于值就应接近于1。如果存在异方差，那么。如果存在异方差，那么F值就应该比值就应该比1大出许多。在给定的显著性水平下，利用大出许多。在给定的显著性水平下，利用F分布的临界分布的临界值值F进行显著性检验。当进行显著性检验。当FF时，应拒绝时，应拒绝H0，认为存，认为存在异方差性，当在异方差性，当F不大于不大于F时，应接受时，应接受H0，认为存在同，认为存在同方差性。方差性。12/28/202212/28/20222323山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1根据随机抽取的根据随机抽取的21个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭纯货币收入的资料，按收入排序后的数据见下表。其中，纯货币收入的资料，按收入排序后的数据见下表。其中，x为为年内家庭纯货币收入（元），年内家庭纯货币收入（元），y为年底家庭储蓄余额（元）。为年底家庭储蓄余额（元）。家庭编号xy家庭编号xy1590.2107122827.7315892664.94123133084.1722093809.5159143462.7128784875.54189153932.5237225991.25233165150.79535061109.95312177153.35808071357.87401189076.851175881682.85221910448.211583991890.586642011575.4818196102098.258712112500.8420954112499.581033表4.1 家庭储蓄余额与纯货币收入数据表12/28/202212/28/20222424山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（三）（三）White检验检验White检检验验的的基基本本思思想想：如如果果存存在在异异方方差差，其其方方差差与与解解释释变变量量有有关关，可可以以分分析析方方差差是是否否与与解解释释变变量量有有某某些些形形式式的的联联系系以以判判断断异异方方差差性性。但但是是方方差差一一般般是是未未知知的的，可可用用OLS 法法估估计计的的残残差差平平方方作作为为其其估估计计量量。在在大大样样本本的的情情况况下下，做做对对常常数数项项，解解释释变变量量，解解释释变变量量的的平平方方及及其其交交叉叉乘乘积积等等所所构构成成的的辅辅助助回回归归，利利用用辅辅助助回回归归相相应应的的检检验验统统计计量量，即即可可判判断断是是否否存存在在异异方方差差性性。12/28/202212/28/20222525山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如，二元线性回归模型为例如，二元线性回归模型为 (4.21)异方差与解释变量异方差与解释变量x1、x2的一般线性关系为的一般线性关系为 （4.22）其中其中vi为随机误差。为随机误差。White检验的基本步骤如下：检验的基本步骤如下：1.运用运用OLS估计估计（4.21）。）。2.计算残差序列计算残差序列ei，并求，并求e2i。3.做做e2i对对x1i,x2i,x21i,x22i,x1i x2i,的辅助回归，即的辅助回归，即12/28/202212/28/20222626山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.计算统计量计算统计量nR2,n为样本容量，为样本容量，R2为辅助回归的样本决为辅助回归的样本决定系数。定系数。5.在原假在原假设设“误误差差项项同方差同方差”下，下，nR2服从自由度服从自由度为为5的的2分分布。给定显著性水平布。给定显著性水平，查查分布表得分布表得临临界界值值2(5)，如果，如果nR22(5)，则则拒拒绝绝原假原假设设，表明模型中随机，表明模型中随机误误差存在异差存在异方差（方差（EViews软软件中件中给给出出nR2对应对应的概率的概率(Probability)。若。若Probability，则则表明模型中随机表明模型中随机误误差存在异方差，差存在异方差，一一般取般取0.05）。）。White检检验验的的特特点点是是，不不仅仅能能够够检检验验异异方方差差的的存存在在性性，同同时时在在多多变变量量的的情情况况下下，还还能能判判断断出出是是由由哪哪一一个个变变量量引引起起的的异异方方差差，通通常常应应用用于于截截面面数数据据的的情情形形。此此方方法法不不需需要要异异方方差差的的先先验验信信息息，但但要要求求观观测测值值为为大大样样本本。12/28/202212/28/20222727山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（四）（四）Park检验检验Park将将2i看成是解释变量看成是解释变量xi的某个函数。他所建议的函的某个函数。他所建议的函数形式是：数形式是：或或 由于由于2i通常是未知的，通常是未知的，Park建议用建议用e2i作为替代变量并作作为替代变量并作如下回归：如下回归：如果如果在统计上是显著的，就表明存在异方差。如果它不在统计上是显著的，就表明存在异方差。如果它不显著，则可接受同方差假设。显著，则可接受同方差假设。Park检验不但可以用于检检验不但可以用于检验异方差，还可以找出异方差的数学形式。验异方差，还可以找出异方差的数学形式。12/28/202212/28/20222828山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（五）戈里瑟（五）戈里瑟(Gleiser)检验检验Glejeser检验的检验的基本思路基本思路是：在残差是：在残差|ei|关于解释变量关于解释变量的各种幂次影响关系中，确定出一个最显著的函数形式，的各种幂次影响关系中，确定出一个最显著的函数形式，它不仅可以说明异方差的存在，还确定了异方差的表现它不仅可以说明异方差的存在，还确定了异方差的表现形式。形式。具体步骤如下：具体步骤如下：1.利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差ei。2.对对|ei|关于关于xi的各种幂次关系进行回归，再利用最小二的各种幂次关系进行回归，再利用最小二乘法进行估计。例如可以取以下形式乘法进行估计。例如可以取以下形式12/28/202212/28/20222929山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 对各个回归方程进行统计检验，如果某种回归形式的拟对各个回归方程进行统计检验，如果某种回归形式的拟合优度高，系数的合优度高，系数的t 检验显著，就说明检验显著，就说明|ei|与与xi存在该种影存在该种影响关系，从而异方差存在。响关系，从而异方差存在。注意注意:Glejeser检验的计算工作量较大，一般是先通过其检验的计算工作量较大，一般是先通过其它检验方法确定了存在异方差之后，再用此方法确定异它检验方法确定了存在异方差之后，再用此方法确定异方差的形式。方差的形式。12/28/202212/28/20223030山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（六）（六）Spearman等级（秩）相关检验等级（秩）相关检验这是一种非参数检验。方法为：这是一种非参数检验。方法为：1.利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差利用最小二乘法对模型进行回归，计算残差ei及其及其绝对值绝对值|ei|；2.给出给出xj的每个的每个xji的位次和的位次和|ei|的位次；的位次；3.计算每个样本点计算每个样本点xji的位次和的位次和|ei|的位次之差的位次之差di4.计算计算Spearman等级（秩）相关系数：等级（秩）相关系数：12/28/202212/28/20223131山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.对对Spearman等级（秩）相关系数进行显著性检验。等级（秩）相关系数进行显著性检验。检验统计量为：检验统计量为：在原假设在原假设“总体的总体的Spearman等级（秩）相关系数为等级（秩）相关系数为0”下，上述统计量服从自由度为（下，上述统计量服从自由度为（n2）的）的t分布。上述分布。上述统计量服从自由度为（统计量服从自由度为（n2）的）的t分布。对应给定显著分布。对应给定显著性水平的临界值性水平的临界值t/2(n-2)，若，若tt/2(n-2)，则认为不存，则认为不存在异方差，若在异方差，若tt/2(n-2)，则认为存在异方差。，则认为存在异方差。12/28/202212/28/20223232山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、解决异方差问题的途径四、解决异方差问题的途径基本思路：基本思路：变换原模型，使经过变换后的模型具有同变换原模型，使经过变换后的模型具有同方差性，然后再用方差性，然后再用OLS法进行估计。常用方法是加权法进行估计。常用方法是加权最小二乘法（最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS），它是），它是广义最小二乘法（广义最小二乘法（GLS）的一个应用。）的一个应用。12/28/202212/28/20223333山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在同方差假定同方差假定下，下，OLS把每个残差平方都同等的看把每个残差平方都同等的看待，都待，都赋赋予相同的予相同的权权数数1。但是。但是,当存在当存在异方差异方差时时，方差，方差越小，其越小，其样样本本值值偏离均偏离均值值的程度越小，其的程度越小，其观测值观测值越越应应受受到重到重视视，即，即方差越小，在确定回方差越小，在确定回归线时归线时的作用越大的作用越大；反；反之之方差越大方差越大，其，其样样本本值值偏离均偏离均值值的程度越大，其的程度越大，其观测值观测值所起的作用所起的作用应应当越小当越小。也就是。也就是说说，在，在拟拟合存在异方差的合存在异方差的模型的回模型的回归线时归线时，对对具有不同方差的残差具有不同方差的残差应该应该区区别对别对待。待。从从样样本的角度，本的角度，对较对较小方差的残差小方差的残差给给予予较较大的大的权权数，数，对对较较大方差的残差大方差的残差给给予予较较小的小的权权数，从而使加数，从而使加权权的残差平的残差平方和比其方和比其简单简单平方和能更好地反映不同平方和能更好地反映不同样样本点数据本点数据对对残残差平方和的影响。差平方和的影响。（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法12/28/202212/28/20223434山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 通常将通常将权权数取数取为为：则则加加权权的残差平方和的残差平方和为为：根据最小二乘原理，使加权的残差平方和最小，即：根据最小二乘原理，使加权的残差平方和最小，即：解得：解得：其中：其中：这种求解参数估计这种求解参数估计式的方法为式的方法为加权最加权最小二乘法小二乘法，这样估，这样估计出的参数称为计出的参数称为加加权最小二乘估计量权最小二乘估计量（WLSE）。）。12/28/202212/28/20223535山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 实际应用中，由于随机项的方差未知，实际应用中，由于随机项的方差未知，WLS是无法使用是无法使用的，因此，一般采用以下等价的方法：的，因此，一般采用以下等价的方法：在一元模型中，由异方差的含义，条件方差可表示为解释在一元模型中，由异方差的含义，条件方差可表示为解释变量的函数，若这种函数可以估计出来，比如：变量的函数，若这种函数可以估计出来，比如：这时用这时用乘以乘以的两边，得：的两边，得：记：记：则：则：这说明转换后的模型具有了同方差性，可以使用这说明转换后的模型具有了同方差性，可以使用 OLS进行估进行估计了。计了。12/28/202212/28/20223636山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 在多元模型中，若方差与在多元模型中，若方差与m个解释变量有关，则可设：个解释变量有关，则可设：用用去乘以原模型两端得：去乘以原模型两端得：类似一元模型的情况，可以说明转换后的模型具有了同类似一元模型的情况，可以说明转换后的模型具有了同方差性，可以使用方差性，可以使用 OLS进行估计了。进行估计了。可见，这种方法的思路实际上就是当确定了异方差的具可见，这种方法的思路实际上就是当确定了异方差的具体的形式时，将原模型加以适当的体的形式时，将原模型加以适当的“变换变换”，使得，使得“变变换换”后的模型消除或减轻异方差的影响。后的模型消除或减轻异方差的影响。12/28/202212/28/20223737山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 再以一元模型为例进行分析再以一元模型为例进行分析:假定假定1:此时用此时用xi的倒数去乘以原模型的两边得：的倒数去乘以原模型的两边得：此时此时:这样转换后的模型具有同方差性这样转换后的模型具有同方差性。(其中其中,)对转换后的模型应用对转换后的模型应用OLS，即可求得，即可求得：于是，得到原模型的样本回归方程为：于是，得到原模型的样本回归方程为：12/28/202212/28/20223838山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 假定假定2此时用此时用的倒数去乘以原模型的两边的倒数去乘以原模型的两边,可得可得对转换后的模型应用对转换后的模型应用OLS得：得：其中：其中：进一步还原可得到原模型的样本回归方程。进一步还原可得到原模型的样本回归方程。12/28/202212/28/20223939山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（二）模型的对数变换（二）模型的对数变换在经济意义成立的情况下，如果对线性模型作对在经济意义成立的情况下，如果对线性模型作对数变换，其变量均用对数代替，通常可以降低异方差数变换，其变量均用对数代替，通常可以降低异方差性的影响。性的影响。原因：原因：1.运用对数变换能使测定变量值的尺度缩小。如取运用对数变换能使测定变量值的尺度缩小。如取自然对数，它可以将两个数值之间原来自然对数，它可以将两个数值之间原来10倍的差倍的差异缩小到只有异缩小到只有2倍多的差异。倍多的差异。2.经过自然对数变换后的模型，其残差表示相对误经过自然对数变换后的模型，其残差表示相对误差，而相对误差往往比绝对误差有较小的差异。差，而相对误差往往比绝对误差有较小的差异。12/28/202212/28/20224040山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：1.对变量取对数虽然能够减少异方差对模型的影响，对变量取对数虽然能够减少异方差对模型的影响，但应注意取对数后变量的经济意义。但应注意取对数后变量的经济意义。2.如果变量之间在经济意义上并非呈对数线性关系，如果变量之间在经济意义上并非呈对数线性关系，则不能简单地对变量取对数，这时只能用其他的方则不能简单地对变量取对数，这时只能用其他的方法对异方差进行修正。法对异方差进行修正。3.如果异方差是由省略的解释变量而造成的，进行模如果异方差是由省略的解释变量而造成的，进行模型转换虽然可以消除异方差，但参数估计值仍然可型转换虽然可以消除异方差，但参数估计值仍然可能不准确，此时最好的解决方法是找出被省略的解能不准确，此时最好的解决方法是找出被省略的解释变量，并加入到模型中去。释变量，并加入到模型中去。12/28/202212/28/20224141山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束（三）在（三）在OLS下，使用异方差性一致估计量下，使用异方差性一致估计量存在异方差时，参数的存在异方差时，参数的OLSE仍是仍是无偏和一致无偏和一致估计量估计量，应该说还是具有良好性质的估计量。但异，应该说还是具有良好性质的估计量。但异方差性造成方差性造成系数的置信区间和假设检验结果不可信系数的置信区间和假设检验结果不可信赖赖，造成方差的，造成方差的OLSE有偏有偏。White设计了异方差性设计了异方差性一致估计量指标一致估计量指标，解决了异方差条件下回归系数方，解决了异方差条件下回归系数方差的估计问题。这种估计量的性质不是差的估计问题。这种估计量的性质不是“最好最好”，但它们对于同方差性的违背不敏感，被称为方差的但它们对于同方差性的违背不敏感，被称为方差的稳健估计量（稳健估计量（RobustEstimators）。下面我们用一元线性回归模型对下面我们用一元线性回归模型对White方法作方法作一说明。一说明。12/28/202212/28/20224242山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 OLS估计的斜率系数的方差公式是：估计的斜率系数的方差公式是：如果如果满满足同方差假定，足同方差假定，则则存在一个常数方差存在一个常数方差，将其，将其代入代入(4.34)，有：，有：(4.34)但在异方差条件下，不存在这样的常数方差，但在异方差条件下，不存在这样的常数方差，White的的方法是在方法是在(4.34)式中用式中用取代取代(这里这里是第是第i个个OLS残残差），得到异方差性一致标准误差：差），得到异方差性一致标准误差：12/28/202212/28/20224343山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：不能用不能用得到得到的一致估计量，的一致估计量，White得到的是得到的是的一致估计量，它是的一致估计量，它是的加权平均。的加权平均。同样的分析适用于多元回归同样的分析适用于多元回归OLSE的情况，用的情况，用White方法得到的第方法得到的第j个个OLS回归系数方差的异方差性一致估计回归系数方差的异方差性一致估计值由下式给出：值由下式给出：其中其中是从是从xj对方程中所有其它解释变量对方程中所有其它解释变量OLS回归得到回归得到的残差，的残差，ei为原多元回归模型的第为原多元回归模型的第i个个OLS残差。残差。12/28/202212/28/20224444山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 通过使用诸方差的通过使用诸方差的White异方差性一致估计值代替异方差性一致估计值代替其其OLS估计值，我们解决了异方差性造成系数的置信区估计值，我们解决了异方差性造成系数的置信区间和假设检验结果不可信赖的问题。与本节前面介绍的间和假设检验结果不可信赖的问题。与本节前面介绍的WLS法相比，这种的解决异方差性的方法的法相比，这种的解决异方差性的方法的优越之处优越之处在于在于，不需要知道异方差性的具体形式不需要知道异方差性的具体形式。因此，在异方。因此，在异方差性的基本结构未知的情况下，建议仍采用差性的基本结构未知的情况下，建议仍采用OLS法估计法估计系数，而采用方差的稳健估计量，系数，而采用方差的稳健估计量，White的异方差性一的异方差性一致估计量就是一种很好的选择。致估计量就是一种很好的选择。12/28/202212/28/20224545山东财经大学统计学院计量经济教研室山东财经大学统计学院计量经济教研室机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.3表表4.5列出了列出了2003年我国各地区的年我