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第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 （Momentum and Angular MomentumMomentum and Angular Momentum）3.1 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理3.2 3.2 质点系动量定理质点系动量定理 3.3 3.3 动量守恒定律动量守恒定律 3.4 3.4 变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理3.5 3.5 质心质心3.6 3.6 质心运动定理质心运动定理3.7 3.7 质点的角动量质点的角动量3.83.8角动量守恒定律角动量守恒定律前言前言我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，在有些问题中，如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射3.1 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理定义：定义：力的力的冲量冲量（impulseimpulse）质点的质点的动量动量（momentummomentum）质点动质点动量定理：量定理：（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）平均冲力平均冲力 例例11已已知知：一一篮篮球球质质量量m m=0.58kg0.58kg，求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率从从h h=2.0m=2.0m的高度下落，的高度下落，到达地面后，到达地面后，接触地面时间接触地面时间 t t=0.019s=0.019s。FFto t速率反弹，速率反弹，以同样以同样例例2：质量为：质量为m的质点做圆锥摆运动，质点的速的质点做圆锥摆运动，质点的速率为率为v，圆半径为，圆半径为R。圆锥母线与轴线之间的夹。圆锥母线与轴线之间的夹角为角为 ，计算质点所受的拉力在一周内的冲量。，计算质点所受的拉力在一周内的冲量。演示演示逆风行舟逆风行舟帆帆 1 2 1 2 风风 F风对帆风对帆 F横横 F进进 F横横 F阻阻龙骨龙骨F帆对风帆对风 3.2 3.2 质点系动量定理质点系动量定理theorem of theorem of mometummometum of particle system of particle systemFipi fj i fi j为质点为质点 i i 受的受的合外力，合外力，i j质点系质点系 为质点为质点i i 受质点受质点j j 的的内力，内力，为质点为质点 i i 的动量。的动量。对质点对质点i i ：对质点系：对质点系：由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有：所以有：所以有：令令则有：则有：或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）质质点点系系动动量量定定理（积分形式）理（积分形式）用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内力。例例3 3：一辆装煤车以：一辆装煤车以v=3m/sv=3m/s的速率从煤斗下面通的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为过，每秒钟落入车厢的煤为 m=500Kgm=500Kg。如果。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（忽略车厢与钢轨之间的摩擦。）车厢？（忽略车厢与钢轨之间的摩擦。）Fmdmv思考题：思考题：一重球的上下两面系同样的两根线，今用一重球的上下两面系同样的两根线，今用其中一根线将球吊起，而用手向下拉另一其中一根线将球吊起，而用手向下拉另一根线，如果猛向下一顿，则下面的线断而根线，如果猛向下一顿，则下面的线断而球不动。如果用力慢慢拉线，则上面的线球不动。如果用力慢慢拉线，则上面的线断开，为什么？断开，为什么？一个人躺在地上，身上压一块重石板，一个人躺在地上，身上压一块重石板，另一人用重锤猛击石板，但见石板碎裂，另一人用重锤猛击石板，但见石板碎裂，而人无损伤，为什么？而人无损伤，为什么？3.3 3.3 动量守恒定律动量守恒定律这就是这就是质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。即即几点说明：几点说明：1.1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系所受合外力为零时，质点系的总动量质点系的总动量不随时间改变。不随时间改变。（law of conservation of momentumlaw of conservation of momentum）4 4、若某个方向上合外力为零，、若某个方向上合外力为零，5 5、当外力、当外力内力内力6 6、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。尽管总动量可能并不守恒。量守恒，量守恒，且作用时间极短时且作用时间极短时（如碰撞），（如碰撞），可认为动量近似守恒。可认为动量近似守恒。的定律，的定律，它在宏观和微观领域均适用。它在宏观和微观领域均适用。7 7、用守恒定律作题，应注意分析、用守恒定律作题，应注意分析过程、系统和过程、系统和 条件。条件。切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。3 3、动量若在某一惯性系中守恒，、动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一则在其它一xyVmvxMR例例4 4：一个有：一个有1/41/4圆弧滑槽的大物体的质量为圆弧滑槽的大物体的质量为M M，停在光滑的水平面上，另一质量为停在光滑的水平面上，另一质量为m m的小物体自的小物体自圆弧顶端由静止下滑。求当小物体圆弧顶端由静止下滑。求当小物体m m滑到底时，滑到底时，大物体大物体M M在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。3.43.4变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理 “神州神州”号飞船升空号飞船升空 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）还还有有另另一一类类变变质质量量问问题题是是在在高高速速（v v c c）情情况况下下，这这时时即即使使没没有有粘粘附附和和抛抛射射，质质量量也也可可以以改改变变 随随速速度度变变化化 m m =m m(v v)，这这是是相相对论情形，不在本节讨论之列。对论情形，不在本节讨论之列。两类变质量问题（低速，两类变质量问题（低速，v v c c）：）：下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速u u喷出喷出初态：初态：系统质量系统质量 M M，速度，速度v v(对地对地)，动量，动量M vM v一、一、火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）1 1、火箭的速度、火箭的速度系统：系统：火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i i(点火点火)f f(燃料烧尽燃料烧尽)先分析先分析微过程：微过程：t t t t+d dt t末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：d dm m=-=-d dM M，喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)：v v-u uvu火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的质量：尚存燃料的质量：M M-d-dm m系统动量：系统动量：(M M-d dm m)()(v v +d dv v)+)+d dm m(v v -u u)火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v v +d dv v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M+dM)(v+d v)经整理得：经整理得：Mdv =-udM速度公式：速度公式：引入引入火箭质量比：火箭质量比：得得讨论：讨论：提高提高 v vf f 的途径的途径 (1)(1)提高提高 u u（现可达（现可达 u u=4.1 km/s=4.1 km/s）(2)(2)增大增大 N N（受一定限制）（受一定限制）为提高为提高N N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N3 资料：资料：长征三号（三级大型运载火箭）长征三号（三级大型运载火箭）全长：全长：43.25m43.25m，最大直径：最大直径：3.35m3.35m，起飞质量：起飞质量：202202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280280吨力。吨力。t+dt时刻：时刻：速度速度 v-u，动量动量dm(v-u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 d dm mt t 时刻：时刻：速度速度v v(和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为rc3.5 3.5 质心质心（center of masscenter of mass）一、质心的概念和质心位置的确定一、质心的概念和质心位置的确定Cmizri yx0定义定义质心质心C C 的位矢为：的位矢为：（）质心位置是质心位置是质点位置质点位置以质量为以质量为权重权重的平均值。的平均值。二、几种系统的质心二、几种系统的质心 两质点系统两质点系统m2m1r1r2C m1 r1=m2 r2 连续体连续体rrcdmC0m zx yR“小小”线度物体的质心和重心是重合的。线度物体的质心和重心是重合的。例例66如图示，如图示，CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘求求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心由对称性分析，质心C C应在应在x x轴上。轴上。解：解：令令 为圆盘的面密度，为圆盘的面密度，则质心坐标为：则质心坐标为：挖空挖空 均匀杆、圆盘圆环、球，质心为其几何中心。均匀杆、圆盘圆环、球，质心为其几何中心。例例7 7：一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为：一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R R，求此半圆形铁丝的质心。求此半圆形铁丝的质心。xydl R 3.63.6质心运动定理质心运动定理（theorem theorem of of motion motion of of center center of of massmass）一、质心运动定理一、质心运动定理rcCvcmizri yx0vi总动量总动量 由由质心运动定理质心运动定理有有拉力拉力纸纸C球往哪边移动球往哪边移动？（如抛掷的物体、（如抛掷的物体、跳水的运动员、跳水的运动员、爆炸的焰火等，爆炸的焰火等，其质心的运动都其质心的运动都是抛物线）。是抛物线）。系统系统内力内力不会不会影响质心的运动影响质心的运动 LmO pr 3.7 3.7 质点的角动量质点的角动量（angular momentum of a particleangular momentum of a particle）一、质点的角动量一、质点的角动量 质点质点m对固定点对固定点 O的的单单位位：kg m2/s 或或 J sLRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，角动量角动量定义为：定义为：角动量的大小为角动量的大小为 L=mvR方向不变。方向不变。二、质点的角动量定理，力矩二、质点的角动量定理，力矩由由有：有：定义力定义力对定点对定点 O O 的的力矩力矩 (moment of force)(moment of force)为：为：FM rOm 称称力臂力臂r0于是有于是有质点角动量定理质点角动量定理或或积分积分质点角动量定理质点角动量定理称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用。力矩对时间的积累作用。（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）力矩的量纲是力矩的量纲是ML2T-2，单位是单位是N.m质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 3.8 3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 （law of conservation of angular momentum）OmvFL（中心力）（中心力）r（1）mv r sin =const.，（2）轨道在同一平面内。）轨道在同一平面内。例：一个质点运动时，如果不受外力作用，则例：一个质点运动时，如果不受外力作用，则它对于任一固定点的角动量矢量保持不变。它对于任一固定点的角动量矢量保持不变。例例：行星对太阳的径矢在相等时间内扫过相等：行星对太阳的径矢在相等时间内扫过相等的面积。的面积。OL rmv 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系,而而且在高速低速范围均适用。且在高速低速范围均适用。HomeworkHomework习题：习题：3.11 3.26 第三章结束第三章结束 1 1、质心系、质心系质心系质心系是固结在质心上的是固结在质心上的平动平动参考系。参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 二、质心（参考）系二、质心（参考）系（frame of center of massframe of center of mass）2 2、质心系的基本特征、质心系的基本特征质心系是零动量参考系。质心系是零动量参考系。m1v10 m1v1 m2v20 m2v2 质心系中看质心系中看两粒子碰撞两粒子碰撞等值、反向等值、反向的动量。的动量。两质点系统在其两质点系统在其质心系中，质心系中，总是具有总是具有例例：一质量：一质量m1=50Kg的人站在一条质量的人站在一条质量m2=200Kg，长度，长度l=4m的船的船头上。开始的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船的移动。时船静止，试求当人走到船尾时船的移动。（不计水的阻力）（不计水的阻力）ox1x2xy例：质量分别为例：质量分别为m m1 1和和m m2 2，速度分别为，速度分别为v v1 1和和v v2 2的质点的质点碰撞后合为一体，求碰撞后两者的共同速度。碰撞后合为一体，求碰撞后两者的共同速度。在质点系中观察两者的速度分别是？在质点系中观察两者的速度分别是？