动态电路的瞬态分析.ppt

第五章第五章 动态电路的瞬态分析动态电路的瞬态分析5.1 电容元件与电感元件电容元件与电感元件5.2 换路定理与初始值的计算换路定理与初始值的计算5.3 直流一阶电路的时域经典求解法直流一阶电路的时域经典求解法5.4 直流一阶电路的三要素法直流一阶电路的三要素法5.5 阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应5.6 正弦信号作用下的一阶电路正弦信号作用下的一阶电路5.7 RC微分电路和积分电路微分电路和积分电路5.8 二阶电路时域经典分析法二阶电路时域经典分析法5.1 电容元件与电感元件电容元件与电感元件一、一、电容元件电容元件(capacitor)电路符号电路符号C+qq电容器电容器即时性元件即时性元件与与动态元件动态元件按介质材料分为：按介质材料分为：云母电容、瓷云母电容、瓷介介电容、纸介电容、有机薄膜电容、电解电容电容、纸介电容、有机薄膜电容、电解电容1.电容及其伏安关系特性：电容及其伏安关系特性：C 称为电容器的电容称为电容器的电容单位：单位：F(法法)(Farad，法，法拉拉)F=C/V常用常用 F，nF，pF等表示。等表示。Cicuc+q电容积累的电荷量：电容积累的电荷量：q=CucqqucOC=q/u tg 线性电容的线性电容的VAR：(设设uc，ic 取关联参考方向取关联参考方向)Cicuc+即：即：qucO线性电容线性电容quc 特性特性非线性电容非线性电容quc 特性特性说明：说明：(1)ic的大小取决与的大小取决与 uc 的变化率，与的变化率，与 uc 的大小无关；的大小无关；(微分形式微分形式)(3)若若uc，ic非关联取向，则非关联取向，则 ic=Cduc/dt 。(2)电容元件是动态元件。电容元件是动态元件。特例：如右图特例：如右图Cuc+Euc=E(直流）直流）ic=0电容元件具有电容元件具有隔直流通交流隔直流通交流的特点。的特点。直流电路中电容相当于开路。直流电路中电容相当于开路。ic=0电容充放电形成电流：电容充放电形成电流：(1)uc0，duc/dt0，则，则ic0，q ，正向充电正向充电(电流流向正极板电流流向正极板)；(2)uc0，duc/dt0，则，则ic0，q ，正向放电正向放电(电流由正极板流出电流由正极板流出)；(3)uc0，duc/dt0，则，则ic0，q，反向充反向充电电(电流流向负极板电流流向负极板)；(4)uc0，则，则ic0，q ，反向放电反向放电(电流由负极板流出电流由负极板流出)；Cicuc+例：例：如图如图(a)电路，电路，u(t)波形如图波形如图(b)，求电流求电流ic的波形。的波形。Cu(t)+2Fic(a)(b)u(t)Vt(s)012340.5-0.5(b)u(t)Vt(s)012340.5-0.5(c)i(t)At(s)012341-1解：解：2.电容的记忆性：电容的记忆性：微分形式微分形式VAR积分形式积分形式VAR其中：其中：u+-icC(a)具有初始电压的电容具有初始电压的电容Cuc(0)+-+-u+-(b)相应的等效电路相应的等效电路例：例：如图如图(a)电路，电路，uc(0)=-1V，C=0.5F，is(t)波形如图波形如图(b)，t=0时时电流源开始对电容充电，求电容电压电流源开始对电容充电，求电容电压uc(t)t 波形。波形。ic0.5Fuc(t)+-is(t)(a)is(t)(A)t(s)00.5-1123(b)uc(t)(V)t(s)123-1-2(c)(4)t3s时：时：uc(t)=-2V3.电容的惯性（电容电压的连续性）电容的惯性（电容电压的连续性）如前例，当充电电流如前例，当充电电流ic(t)为为有限大（非无穷大）时，有限大（非无穷大）时，尽管尽管ic(t)在在某些时刻不连续，但某些时刻不连续，但uc(t)却连续。即电容电压却连续。即电容电压不能突变，称为电容的不能突变，称为电容的惯性惯性。t=0，0-，0+的意义的意义0t0-0+即：即：uc(0+)=uc(0-)可推广到：可推广到：uc(t0+)=uc(t0-)4.电容的储能电容的储能 故电容是非耗能元件，它本身不消耗能量，起故电容是非耗能元件，它本身不消耗能量，起存储、转化电场能的作用。存储、转化电场能的作用。0，表吸收功率，转化，表吸收功率，转化为电场能储存为电场能储存0，表释放所存储的电场能，表释放所存储的电场能电容储能：电容储能：即：即：从从t0到到 t 电容储能的变化量：电容储能的变化量：可见电容储能只与该时刻电压有关，而与可见电容储能只与该时刻电压有关，而与ic 无关。无关。故电容电压故电容电压uc(t)表征电容储能状态的物理表征电容储能状态的物理量量 称为电容的称为电容的状态变量状态变量。二、二、电感元件电感元件(inductor)线性电感元件：线性电感元件：电感元件的磁链电感元件的磁链 与电流与电流 iL成成正比。正比。（如：空心线圈）（如：空心线圈）1.电感元件电感元件 及其及其VAR iLN匝匝 如如右图右图电感线圈，当线圈中通电感线圈，当线圈中通以电流以电流iL时，建立起磁通时，建立起磁通。定义：定义：=N 磁链，单位：韦伯（磁链，单位：韦伯（Wb)定义：定义：L=/iL 线圈的电感，单位：亨利线圈的电感，单位：亨利（H)电感的大小由线圈的匝数、几何形状、尺寸及其电感的大小由线圈的匝数、几何形状、尺寸及其芯材料的磁导率等因素决定。芯材料的磁导率等因素决定。非线性电感元件：电感元件的磁链非线性电感元件：电感元件的磁链 与电流与电流 iL不不成正比。成正比。（如：铁芯线圈）（如：铁芯线圈）uL+iLN匝匝 iLOL=/iL tg iLO线性电感线性电感 iL 特性特性非线性电感非线性电感 iL 特性特性 当当iL变化时，变化时，、相应变化，由焦耳相应变化，由焦耳楞次定楞次定律，必产生感生电压律，必产生感生电压uL，试图抑制试图抑制 的变化。的变化。电路符号电路符号LiLuL+对于线性电感，设对于线性电感，设uL,i L取关联参考方向取关联参考方向:LiLuL+或或自感电压：自感电压：注注：(1)uL的大小取决与的大小取决与 i L的变化率，与的变化率，与 i L的大小无关。的大小无关。(2)电感元件是动态元件。电感元件是动态元件。当当 i L为常数为常数(直流直流)时，时，diL/dt=0 uL=0。电感在直流电路中相当于短路线电感在直流电路中相当于短路线。(3)uL，iL为非关联方向时，为非关联方向时，uL=LdiL/dt 。2.电感元件是一种记忆元件。电感元件是一种记忆元件。其中：其中：称为电感的称为电感的初始电流初始电流LiLuL+LiLuL+iL(0)(b)相应的等效电路相应的等效电路(a)具有初始电流的电具有初始电流的电感感3.电感的惯性电感的惯性（电感电流的连续性电感电流的连续性）iL(0+)=iL(0-)即：电感的电流不能突变。即：电感的电流不能突变。4.电感的储能电感的储能功率：功率：0,表吸收功率表吸收功率,转化为磁场转化为磁场能储存起来。能储存起来。0,表产生功率表产生功率,即释放所储即释放所储存的磁场能。存的磁场能。注注：电感是非耗能元件，它本身不消耗能量，而是起存储转换磁场能电感是非耗能元件，它本身不消耗能量，而是起存储转换磁场能 的作用。的作用。电感的储能只与其电流电感的储能只与其电流iL有关，与其电压无关。有关，与其电压无关。故电感电流故电感电流iL(t)是表征电感储能状态的物理量，称为电感的是表征电感储能状态的物理量，称为电感的状态变量状态变量。从从t0 到到t 电感储能的变化量：电感储能的变化量：某某时刻时刻t 电感的储能：电感的储能：即：即：电容元件与电感元件的比较：电容元件与电感元件的比较：电容电容 C电感电感 L变量变量电流电流 i磁链磁链 关系式关系式电压电压 u 电荷电荷 q 结论结论：(1)元件方程是同一类型；元件方程是同一类型；(2)若若把把 u-i，q-，C-L，i-u互互换换,可可由由电电容容元元件件的方程得到电感元件的方程；的方程得到电感元件的方程；(3)C 和和 L称为对偶元件称为对偶元件,、q等称为对偶物理量。等称为对偶物理量。*显然，显然，R、G也是一对对偶元素也是一对对偶元素:I=U/R U=I/GU=RI I=GU对偶原理对偶原理(Dual Principle)1.对偶电路：对偶电路：例例1.网孔电流方程：网孔电流方程：(R1+R2)il=us节点电压方程：节点电压方程：(G1+G2)un=is若若R1=G1，R2=G2，us=is，则两方程完全相同，解答则两方程完全相同，解答il=un也相同。也相同。R2+usilR1G1G2unis2.对偶元素对偶元素：节点节点网孔网孔节点电压节点电压网孔电流网孔电流KCLKVLLCRGisus串联串联并联并联CCVSVCCS3.对偶原理对偶原理：（或陈述）（或陈述）S成立，则将成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶中所有元素，分别以其对应的对偶两个对偶电路两个对偶电路N，N，如果对电路如果对电路N有命题有命题元素替换，所得命题（或陈述）元素替换，所得命题（或陈述）S对电路对电路N成立。成立。5.2 换路定理与初始值的计算换路定理与初始值的计算换路换路信号突然接入或改变信号突然接入或改变电路的通断电路的通断电路参数的改变电路参数的改变电路换路后必然引起过渡过程。电路换路后必然引起过渡过程。过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。ERCucicK稳态稳态稳态稳态过渡过程过渡过程EE/Rtt1icuc过渡过程（瞬态过程）过渡过程（瞬态过程）1.换路及过渡过程的产生换路及过渡过程的产生持续时间一般很短（持续时间一般很短（sms)其间电压电流与稳态时变化规律不同，常出现高电其间电压电流与稳态时变化规律不同，常出现高电压、大电流（可能损坏设备）。如：高压开关断闸产压、大电流（可能损坏设备）。如：高压开关断闸产生火花。生火花。瞬态过程的分析方法瞬态过程的分析方法经典法经典法：由：由VAR、KVL、KCL建建 微分方程并求解。微分方程并求解。变换域分析法变换域分析法：如拉普拉斯变换：如拉普拉斯变换 （复频域分析法）（复频域分析法）过渡过程（瞬态过程）的特点：过渡过程（瞬态过程）的特点：电阻电阻：纯耗能元件，无过渡过程。：纯耗能元件，无过渡过程。（即时性元件）（即时性元件）电感与电容电感与电容：储能元件，有过渡过程。：储能元件，有过渡过程。（动态元件）（动态元件）2.换路定理换路定理电路的状态量电路的状态量（储能状态）：电容电压和电感电流（储能状态）：电容电压和电感电流通常设电路换路发生在通常设电路换路发生在t=0时刻，则：时刻，则：原始状态（原始状态（t=0-时的状态）时的状态）初始状态（初始状态（t=0+时的状态）时的状态）*零状态电容（零状态电容（uc=0)与零状态电感（与零状态电感（iL=0)换路定理换路定理:在电容支路电流在电容支路电流ic为为有限值的情况下，换路瞬间，有限值的情况下，换路瞬间，电容端电压电容端电压uc保持不变。保持不变。在电感支路电压在电感支路电压uL为为有限值的情况下，换路瞬间，有限值的情况下，换路瞬间，电感中电流电感中电流iL保持不变。保持不变。数学形式：数学形式：uc(0+)=uc(0-)iL(0+)=iL(0-)实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能 不能突变。即电路的储能状态不能突变。不能突变。即电路的储能状态不能突变。3.初始值的计算初始值的计算解：解：t0时，电路处于稳态时，电路处于稳态 iL(0-)=0 A t=0+时，由换路定理时，由换路定理 iL(0+)=iL(0-)=0 A 作作t=0+时刻等效图（图时刻等效图（图b)uL(0+)=Us-RiL(0+)=6-20=6V-+iL(0+)2 uL(0+)+-6VUs(b)0+等效等效图图RK-+iL(t)2 L=3HuL(t)+-6VUs(a)K t=时（图时（图c），），电路重新达到稳态，电路重新达到稳态，L相当于短路线。相当于短路线。iL()=6/2=3AuL()=0 电感电流电感电流 iL不能突变，即不能突变，即iL(0+)=iL(0-)，但但电感电压电感电压uL可能突变。本例中可能突变。本例中 uL(0+)不等于不等于uL(0-)同理，同理，电容电压电容电压 uc不能突变，即不能突变，即uc(0+)=uc(0-)，但电容电流但电容电流ic可能突变。可能突变。注：注：-+iL()2 uL()+-6VUs(c)t=时等效图时等效图RLK例例:如图如图(a)，电路原处于稳态，电路原处于稳态，K于于t=0时刻闭合，时刻闭合，求初求初 始值始值ic(0+)、uL(0+)及及i(0+)。求求 ic()、uL()及及 i()。-+12VUsR1R2R3K2 4 5 uc+-icuL+-iLi(a)解解：求原始状态求原始状态uc(0-)及及 iL(0-)t0时（直流稳态），故：时（直流稳态），故：电容视为开路电容视为开路，电感视为短电感视为短路。路。即：即：ic(0-)=0 uL(0-)=0 故：故：iL(0-)=Us/（R2+R3)=12/（4+2）=2A uc(0-)=R2iL(0-)=42=8V由由换路定理有：换路定理有：iL(0+)=iL(0-)=2A uc(0+)=uc(0-)=8V 作作0+等效图（图等效图（图b）-+12VUsR1R2R3K2 4 5 uc+-icuL+-iLi(a)ic(0+)uL(0+)+-i(0+)-+-+12VUsR1R24 5 uc(0+)iL(0+)=2A(b)0+等效图等效图8V在在0+等效图中等效图中:电容元件用电容元件用uc(0+)电压源代替电压源代替电感元件用电感元件用iL(0+)电流源代替电流源代替激励源取激励源取t=0+时时Us(0+)由由0+等效图有：等效图有：-+12VUsR1R2R3K2 4 5 uc+-icuL+-iLi(a)+-+12VUsR1R24 5(c)t=等效图等效图uL()i()ic()故故 ic()=0 uL()=0 i()=12/4=3At=时作等效图时作等效图c 此时电路重新达到直流稳态此时电路重新达到直流稳态 电容视为开路，电感视为短路。电容视为开路，电感视为短路。例：如图例：如图(a)零状态电路，零状态电路，K于于t=0时刻闭合，作时刻闭合，作0+图图 并求并求ic(0+)和和uL(0+)。UsKCR1R2L(a)uL+-icUsKCR1R2L(b)0+图图uL(0+)+-ic(0+)t0时，零状态时，零状态 uc(0-)=0 iL(0-)=0解解:由由换路定理有：换路定理有：uc(0+)=uc(0-)=0 iL(0+)=iL(0-)=0作作0+图：图：零状态电容零状态电容零值电压源零值电压源 短路线短路线 零状态电感零状态电感零值电流源零值电流源 开路开路 由由0+图有：图有：ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us注：注：ic与与 uL在在t=0时刻有突变。时刻有突变。5Ais10 5 5 C1C2i(t)i1(t)i2(t)Kuc1+-uc2+-+-5Ais10 5 5 i(0+)i1(0+)i2(0+)50Va0+等效图等效图练习练习：如图电路原处于稳态，如图电路原处于稳态，uc2(0-)=0，t=0时刻时刻K闭合，闭合，作作0+图并求图并求i(0+)、i1(0+)及及i2(0+)。解：解：(1)uc1(0-)=510=50V uc2(0-)=0(2)由换路定理：由换路定理：uc1(0+)=uc1(0-)=50V uc2(0+)=uc2(0-)=0(3)由由0+图用节点分析法：图用节点分析法：得：得：ua=30V进一步可得：进一步可得：i(0+)=3A i1(0+)=-4A i2(0+)=6A思考：思考：电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），为什么？为什么？5.3 直流一阶电路的时域经典求解法直流一阶电路的时域经典求解法电路的阶数电路的阶数一阶电路（一阶电路（First Order Circuit)零零输入响应和零状态响应输入响应和零状态响应 一般情况下，电路的响应是由输入激励信号和内部一般情况下，电路的响应是由输入激励信号和内部储能元件初始储能共同作用产生。储能元件初始储能共同作用产生。零输入响应零输入响应yzi(t)：仅由电路初始储能引起的响应。仅由电路初始储能引起的响应。（输入激励为零）（输入激励为零）零状态响应零状态响应yzs(t)：仅由输入激励引起的响应。仅由输入激励引起的响应。（初始储能为零）（初始储能为零）一、一阶电路的零输入响应一、一阶电路的零输入响应1.RC电路的放电过程电路的放电过程：uc(t)+-uR(t)R+-i(t)K(a)如右图，已知如右图，已知uc(0-)=U0，K于于t=0时刻闭合，分析时刻闭合，分析t0时时uc(t)、i(t)的的变化规律。变化规律。各各变量参考方向如图，变量参考方向如图，t0时，由时，由KVL有：有：Ri(t)=uc(t)又有又有VAR:整理有：整理有：一阶常一阶常系数齐次微分方程系数齐次微分方程一阶常一阶常系数齐次微分方程系数齐次微分方程其其特征根方程：特征根方程：特征根特征根 又有初始条件：又有初始条件：uc(0+)=uc(0-)=U0 （换路定理）换路定理）uc(t)+-uR(t)R+-i(t)K(a)作作uc(t)和和 i(t)波形如图（波形如图（b）时间常数时间常数=RC 量纲：时间量纲量纲：时间量纲(s)电路的固有频率（电路的固有频率（natural frequency）能量去向能量去向它决定了电路的响应模式它决定了电路的响应模式（衰减、发散、振荡）（衰减、发散、振荡）uc(t)i(t)t0U0U0/R(b)，衰减越慢，衰减越慢 ，衰减越快，衰减越快极限情况极限情况R0，则则 0R，则则 2.RL电路的放电过程电路的放电过程：(a)ER0RKLuLiL+-如图电路原处于稳态，如图电路原处于稳态，t=0时时K断断开，分析电感放电过程中开，分析电感放电过程中iL(t)和和uL(t)的的变化规律。变化规律。分析：分析：t0时时i(t)=?3A1 1 2 1Fi(t)12二、一阶电路的零状态响应二、一阶电路的零状态响应1.RC电路的充电过程电路的充电过程：已知已知uc(0-)=0，t=0时刻时刻K闭合，分析充电过程中闭合，分析充电过程中i(t)和和uc(t)。（1）由）由KVL及及VAR写电路方程（写电路方程（t0)标准形式标准形式：一阶常系数非齐次方程一阶常系数非齐次方程ERCuciK+-（2）解如上非齐次微分方程：）解如上非齐次微分方程：先求先求齐次通解齐次通解uch，即，即相应齐次方程：相应齐次方程：的解的解显然：显然：再求再求特解特解ucp（可设为与输入激励相同的形（可设为与输入激励相同的形式，或用稳态解作为特解）式，或用稳态解作为特解）ucp=E全解全解uc(t)=齐次通解齐次通解uch(t)+任意特解任意特解ucp（3）由初始条件定系数由初始条件定系数uc(0+)=uc(0-)=0 A=-E（4）作波形曲线。作波形曲线。EE/Rticuc0即：即：强制响应强制响应固有响应固有响应（自由响应）（自由响应）2.RL电路的充电过程电路的充电过程：-+UsR1R2KLuL=？+-iL=？(a)已知已知iL(0-)=0 t=0时时K闭合闭合-+ERKLuL=？+-iL=？(b)t0时时Thevenin等效等效（1）对对(b)图，图，t0时由时由KVL有：有：初始条件初始条件 iL(0+)=iL(0-)=0 A=-E/R（3）作波形曲线。）作波形曲线。EE/RtiL(t)uL(t)0-+ERKLuL=？+-iL=？(b)t0时时Thevenin等效等效强制响应强制响应固有响应固有响应小结：小结：对于对于直流直流一阶一阶电路，其响应一般都可表为如下形式：电路，其响应一般都可表为如下形式：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：三、一阶电路的全响应三、一阶电路的全响应已知已知uc(0-)=U0，t=0时刻时刻K闭合，分析闭合，分析t0时时uc(t)=?ERCuciK+-分析：电路方程与零状态响应情况相同，仅初始条件不同。分析：电路方程与零状态响应情况相同，仅初始条件不同。标准形式标准形式：由初始条件由初始条件 uc(0+)=uc(0-)=U0 A+E=U0得：得：A=-(E-U0)故全响应：故全响应：EU0tuc(t)0四、响应的分解四、响应的分解ERCuciK+-如前如前RC电路的全响应：电路的全响应：全全响应响应=强制响应强制响应+固有固有（自由）（自由）响应响应（即即特解特解）+（即即齐次通解齐次通解）稳态响应稳态响应 +暂态响应暂态响应全全响应响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应全全响应响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应自由响应分量自由响应分量强制响应强制响应自由响应自由响应稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应等幅等幅部分部分减幅部分减幅部分响应的分解响应的分解0.5FucK+-+-1 us如图电路，如图电路，uc(0-)=-1V,K于于t=0时刻闭合，求：时刻闭合，求：t0时时uc(t)=?例例：解：解：（1）t0时电路方程为：时电路方程为：代入代入R、C值有：值有：强制响应强制响应固有响应固有响应（自由响应）（自由响应）（形式与输入激励相似）形式与输入激励相似）将将特解代入特解代入式有：式有：B=2代代初值初值uc(0+)=uc(0-)=-1V，有：有：A=-3暂态响应暂态响应（无稳态）（无稳态）齐次通解：齐次通解：因输入函数为因输入函数为2e-2t，其指数因子其指数因子-2 刚好为特征刚好为特征方程的单根，故特解应设为：方程的单根，故特解应设为：代入代入中：中：得：得：B=2代代初值初值uc(0+)=uc(0-)=-1V，有：有：A=-15.4 直流一阶电路的三要素法直流一阶电路的三要素法一、三要素法的推证一、三要素法的推证对直流一阶电路全解对直流一阶电路全解y(t)=齐次通解齐次通解yh(t)+特解特解(稳态解）稳态解）yp令令t=0+，则：则：即：即：故：故：三要素法公式三要素法公式三三要素：要素：初始值初始值y(0+)终值终值y()时间常数时间常数=RC或或二、三要素法的应用二、三要素法的应用3V3V1 1 2 5Habi(t)iL(t)(a)K例：例：如图电路原处于稳态，如图电路原处于稳态，t=0时刻时刻K由由a转向转向b，用三要用三要素法求素法求t0时时i(t)及及 iL(t)，并并作出其波形。作出其波形。3V3V1 1 2 5Habi(t)iL(t)(a)K3V1 1 2-1.2Abi(0+)iL(0+)(b)0+等效图等效图解解：（1）求初始值）求初始值iL(0+)和和 i(0+)作作0+等效图（等效图（b)1 i(0+)+2 i(0+)-(-1.2)=3 i(0+)=1/5 A（2）求终值求终值iL()和和 i()（图（图c）3V1 1 2 bi()iL()(c)t=等效等效图图1 1 2(d)求求 时时等效等效图图R0（3）时间常数时间常数（图（图d）等效内阻，从动态元件两端看出去等效内阻，从动态元件两端看出去（4）由由（5）波形（图波形（图e）ti(t)09/56/51/5-6/5(A)iL(t)例：如图例：如图(a)电路，电路，uc(0-)=2V，t=0时时K闭合，试闭合，试用三要素法求用三要素法求t0时时uc(t)及及i1(t)。-+6 12VUsK2i1+-2 1Fi1(t)uc(t)+-(a)-+6 12VUsK2i1+-2 i1(0+)(b)0+图图+-2V解解：（1）求初始值）求初始值uc(0+)及及i1(0+)uc(0+)=uc(0-)=2V，作，作0+图图(b)有：有：6i1(0+)-2i1(0+)=12 i1(0+)=3A（2）求终值求终值uc()及及i1()-+6 12VUsK2i1+-2 i1()(c)t=等效等效图图uc()+-6i1()-2i1()=12 i1()=3Auc()=-2 i1()=-6V6 2i1+-2 i1(d)求求 时时等效等效图图+-U0I0（3）求时间常数）求时间常数 =R0C设用外加电源法（设用外加电源法（图图d）U0=2I0-2i16i1=2i1 i1=0U0=2I0故：故：等效内阻等效内阻R0=U0/I0=2 时间常数时间常数 =R0C=21=2(s)（4）uc(t)=-6+2-(-6)e-t/2=-6+8e-t/2 (V)t0i1(t)=3+(3-3)e-t/2=3 (A)t0 例：例：如图电路，如图电路，K1、K2原处于断开状态，原处于断开状态，t=0时刻时刻K1闭闭合，（合，（1）求）求K1闭合后闭合后i1的变化规律。（的变化规律。（2）若）若K1闭合闭合1秒后秒后K2也闭合，求也闭合，求i1、i2及及i 的的变化规律。变化规律。-+6VUsK1R12 L11HK2R2L21 2Hi1i2i分析：分析：第一次换路后，是第一次换路后，是一阶电路。第二次换路后一阶电路。第二次换路后为二阶电路，但此二阶电为二阶电路，但此二阶电路可看作两个独立的一阶路可看作两个独立的一阶电路，可借助一阶电路的电路，可借助一阶电路的三要素法求解三要素法求解。-+6VUsK1R12 L11HK2R2L21 2Hi1i2i（1）K1于于t=0时刻时刻 闭合，闭合，K2断开断开解：解：i1(0+)=i1(0-)=0i1()=Us/(R1+R2)=6/(2+1)=2A (稳态值）稳态值）=（L1+L2）/（R1+R2）=（1+2）/（2+1）=1(s)（0t 1s）（2）当当t=1s时，时，K2也闭合也闭合i1(1+)=i1(1-)=2(1-e-1)=1.264(A)i1()=Us/R1=6/2=3(A)时间常数时间常数 1=L1/R1=1/2(s)-+6VUsK1R12 L11HK2R2L21 2Hi1i2ii2(1+)=i2(1-)=i1(1-)=1.264(A)i2()=0(A)时间常数时间常数 2=L2/R2=2/1=2(s)三要素三要素法推广法推广i(t)=i1(t)-i2(t)i1(t)i2(t)注：注：本例中本例中i1(t)、i2(t)分别只有一个固有频率，分别只有一个固有频率，但但i(t)有有两个固有频率（此二阶电路可看作两个两个固有频率（此二阶电路可看作两个独立的一阶电路）独立的一阶电路）i1i2-+us10V100 100 R1R2LC10mH1 FKiK如图电路原处于稳态，如图电路原处于稳态，t=0时刻时刻K闭合，求闭合，求K闭合后电闭合后电流流iK=?思考思考:参考答案参考答案:5.5 阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应一、一、单位阶跃函数单位阶跃函数（unit step function）1U(t)0t定义：定义：U(t)=0 t0t=0时刻不定义时刻不定义显然：显然：U(0-)=0 U(0+)=11U(t-t0)0tt0延时单位阶跃函数：延时单位阶跃函数：定义：定义：U(t-t0)=0 tt0t=t0 时刻不定义时刻不定义注：注：阶跃信号可用来表示特定阶跃信号可用来表示特定时刻开始起作用的激励信号。时刻开始起作用的激励信号。-+动态动态网络网络K1K22U(t)5U(t-3)abt=0时时K1由由1转向转向2，t=3s时时K2由由a转向转向b相当于一个相当于一个2U(t)电压源和电压源和 一个一个5U(t-3)电流源电流源从从t=-时时就接在电路中。就接在电路中。-+动态动态网络网络K1K22V5Aba21二、分段直流信号的阶跃函数表示二、分段直流信号的阶跃函数表示2f1(t)0t(s)21.f1(t)=2U(t)-2U(t-2)2f3(t)0t(s)23.3-1f3(t)=-1+3U(t)-3U(t-2)+U(t-3)2f2(t)0t(s)22.31f2(t)=U(t-1)+U(t-2)-2U(t-3)三、阶跃响应及其应用三、阶跃响应及其应用单位阶跃响应单位阶跃响应：电路在：电路在零状态零状态条件下，由条件下，由单位阶跃信单位阶跃信 号号U(t)作用下引起的响应。记为作用下引起的响应。记为rU(t)线性时不变线性时不变零状态电路零状态电路单位阶跃单位阶跃信号信号U(t)单位阶跃单位阶跃响应响应rU(t)线性时不变线性时不变零状态电路零状态电路rU(t-t0)U(t-t0)KK例：求如图例：求如图RL电路在矩形脉冲电路在矩形脉冲us(t)作用下的响应作用下的响应电流电流i(t)，并作其波形。并作其波形。1us(t)0t(s)t0R=1-+us(t)L=1Hi(t)法一：分区间应用三要素法法一：分区间应用三要素法=L/R=1/1=1(s)i(0-)=0i(0+)=i(0-)=00t t0时：时：i稳稳态态=1/R=1(A)故故i(t)=1+(0-1)e-t=1-e-t (A)0t t0t0 t 时是以时是以i(t0)为为初值的放电过程初值的放电过程1i(t)0t(s)t01-e-t法法二：二：利用阶跃响应利用阶跃响应1U(t)0t(s)R=1-+us(t)L=1Hi(t)（1）电路的单位阶跃响应）电路的单位阶跃响应rU(t)=1-e-t t00 tT，冲放电缓慢，冲放电缓慢，在脉冲作用周期在脉冲作用周期T内，冲放内，冲放电过程远未结束电过程远未结束RC积分电路的特点：积分电路的特点：与微分电路相反，经积分后输入信号的突变消失。与微分电路相反，经积分后输入信号的突变消失。从时域从时域看：突出了输入信号的恒定部分，抑制突变部分看：突出了输入信号的恒定部分，抑制突变部分从从频域看：是低通网络，通低频，阻高频。频域看：是低通网络，通低频，阻高频。5.8 二阶电路时域经典分析法二阶电路时域经典分析法二阶电路方程的建立二阶电路方程的建立例：例：如图电路如图电路,两个动态元件两个动态元件-+us(t)8 2H4 1Hi2i1写网孔电流方程：写网孔电流方程：-由由 得：得：-将将 代入代入消去消去i1有：有：二阶非齐次微分方程二阶非齐次微分方程一般形式：一般形式：当电路没有输入激励时有当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程：方程变为齐次方程：相应的解相应的解为零为零输入响应。输入响应。一、一、RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应RKLuL+-i(t)RLC串联电路串联电路+-uRuc+-C已知已知uc(0-)=U0，iL(0-)=0，K于于t=0时刻闭合，分析时刻闭合，分析t0时放电过程中时放电过程中i(t)、uc(t)由由KVL：uc=uR+uL （t0)即：即：两边对两边对t 微分：微分：整理为：整理为：整理为：整理为：特征方程：特征方程：其中：其中：s特征根，又称为电路的特征根，又称为电路的固有频率固有频率。衰减系数衰减系数（决定响应的衰减特性）（决定响应的衰减特性）谐振角频率谐振角频率根据根据 和和 0 的相对大小不同，特征根的相对大小不同，特征根s1,2不同，不同，对应的解的形式不同，有三种情况：对应的解的形式不同，有三种情况：过过阻尼阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼两个待定系数，两个初始条件两个待定系数，两个初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0i(0+)=i(0-)=0可定得系数可定得系数由由i(0+)=0得：得：A1+A2=0 又由又由uL(0+)=uc(0+)-Ri(0+)=U0-R0=U0得：得：将将i(t)表达式代入并令表达式代入并令t=0+有：有：L(A1S1+A2S2)=U0 由由联立得：联立得：U0波形波形0tuc(t)i(t)tm过过阻尼情况阻尼情况非非振荡过程振荡过程 电容一直放电（电容功率电容一直放电（电容功率pc=-uc(t)i(t)0)，不能产生振荡。不能产生振荡。电流极大值时刻在电流极大值时刻在t=tm处。处。s1=s2=-可定得系数可定得系数：故：故：由初始条件由初始条件i(0+)=0uc(0+)=U0 uL(0+)=U0U0波形波形0tuc(t)i(t)tm临界阻尼情况临界阻尼情况波形与过阻尼情况相似，波形与过阻尼情况相似，uc单调衰减，无振荡（处于振单调衰减，无振荡（处于振荡与非振荡的临界状态）。荡与非振荡的临界状态）。（共轭复根）（共轭复根）由初始条件由初始条件i(0+)=0uc(0+)=U0 uL(0+)=U0欠欠阻尼情况阻尼情况0t(s)包络线包络线 U0e-tU0uc(t)i(t)减幅减幅振荡振荡欠欠阻尼情况阻尼情况0t(s)包络线包络线 U0e-tU0uc(t)i(t)物理解释：物理解释：R较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（pc有正有正有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。特例：当特例：当R=0时，时，=R/2L=0,无损耗，响应为等幅振荡。无损耗，响应为等幅振荡。S1,2=j 0 (虚数），称为虚数），称为LC自由振荡自由振荡（正弦波发生器）（正弦波发生器）例：如图例：如图RLC电路，电路，R=4,L=1H,uc(0)=4V,i(0)=2A,t=0时刻时刻K闭合，试分别计算闭合，试分别计算（1）C=1/20F（2）C=1/4F（3）C=1/3F 时电流时电流i(t)。RKLuL+-i(t)RLC串联电路串联电路+-uRuc+-C解：解：电路方程为：电路方程为：特征方程特征根：特征方程特征根：初始条件初始条件 i(0)=2A K1=2 （1）uc(0+)=4V uL(0+)=uc(0+)-R i(0+)=-4V 故故 -2K1+4K2=-4 （2）由由(1)(2)联立得：联立得：K1=2 K2=0由初始条件由初始条件 i(0)=2A可可得：得：A=2 B=0（临界阻尼）（临界阻尼）故：故：（过阻尼）（过阻尼）故：故：由初始条件由初始条件 i(0)=2AA1=A2=1二、二、RLC串联电路的零状态响应串联电路的零状态响应如图如图RLC 零状态零状态电路，电路，t=0时时K闭合，分析闭合，分析t0时时uc(t)=?由由KVL及及VAR：RKLuL+-i(t)+-uRuc-+C+-Us整理得：整理得：全解全解（用（用稳态解作特解）稳态解作特解）初始条件初始条件 uc(0+)=0 A1+A2+Us=0 (1)i(0+)=0 A1S1+A2S2=0 (2)（设（设s1,2为相异单根）为相异单根）由由(1)(2)有：有：故：故：强制响应强制响应固有固有（自由）（自由）响应响应Us波形波形0tuc(t)i(t)tm过过阻尼情况阻尼情况(非振荡充电）非振荡充电）波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。欠欠阻尼情况（振荡充电）阻尼情况（振荡充电）0t(s)Usi(t)uc(t)uLiLucic1 1A+-+-+-+-+-+-+-1VuLiLucic1 1A+-+-+-+-+-+-+-1V