高中数学必修五全册知识点+练习题含答案详解（非常全）.docx

1 / 32第一部分必修五三角函数知识点整理第一部分必修五三角函数知识点整理第一章第一章 解三角形解三角形1 1、三角形的性质：、三角形的性质：.A+B+C=, ， sin()sinABCcos()cosABC 222ABC sincos22ABC.在中, c , c ; AB.ABCababsin Asin BABcosAcosB, a b AB.若为锐角，则,B+C ,A+C ;ABCAB2 2 2，22ab2c22bc2a2a2c2b2、正弦定理与余弦定理：、正弦定理与余弦定理：.正弦定理： (2R 为外接圆的直径)2sinsinsinabcRABCABC、 （边化角）2 sinaRA2 sinbRB2 sincRC、 、 （角化边）sin2aARsin2bBRsin2cCR面积公式：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB.余弦定理：、 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC、 （角化边）222 cos2bcaAbc222 cos2acbBac222 cos2abcCab2 / 32补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：；coscoscossinsincoscoscossinsin；sinsincoscossinsinsincoscossin （） ；tantantan1tantantantantan1tantan （） tantantan1 tantantantantan1 tantan二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin12222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式2sin2cos1 ,2cos2cos122降幂公式，2cos21cos221 cos2sin23、常见的解题方法：常见的解题方法：（边化角或者角化边）第二部分必修五练习题含答案解析第二部分必修五练习题含答案解析第一章第一章 解三角形解三角形1.在ABC 中，AB5，BC6，AC8，则ABC 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形解析：最大边 AC 所对角为 B，则 cosBB>C BB>A>C CC>B>A DC>A>B解析 由正弦定理，sinB.B 为锐角，B60°，则 C90°，故 C>B>A. asinAbsinBbsinAa32答案 C3在ABC 中，已知 a8，B60°，C75°，则 b 等于( )A4 B4 C4 D.236323解:由 ABC180°，可求得 A45°，由正弦定理，得 b4.asinBsinA8 × sin60°sin45°8 ×32226答案 C4在ABC 中，AB5，BC7，AC8，则·的值为( )BABCA5 B5 C15 D15解析 在ABC 中，由余弦定理得：cosB .AB2BC2AC22AB·BC2549642 × 5 × 717·|·|cosB5×7× 5. BABCBABC17答案 A5若三角形三边长之比是 1：2，则其所对角之比是( )3A1：2：3 B1：2 C1： D.：232323解析 设三边长分别为 a，a,2a，设最大角为 A，则 cosA0，A90°.3a23a22a22·a·3a设最小角为 B，则 cosB，B30°，C60°. 因此三角之比为 1：2：3. 2a23a2a22·2a·3a32答案 A4 / 326在ABC 中，若 a6，b9，A45°，则此三角形有( )A无解 B一解 C两解 D解的个数不确定解析 由，得 sinB>1.此三角形无解bsinBasinAbsinAa9 ×2263 24答案 A7已知ABC 的外接圆半径为 R，且 2R(sin2Asin2C)(ab)sinB(其中 a，b 分别为 A，B 的对边)，那2么角 C 的大小为( )A30° B45° C60° D90°解析 根据正弦定理，原式可化为2R(ab)·， a2c2(ab)b，a2b2c2ab，(a24R2c24R2)2b2R22cosC，C45°. a2b2c22ab22答案 B8在ABC 中，已知 sin2Asin2BsinAsinBsin2C，且满足 ab4，则该三角形的面积为( )A1 B2 C. D.23解析 由2R，又 sin2Asin2BsinAsinBsin2C，asinAbsinBcsinC可得 a2b2abc2.cosC ，C60°，sinC.a2b2c22ab1232SABC absinC.123答案 D9在ABC 中，A120°，AB5，BC7，则的值为( )sinBsinCA. B. C. D.85585335解析 由余弦定理，得cosA，解得 AC3. 由正弦定理 . AB2AC2BC22AB·ACsinBsinCACAB355 / 32答案 D10.在三角形 ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC 的大小为( )A. B. C. D.2356343解析 由余弦定理，得 cosBAC ，BAC.AB2AC2BC22AB·AC5232722 × 5 × 31223答案 A11有一长为 1 km 的斜坡，它的倾斜角为 20°，现要将倾斜角改为 10°，则坡底要加长( )A0.5 km B1 km C1.5 km D. km32解析 如图，ACAB·sin20°sin20°，BCAB·cos20°cos20°，DC2cos210°，DBDCBC2cos210°cos20°1. ACtan10°答案 B12已知ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 ac，且 A75°，则 b 为( )62A2 B42 C42 D.3362解析 在ABC 中，由余弦定理，得 a2b2c22bccosA，ac，0b22bccosAb22b()62cos75°，而 cos75°cos(30°45°)cos30°cos45°sin30°sin45° ()，b22b(22(3212)14626)cos75°b22b()· ()b22b0，解得 b2，或 b0(舍去)故选 A. 2621462答案 A13在ABC 中，A60°，C45°，b4，则此三角形的最小边是_解析 由 ABC180°，得 B75°，c 为最小边，由正弦定理，知 c4(1) bsinCsinB4sin45°sin75°3答案 4(1)314在ABC 中，若 b2a，BA60°，则 A_.解析 由 BA60°，得sinBsin(A60°) sinAcosA.12326 / 32又由 b2a，知 sinB2sinA.2sinA sinAcosA.1232即sinAcosA.cosA0，3232tanA.0°0，q.512 ，故选 C.a3a4a4a51q5127已知数列an为等差数列，若0 的最大值 n 为( )a11a10A11 B19 C20 D21答案 B解析 Sn有最大值，a1>0，d0，a10a110，故选 B.19a1a1928等比数列an中，a1512，公比 q ，用 n表示它的前 n 项之积：na1·a2··an，12则 n中最大的是( )A11 B10 C9 D8解析：na1a2ana ·q12n129n(1)2，当n 1(12)n1n2nn12n219n2n9 时，n最大故选 C9已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，S3a5，am2011，则 m( )A1004 B1005 C1006 D1007答案 C解析 由条件知Error!，Error!，ama1(m1)d12(m1)2m12011，m1006，故选 C.13 / 3210已知数列an的通项公式为 an6n4，数列bn的通项公式为 bn2n，则在数列an的前 100 项中与数列bn 中相同的项有( )A50 项 B34 项 C6 项 D5 项答案 D解析 a12b1，a28b3，a314，a420，a526，a632b5，又 b102101024>a100，b9512，令 6n4512，则 n86，a86b9，b8256，令 6n4256，nZ，无解， b7128，令 6n4128，则 n22，a22b7，b6646n4 无解，综上知，数列an的前 100 项中与bn相同 的项有 5 项二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分，把正确答案填在题中横线上分，把正确答案填在题中横线上) )11已知数列an满足：an11，a12，记数列an的前 n 项之积为 Pn，则 P2011_.1an答案 2解析 a12，a21 ，a3121，a41(1)2，an的周期为 3，且1212 a1a2a31，P2011(a1a2a3)670·a2011(1)670·a12.12秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an，已知 a11，a22，且 an2an1(1)n (nN*)，则该医院 30 天入院治疗流感的人数共有_人答案 255解析 an2an1(1)n (nN*)，n 为奇数时，an2an，n 为偶数时，an2an2，即数列an的 奇数项为常数列，偶数项构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列故这 30 天入院治疗流感人数共有 15(15×2×2)255 人15 × 14213已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2成等差数列，则_.12a3a10a1a8答案 322解析 a1， a3,2a2成等差数列，a3a12a2，设数列an公比为 q，则12 a1q2a12a1q，a10，q22q10，q1±，an>0，q1，22q232.a3a10a1a8214在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公 比相等，则 abc 的值为_acb614 / 3212答案 22解析 由横行成等差数列知，6 下边为 3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比 q2，b2×24由横行等差知 c 下边为5，故 c5×210，由纵列公比为 2 知 a1×238，abc22.46215数列an中，a11，an、an1是方程 x2(2n1)x0 的两个根，则数列bn的前1bnn 项和 Sn_答案 解析由题意得 anan12n1，又annan1(n1)，a11nn1ann，又 an·an1，bn.Snb1b2bn1.1bn1nn11n1三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 7575 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) )16(本小题满分 12 分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列an的前 n 项和为 Snpn22nq(p，qR)，nN*.(1)求 q 的值；(2)若 a38，数列bn满足 an4log2bn，求数列bn的前 n 项和解析 (1)当 n1 时，a1S1p2q，当 n2 时，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2an是等差数列，p2q2pq2，q0.(2)a38，a36pp2，6pp28，p2，an4n4，又 an4log2bn，得 bn2n1，故bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以数列bn的前 n 项和 Tn2n1.12n1217(本小题满分 12 分)等差数列an的各项均为正数，a13，前 n 项和为 Sn，bn为等比数列， b11，且 b2S264，b3S3960.(1)求 an与 bn；(2)求的值1S11S21Sn解：(1)设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 d 为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有Error!，15 / 32解得Error! 或Error!(舍去)，故 an32(n1)2n1，bn8n1.(2)由(1)知 Sn35(2n1)n(n2)，所以1S11S21Sn11 × 312 × 413 × 5 1nn212(113121413151n1n2) .12(1121n11n2)342n32n1n218(本小题满分 12 分)已知数列bn前 n 项和为 Sn，且 b11，bn1 Sn.13(1)求 b2，b3，b4的值；(2)求bn的通项公式；(3)求 b2b4b6b2n的值解析 (1)b2 S1 b1 ，b3 S2 (b1b2) ，b4 S3 (b1b2b3).13131313134913131627(2)Error!解 bn1bn bn，bn1 bn，1343b2 ，bn ·n2 (n2)1313(43)bnError!.(3)b2，b4，b6b2n是首项为 ，公比2的等比数列，13(43)b2b4b6b2n131432n1(43)2 ( )2n1374319(本小题满分 12 分)已知 f(x)mx(m 为常数，m>0 且 m1)设 f(a1)，f(a2)，f(an)(nN)是首项为 m2，公 比为 m 的等比数列(1)求证：数列an是等差数列；16 / 32(2)若 bnanf(an)，且数列bn的前 n 项和为 Sn，当 m2 时，求 Sn；(3)若 cnf(an)lgf(an)，问是否存在 m，使得数列cn中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 m 的取值范围； 若不存在，请说明理由解析 (1)由题意 f(an)m2·mn1，即 manmn1.ann1，an1an1，数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列(2)由题意 bnanf(an)(n1)·mn1，当 m2 时，bn(n1)·2n1，Sn2·223·234·24(n1)·2n1式两端同乘以 2 得，2Sn2·233·244·25n·2n1(n1)·2n2并整理得，Sn2·222324252n1(n1)·2n222(2223242n1)(n1)·2n222(n1)·2n22212n122222(12n)(n1)·2n22n2·n.(3)由题意 cnf(an)·lgf(an)mn1·lgmn1(n1)·mn1·lgm，要使 cn1 时，lgm>0，所以 n1m 对一切 nN*成立，n1n2因为1的最小值为 ，所以 01 时，数列cn中每一项恒小于它后面的项2320(本小题满分 13 分)将函数 f(x)sin x·sin (x2)·sin (x3)在区间(0，)内的全部极值点按从小到大的顺141412 序排成数列an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2nan，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的表达式17 / 32解析 (1)化简 f(x)sin x·sin (x2)·sin (x3)141412sin cos · sinxx4x4(cosx2)14其极值点为 xk (kZ)，2它在(0，)内的全部极值点构成以 为首项， 为公差的等差数列，2an (n1)·(nN*)22n12(2)bn2nan (2n1)·2n2Tn 1·23·22(2n3)·2n1(2n1)·2n22Tn 1·223·23(2n3)·2n(2n1)·2n12相减得，Tn 1·22·222·232·2n(2n1)·2n12Tn(2n3)·2n321(本小题满分 14 分)数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an，求数列bn的通项公式；b131b2321b3331bn3n1(3)令 cn(nN*)，求数列cn的前 n 项和 Tn.anbn4解析 (1)当 n1 时，a1S12，当 n2 时，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，知 a12 满足该式数列an的通项公式为 an2n.(2)an(n1)b131b2321b3331bn3n1an1b131b2321b3331bn3n1bn13n11得，an1an2，bn12(3n11)，bn13n1118 / 32故 bn2(3n1)(nN*)(3)cnn(3n1)n·3nn，anbn4Tnc1c2c3cn(1×32×323×33n×3n)(12n)令 Hn1×32×323×33n×3n，则 3Hn1×322×333×34n×3n1得，2Hn332333nn×3n1n×3n1313n13Hn，2n1 × 3n134数列cn的前 n 项和Tn.2n1 × 3n134nn12第一部分必修五不等式知识点整理第一部分必修五不等式知识点整理第三章第三章 不等式不等式1.1.不等式的性质不等式的性质: : 不等式的传递性传递性:cacbba , 不等式的可加性可加性:推论: ,cbcaRcbadbcadcba 不等式的可乘性可乘性:000;0;0 bdacdcbabcaccbabcaccba 不等式的可乘方性可乘方性:00; 00nnnnbabababa19 / 322.一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法:.注重三者之间的密切联系。 cbxaxxfcbxaxcbxax222, 0, 0如：0 的解为：x, 则0 的解为；2axbxc2axbxc12,xx函数的图像开口向下，且与 x 轴交于点，。 2f xaxbxc,0,0对于函数，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。 cbxaxxf2.注意二次函数根的分布及其应用.如：若方程的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有2280xax0 且0 且0 且0(0)f(1)f(4)f(5)f3.不等式的应用：不等式的应用：基本不等式：222220,0,2,22ababababababab 当 a0,b0 且是定值时，a+b 有最小值；ab当 a0,b0 且 a+b 为定值时，ab 有最大值。简单的线性规划:表示直线的右方区域.00ACByAx0CByAx表示直线的左方区域00ACByAx0CByAx解决简单的线性规划问题的解决简单的线性规划问题的基本步骤基本步骤是：是：.找出所有的线性约束条件。.确立目标函数。20 / 32.画可行域，找最优点，得最优解。需要注意的是，在目标函数中，x 的系数的符号，当 A0 时，越向右移，函数值越大，当 A0 时，越向左移，函数值越大。常见的目标函数的类型：“截距截距”型：型：;zAxBy“斜率斜率”型：型：或yzx;ybzxa“距离距离”型：型：或22zxy22;zxy或22()()zxayb22()() .zxayb画画移移定定求：求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可0:0lAxBy0l行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入0l( , )x y( , )x y目标函数即可求出最大值或最小值 .zAxBy第二步中最优解的确定方法：最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.zAzyxBB z B若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最大值，使取得最大值，使直线直线0,B zAxByz的的纵截距最小的角点处，纵截距最小的角点处，取得最小值；取得最小值；z若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最小值，使取得最小值，使直线直线0,B zAxByz的的纵截距最小的角点处，纵截距最小的角点处，取得最大值取得最大值. .z21 / 32第二部分必修五练习题含答案解析第二部分必修五练习题含答案解析第一章第一章 不等式不等式一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.设 a，b，c，dR，且 a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )A.ac>bd B.ac>bdC.ac>bd D. >adbc答案 C解析 a>b，c>d，ac>bd.2.不等式 2 或 xN B.M NC.M0.M >N.4.已知点 P(x0，y0)和点 A(1,2)在直线 l：3x2y80 的异侧，则( )A.3x02y0>0 B.3x02y08答案 D解析 设 f(x，y)3x2y8，则由题意，得 f(x0，y0)·f(1,2)0.5.不等式 x2ax12a20，n>0.故 mn2218，当且仅当 mn9 时取到最小值.mn34mn 的最小值为 18.9.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值24 / 32范围是( )A.(1，2) B.(0,2)3C.(1,2) D.(0,1)33答案 A解析 如图，根据题意得 C(1，2).3作直线xy0，并向左上或右下平移，过点 B(1,3)和 C(1，2)时，zxy 取范围的边界值，3即(1)20，b>0)的最大值为 12，则 的最小值为( )2a3bA. B.25683C. D.4113答案 A解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，当直线 axbyz(a>0，b>0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点(4,6)时，26 / 32目标函数 zaxby(a>0，b>0)取得最大值 12，即 4a6b12，即 2a3b6，而 ( )·( )2(当且仅当 ab 时取等号).2a3b2a3b2a3b6136baab13625665二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.不等式 x22x3a22a1 在 R 上的解集是，则实数 a 的取值范围是_.答案 (1,3)解析 x22x(a22a4)0 的解集为，44(a22a4)0，x0 时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又 f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0，则当 a_时，取得最小值.12|a|a|b答案 2解析 由于 ab2，所以，12|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|b28 / 32由于 b>0，|a|>0，所以21，b4|a|a|bb4|a|·|a|b因此当 a>0 时，的最小值是 1 ；12|a|a|b1454当 a3 时，求函数 y的值域.2x2x3解 x>3，x3>0.y2x2x32x3212x318x32(x3)122 1224.18x32x3·18x3当且仅当 2(x3)，18x3即 x6 时，上式等号成立，函数 y的值域为24，).2x2x318.(12 分)若不等式(1a)x24x6>0 的解集是x|30；(2)b 为何值时，ax2bx30 的解集为 R.29 / 32解 (1)由题意知 1a0，即为 2x2x3>0，解得 x .32所求不等式的解集为x|x .32(2)ax2bx30，即为 3x2bx30，若此不等式的解集为 R，则 b24×3×30，6b6.19.(12 分)已知 f(x)x22ax2(aR)，当 x1，)时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围.解 方法一 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为 xa.当 a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a3a，解得3a4 的解集为x|xb，(1)求 a，b 的值；(2)解不等式 ax2(acb)xbc2 时，原不等式的解集为 22 时，原不等式的解集为x|2<x<c；当 c<2 时，原不等式的解集为x|c<x<2；当 c2 时，原不等式的解集为.