中考数学总复习 二十八 图形的相似一含答案解析.doc

图形的变化图形的变化图形的相似图形的相似 1 1一选择题（共一选择题（共 9 9 小题）小题）1若 x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）A5BCD52如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB若 AD=2BD，则的值为（ ）ABCD3如果两个相似多边形面积的比为 1：5，则它们的相似比为（ ） A1：25B1：5 C1：2.5D1：4如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，要使ADC 与ABD 相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（ ）AACD=DABBAD=DECAD2=BDCDDCDAB=ACBD5如图，在方格纸中，ABC 和EPD 的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点 P 所在的格点为（ ）AP1BP2CP3DP46如图，在平面直角坐标系中，A（0，4） ，B（2，0） ，点 C 在第一象限，若以 A、B、C 为顶点的三角形与AOB 相似（不包括全等） ，则点 C 的个数是（ ）A1B2C3D47如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与 PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个来源:学|科|网 Z|X|X|K8如图，ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在ABC 内，顶点 D，G 分别在 AB，AC 上， AD=AG，DG=6，则点 F 到 BC 的距离为（ ）A1B2C126 D669如图，在ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 SDOE：SCOB=（ ）A1：4 B2：3 C1：3 D1：2 二填空题（共二填空题（共 7 7 小题）小题） 10 已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，且 a=1，c=4，那么 b= _ 11如图，点 M 是ABC 内点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是 1，4，9则ABC 的面积是 _ 12若，则= _ 13已知ABCDEF，其中 AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么DEF 的周长是 _ 14如图，已知在 RtOAC 中，O 为坐标原点，直角顶点 C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= （k0）在第一象限的图象经过 OA 的中点 B，交 AC 于点 D，连接 OD若OCDACO，则直线 OA 的解析式为 _ 15如图，在ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BPDF，且与 AD 相交于点 P，请 从图中找出一组相似的三角形： _ 16如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相等，则= _ 三解答题（共三解答题（共 8 8 小题）小题）17如图，在平面直角坐标系内，已知点 A（0，6） 、点 B（8，0） ，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单 位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒 （1）求直线 AB 的解析式； （2）当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似？（3）当 t 为何值时，APQ 的面积为个平方单位？18已知在矩形 ABCD 中，P 是边 AD 上的一动点，联结 BP、CP，过点 B 作射线交线段 CP 的延长线于点 E，交边 AD 于点 M，且使得ABE=CBP，如果 AB=2，BC=5，AP=x，PM=y； （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当 AP=4 时，求EBP 的正切值； （3）如果EBC 是以EBC 为底角的等腰三角形，求 AP 的长19如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG菱 形 ABCD，连接 EB，GD （1）求证：EB=GD； （2）若DAB=60°，AB=2，AG=，求 GD 的长20等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，连接 AF，BE 相交于点 P （1）若AE=CF； 求证：AF=BE，并求APB 的度数； 若 AE=2，试求 APAF 的值； （2）若 AF=BE，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长21如图，ABFC，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，分别延长 FD 和 CB 交于点 G （1）求证：ADECFE； （2）若 GB=2，BC=4，BD=1，求 AB 的长22如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQAB 的延长线于点 Q（1）求线段 PQ 的长； （2）问：点 P 在何处时，PFDBFP，并说明理由23如图，在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 OM 为 AD 中点，连接 CM 交 BD 于点 N，且 ON=1 （1）求 BD 的长； （2）若DCN 的面积为 2，求四边形 ABNM 的面积24如图，在 RtABC 中，C=90°，RtBAP 中，BAP=90°，已知CBO=ABP，BP 交 AC 于点 O，E 为 AC 上 一点，且 AE=OC （1）求证：AP=AO； （2）求证：PEAO；（3）当 AE= AC，AB=10 时，求线段 BO 的长度图形的变化图形的变化图形的相似图形的相似 参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 9 9 小题）小题）1若 x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）A5BCD5考点：比例的性质 专题：计算题 分析：根据比例设 x=k，y=3k，再用 k 表示出 z，然后代入比例式进行计算即可得解 解答：解：x：y=1：3， 设 x=k，y=3k， 2y=3z， z=2k，=5故选：A 点评：本题考查了比例的性质，利用“设 k 法”分别表示出 x、y、z 可以使计算更加简便2如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB若 AD=2BD，则的值为（ ）ABCD考点：平行线分线段成比例 专题：几何图形问题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=2，即可得出答案解答：解：DEBC，EFAB，AD=2BD，=2，=2，= ，故选：A 点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段 成比例3如果两个相似多边形面积的比为 1：5，则它们的相似比为（ ） A1：25B1：5C1：2.5D1：考点：相似多边形的性质 专题：计算题 分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答 解答：解：两个相似多边形面积的比为 1：5， 它们的相似比为 1： 故选：D 点评：本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键4如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连结 AD，DE，AE 与 BD 相交于点 C，要使ADC 与ABD 相似，可以添加一个条件下列添加的条件其中错误的是（ ）AACD=DAB BAD=DECAD2=BDCDDCDAB=ACBD考点：相似三角形的判定；圆周角定理 专题：几何图形问题 分析：由ADC=ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个 三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用 解答：解：如图，ADC=ADB， A、ACD=DAB， ADCBDA，故 A 选项正确； B、AD=DE，=， DAE=B， ADCBDA，故 B 选项正确； C、AD2=BDCD， AD：BD=CD：AD， ADCBDA，故 C 选项正确； D、CDAB=ACBD， CD：AC=BD：AB， 但ACD=ABD 不是对应夹角，故 D 选项错误 故选：D 点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用5如图，在方格纸中，ABC 和EPD 的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点 P 所在的格点为（ ）AP1BP2CP3DP4考点：相似三角形的判定 专题：网格型分析：由于BAC=PED=90°，而= ，则当= 时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断ABCEPD，然后利用 DE=4，所以 EP=6，则易得点 P 落在 P3处 解答：解：BAC=PED，而= ，= 时，ABCEPD，DE=4， EP=6， 点 P 落在 P3处 故选：C 点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似6如图，在平面直角坐标系中，A（0，4） ，B（2，0） ，点 C 在第一象限，若以 A、B、C 为顶点的三角形与AOB 相似（不包括全等） ，则点 C 的个数是（ ）A1B2C3D4考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质 分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论 解答：解：如图，OAB=BAC1，AOB=ABC1时，AOBABC1如图，AOBC，BAAC2，则ABC2=OAB，故AOBBAC2；如图，AC3OB，ABC3=90°，则ABO=CAB，故AOBC3BA；如图，AOB=BAC4=90°，ABO=ABC4，则AOBC4AB故选 D 点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键7如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与 PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个考点：相似三角形的判定；直角梯形 分析：由于PAD=PBC=90°，故要使PAD 与PBC 相似，分两种情况讨论：APDBPC， APDBCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP 的长，即可得到 P 点的个数 解答：解：ABBC， B=90° ADBC， A=180°B=90°， PAD=PBC=90°AB=8，AD=3，BC=4， 设 AP 的长为 x，则 BP 长为 8x 若 AB 边上存在 P 点，使PAD 与PBC 相似，那么分两种情况：若APDBPC，则 AP：BP=AD：BC，即 x：（8x）=3：4，解得 x=；若APDBCP，则 AP：BC=AD：BP，即 x：4=3：（8x） ，解得 x=2 或 x=6 满足条件的点 P 的个数是 3 个， 故选：C点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键8如图，ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在ABC 内，顶点D，G 分别在 AB，AC 上， AD=AG，DG=6，则点 F 到 BC 的距离为（ ）A1B2C126D66考点：相似三角形的判定与性 质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质 专题：几何图形问题 分析：首先过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H，易证得ADGABC，然后根 据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案 解答：解：过点 A 作 AMBC 于点 M，交 DG 于点 N，延长 GF 交 BC 于点 H， AB=AC，AD=AG， AD：AB=AG：AC， BAC=DAG， ADGABC， ADG=B， DGBC， 四边形 DEFG 是正方形， FGDG， FHBC，ANDG， AB=AC=18，BC=12，BM= BC=6，AM=12，AN=6， MN=AMAN=6， FH=MNGF=66 故选：D点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理此题难 度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用9如图，在ABC 中，两条中线 BE、CD 相交于点 O，则 SDOE：SCOB=（ ）A1：4B2：3C1：3D1：2考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 专题：计算题分析：根据三角形的中位线得出 DEBC，DE= BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可 解答：解：BE 和 CD 是ABC 的中线，DE= BC，DEBC，= ，DOECOB，=（）2=（ ）2= ，故选：A 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于 相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半来源:学科网 ZXXK二填空题（共二填空题（共 7 7 小题）小题） 10已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，且 a=1，c=4，那么 b= 2 考点：比例线段 分析：根据比例中项的定义可得 b2=ac，从而易求 b 解答：解：b 是 a、c 的比例中项， b2=ac， 即 b2=4， b=±2（负数舍去） 故答案是：2 点评：本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义11如图，点 M 是ABC 内点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是 1，4，9则ABC 的面积是 36 考点：相似三角形的判定与性质 分析：根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比再根据平行四边形的性质及相似三角 形的性质得到 BC：DM=6：1，即 SABC：SFDM=36：1，从而得到ABC 面积 解答：解：过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、E， 过 M 作 AC 的平行线交 AB、BC 于 F、H， 过 M 作 AB 的平行线交 AC、BC 于 I、G， 因为1、2、3 的面积比为 1：4：9， 所以他们对应边边长的比为 1：2：3， 又因为四边形 BDMG 与四边形 CEMH 为平行四边形， 所以 DM=BG，EM=CH， 设 DM 为 x，则 ME=2x，GH=3x， 所以 BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x， 所以 BC：DM=6x：x=6：1， 由面积比等于相似比的平方故可得出：SABC：SFDM=36：1， 所以 SABC=36×SFDM=36×1=36 故答案为：36 点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质及相似三角形的性质熟悉相似三角形的性质：相 似三角形的面积比是相似比的平方12若，则= 考点：比例的性质 分析：先用 b 表示出 a，然后代入比例式进行计算即可得解解答：解： = ，a= ，= 故答案为： 点评：本题考查了比例的性质，用 b 表示出 a 是解题的关键，也是本题的难点13已知ABCDEF，其中 AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么DEF 的周长是 12 考点：相似三角形的性质 专题：计算题分析：根据相似的性质得=，即= ，然后利用比例的性质计算即可解答：解：ABCDEF，=，即= ，DEF 的周长=12 故答案为：12 点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边 形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相 似比14如图，已知在 RtOAC 中，O 为坐标原点，直角顶点 C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= （k0）在第一象限的图象经过 OA 的中点 B，交 AC 于点 D，连接 OD若OCDACO，则直线 OA 的解析式为 y=2x 考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 专题：数形结合 分析：设 OC=a，根据点 D 在反比例函数图象上表示出 CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出 AC， 然后根据中点的定义表示出点 B 的坐标，再根据点 B 在反比例函数图象上表示出 a、k 的关系，然后用 a 表示出点 B 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答 解答：解：设 OC=a，点 D 在 y= 上，CD= ，OCDACO，=，AC=，点 A（a，） ，点 B 是 OA 的中点，点 B 的坐标为（ ，） ，点 B 在反比例函数图象上， =，=2k2，a4=4k2， 解得，a2=2k，点 B 的坐标为（ ，a） ，设直线 OA 的解析式为 y=mx，则 m =a，解得 m=2， 所以，直线 OA 的解析式为 y=2x 故答案为：y=2x点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用 OC 的长度表示出点 B 的坐标 是解题的关键，也是本题的难点15如图，在ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BPDF，且与 AD 相交于点 P，请 从图中找出一组相似的三角形： ABPAED（答案不唯一） 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质 专题：开放型 分析：可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断 ABPAED 解答：解：BPDF， ABPAED 故答案为：ABPAED（答案不唯一） 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似；16如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成的两部分面积相等，则= 考点：相似三角形的判定与性质 分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案 解答：解：DEBC， ADEABC SADE=S四边形 BCDE，故答案为：点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三 角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方三解答题（共三解答题（共 8 8 小题）小题） 17如图，在平面直角坐标系内，已知点 A（0，6） 、点 B（8，0） ，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单 位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒（1）求直线 AB 的解析式； （2）当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似？（3）当 t 为何值时，APQ 的面积为个平方单位？考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形 专题：压轴题；动点型 分析：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，解得 k，b 即可； （2）由 AO=6，BO=8 得 AB=10，当APQ=AOB 时，APQAOB 利用其对应边成比例解 t当AQP=AOB 时，AQPAOB 利用其对应边成比例解得 t（3）过点 Q 作 QE 垂直 AO 于点 E在 RtAEQ 中，QE=AQsinBAO=（102t） =8 t，再利用三角形面积解得 t 即可 解答：解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由题意，得，解得，所以，直线 AB 的解析式为 y= x+6；（2）由 AO=6，BO=8 得 AB=10， 所以 AP=t，AQ=102t， 当APQ=AOB 时，APQAOB所以 =，解得 t=（秒） ，当AQP=AOB 时，AQPAOB所以=，解得 t=（秒） ；当 t 为秒或秒时，APQ 与AOB 相似；（3）过点 Q 作 QE 垂直 AO 于点 E在 RtAOB 中，sinBAO= ，在 RtAEQ 中，QE=AQsinBAO=（102t） =8 t，SAPQ= APQE= t（8 t） ，= t2+4t=，解得 t=2（秒）或 t=3（秒） 当 t 为 2 秒或 3 秒时，APQ 的面积为个平方单位点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有 一定的拔高难度，属于难题18已知在矩形 ABCD 中，P 是边 AD 上的一动点，联结 BP、CP，过点 B 作射线交线段 CP 的延长线于点 E，交边 AD 于点 M，且使得ABE=CBP，如果 AB=2，BC=5，AP=x，PM=y； （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当 AP=4 时，求EBP 的正切值； （3）如果EBC 是以EBC 为底角的等腰三角形，求 AP 的长考点：相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义 专题：综合题 分析：（1）易证ABMAPB，然后根据相似三角形的性质就可得到 y 关于 x 的函数解析式，由 P 是边 AD 上的一动点可得 0x5，再由 y0 就可求出该函数的定义域； （2）过点 M 作 MHBP 于 H，由 AP=x=4 可求出 MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出 MH，从而可求出 BH，就 可求出EBP 的正切值； （3）可分 EB=EC 和 CB=CE 两种情况讨论：当 EB=EC 时，可证到AMBDPC，则有 AM=DP，从而有 xy=5x，即 y=2x5，代入（1）中函数解析式就可求出 x 的值；当 CB=CE 时，可得到 PC=ECEP=BCMP=5y，在 RtDPC 中根据勾股定理可得到 x 与 y 的关系，然后结合 y 关于 x 的函数解析式，就 可求出 x 的值 解答：解：（1）四边形 ABCD 是矩形， AB=CD=2，AD=BC=5，A=D=90°，ADBC， APB=PBC ABE=CBP， ABM=APB 又A=A， ABMAPB，=， =，y=x P 是边 AD 上的一动点，0x5 y0，x 0，x2， 函数的定义域为 2x5；（2）过点 M 作 MHBP 于 H，如图AP=x=4，y=x =3，MP=3，AM=1，BM=，BP=2SBMP= MPAB= BPMH，MH=，BH=，tanEBP= ；（3）若 EB=EC， 则有EBC=ECB ADBC， AMB=EBC，DPC=ECB， AMB=DPC 在AMB 和DPC 中，AMBDPC， AM=DP， xy=5x， y=2x5，x =2x5，解得：x1=1，x2=4来源:学科网 2x5， AP=x=4； 若 CE=CB， 则EBC=E ADBC， EMP=EBC=E， PE=PM=y， PC=ECEP=5y， 在 RtDPC 中， （5y）2（5x）2=22， （10xy） （xy）=4，（10xx+ ） （xx+ ）=4，整理得：3x210x4=0，解得：x3=，x4=（舍负） AP=x=终上所述：AP 的值为 4 或点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、 解一元二次方程、三角函数等知识，证到ABMAPB 是解决第（1）小题的关键，把EBP 放到直角三角形中是 解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立 x 与 y 的等量关系是解决第（3）小题的关键19如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG菱 形 ABCD，连接 EB，GD （1）求证：EB=GD； （2）若DAB=60°，AB=2，AG=，求 GD 的长考点：相似多边形的性 质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质 专题：几何综合题 分析：（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接 BD 交 AC 于点 P，则 BPAC，根据DAB=60°得到 BP= AB=1，然后求得 EP=2，最后利用勾股定理求得 EB 的长即可求得线段 GD 的长即可 解答：（1）证明：菱形 AEFG菱形 ABCD， EAG=BAD， EAG+GAB=BAD+GAB， EAB=GAD， AE=AG，AB=AD， AEBAGD， EB=GD；（2）解：连接 BD 交 AC 于点 P，则 BPAC， DAB=60°， PAB=30°，BP= AB=1，AP=，AE=AG=，EP=2，EB=，GD=点评：本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等20等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，连接 AF，BE 相交于点 P （1）若 AE=CF； 求证：AF=BE，并求APB 的度数； 若 AE=2，试求 APAF 的值； （2）若 AF=BE，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 专题：证明题；压轴题；动点型 分析：（1）证明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得 AF 的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）当点 F 靠近点 C 的时候点 P 的路径是一段弧，由题目不难看出当 E 为 AC 的中点的时候，点 P 经过弧 AB 的中 点，此时ABP 为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案点 F 靠近点 B 时，点 P 的路径 就是过点 B 向 AC 做的垂线段的长度； 解答：（1）证明：ABC 为等边三角形， AB=AC，C=CAB=60°， 又AE=CF， 在ABE 和CAF 中，ABECAF（SAS） ， AF=BE，ABE=CAF 又APE=BPF=ABP+BAP， APE=BAP+CAF=60° APB=180°APE=120° C=APE=60°，PAE=CAF，APEACF，即，所以 APAF=12 （2）若 AF=BE，有 AE=BF 或 AE=CF 两种情况 当 AE=CF 时，点 P 的路径是一段弧，由题目不难看出当 E 为 AC 的中点的时候，点 P 经过弧 AB 的中点，此时 ABP 为等腰三角形，且ABP=BAP=30°， AOB=120°， 又AB=6，OA=，点 P 的路径是当 AE=BF 时，点 P 的路径就是过点 C 向 AB 作的垂线段的长度；因为等边三角形 ABC 的边长为 6，所以点 P 的路径为：所以，点 P 经过的路径长为或 3点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是 注意转化思想的运用21如图，ABFC，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，分别延长 FD 和 CB 交于点 G （1）求证：ADECFE； （2）若 GB=2，BC=4，BD=1，求 AB 的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：（1）由平行线的性质可得：A=FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明： ADECFE； （2）由 ABFC，可证明GBDGCF，根据给出的已知数据可求出 CF 的长，即 AD 的长，进而可求出 AB 的长 解答：（1）证明：ABFC， A=FCE， 在ADE 和CFE 中，ADECFE（AAS） ；（2）解：ABFC， GBDGCF， GB：GC=BD：CF， GB=2，BC=4，BD=1， 2：6=1：CF， CF=3， AD=CF， AB=AD+BD=4 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计 很好，难度一般22如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQAB 的延长线于点 Q （1）求线段 PQ 的长； （2）问：点 P 在何处时，PFDBFP，并说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 分析：（1）由题意得：PD=PE，DPE=90°，又由正方形 ABCD 的边长为 1，易证得ADPQPE，然后 由全等三角形的性质，求得线段 PQ 的长； （2）易证得DAPPBF，又由PFDBFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得 PA=PB，则可求得答 案 解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，DPE=90°， APD+QPE=90°， 四边形 ABCD 是正方形， A=90°， ADP+APD=90°， ADP=QPE， EQAB， A=Q=90°， 在ADP 和QPE 中，ADPQPE（AAS） ， PQ=AD=1；（2）PFDBFP，ADP=EPB，CBP=A， DAPPBF，=，PA=PB，PA= AB=当 PA= 时，PFDBFP点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适 中，注意掌握数形结合思想的应用23如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 OM 为 AD 中点，连接 CM 交 BD 于点 N，且 ON=1 （1）求 BD 的长； （2）若DCN 的面积为 2，求四边形 ABNM 的面积考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 专题：几何综合题 分析：（1）由四边形 ABCD 为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行 内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形 MND 与三角形 CNB 相似，由相似得比例，得到 DN：BN=1：2，设 OB=OD=x，表示出 BN 与 DN，求出 x 的值，即可确定出 BD 的长； （2）由相似三角形相似比为 1：2，得到 CN=2MN，BN=2DN已知DCN 的面积，则由线段之比，得到MND 与 CNB 的面积，从而得到 SABD=SBCD=SBCN+SCND，最后由 S四边形 ABNM=SABDSMND求解 解答：解：（1）平行四边形 ABCD， ADBC，AD=BC，OB=OD， DMN=BCN，MDN=NBC， MNDCNB，=，M 为 AD 中点，MD= AD= BC，即= ，= ，即 BN=2DN，设 OB=OD=x，则有 BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x1， x+1=2（x1） ， 解得：x=3， BD=2x=6；（2）MNDCNB，且相似比为 1：2， MN：CN=DN：BN=1：2，SMND= SCND=1，SBNC=2SCND=4SABD=SBCD=SBCN+SCND=4+2=6 S四边形 ABNM=SABDSMND=61=5 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键24如图，在 RtABC 中，C=90°，RtBAP 中，BAP=90°，已知CBO=ABP，BP 交 AC 于点 O，E 为 AC 上 一点，且 AE=OC （1）求证：AP=AO； （2）求证：PEAO；（3）当 AE= AC，AB=10 时，求线段 BO 的长度考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性 质 专题：几何综合题；压轴题 分析：（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）过点 O 作 ODAB 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CO=DO，利用“SAS”证明APE 和 OAD 全等，根据全等三角形对应角相等可得AEP=ADO=90°，从而得证； （3）设 C0=3k，AC=8k，表示出 AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出 PE=4k，BC=BD=104k，再根据 相似三角形对应边成比例列式求出 k=1 然后在 RtBDO 中，利用勾股定理列式求解即可 解答：（1）证明：C=90°，BAP=90° CBO+BOC=90°，ABP+APB=90°， 又CBO=ABP， BOC=APB， BOC=AOP， AOP=APB， AP=AO；来源:学.科.网来源:Z|xx|k.Com（2）证明：如图，过点 O 作 ODAB 于 D， CBO=ABP， CO=DO， AE=OC， AE=OD， AOD+OAD=90°，PAE+OAD=90°， AOD=PAE， 在AOD 和PAE 中，AODPAE（SAS） ，AEP=ADO=90° PEAO；（3）解：设 AE=OC=3k，AE= AC，AC=8k，OE=ACAEOC=2k， OA=OE+AE=5k 由（1）可知，AP=AO=5k 如图，过点 O 作 ODAB 于点 D， CBO=ABP，OD=OC=3k在 RtAOD 中，AD=4kBD=ABAD=104k ODAP，即解得 k=1， AB=10，PE=AD， PE=AD=4K，BD=ABAD=104k=6，OD=3 在 RtBDO 中，由勾股定理得：BO=3点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定