微分中值定理及洛必塔法则.ppt

4.1 4.1 中值定理中值定理4 4.1.1.1 1 中值定理中值定理4 4.1.1.2 2 洛必塔法则洛必塔法则如果函数如果函数 满足条件：满足条件：（1 1）在）在 上连续；上连续；（2 2）在）在 内可导；内可导；（3 3），则在区间内至少存在一点则在区间内至少存在一点 ，使，使定理定理4.14.1（罗尔定理）（罗尔定理）中值定理中值定理几何解释几何解释:例例设，在区间设，在区间显然满足罗尔定理前两个条件显然满足罗尔定理前两个条件.且且，即第三个条件也成立，即第三个条件也成立所以所以，令，解得，取令，解得，取 有有 例例1 1验证函数验证函数 在在区间区间 上满足罗尔定理的三个条件上满足罗尔定理的三个条件,并求出并求出满足满足 的的 解解 因因 是多项式是多项式,所以在所以在 上可导，故在上可导，故在 上连续，上连续，且在且在 可导可导.容易验证容易验证因此，因此，满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件.而而 练习一练习一下列函数在指定的区间上是否满足下列函数在指定的区间上是否满足罗尔定理的条件？如满足，就求出定理中的罗尔定理的条件？如满足，就求出定理中的 .定理定理4.24.2（拉格朗日（拉格朗日LagrangeLagrange定理）定理）则在区间内至少有一点，使得则在区间内至少有一点，使得.如果函数满足条件：如果函数满足条件：(1)(1)在在 上连续；上连续；(2)(2)在内可导；在内可导；几何解释几何解释:就是满足定理结论的点就是满足定理结论的点.还有下面两个推论：还有下面两个推论：推论推论1 1如果函数在区间内如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在任一点的导数都等于零，则在 内内是一个常数是一个常数.推论推论2 2如果函数与函数在区间如果函数与函数在区间内的导数处处相等，即，内的导数处处相等，即，则与在区间内只相差一个常数则与在区间内只相差一个常数.即即例例2 2验证函数验证函数 在区间在区间 上上满足拉格朗日定理满足拉格朗日定理.例例3 3证明：在区间证明：在区间 内内练习二练习二下列函数在指定的区间上是否满下列函数在指定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理中的中的 .定义定义如果当如果当(或或)时，两个时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在那么极限可能存在，也可能不存在.通常把这种极限称为或未定式。通常把这种极限称为或未定式。例如例如,洛必塔法则洛必塔法则(2)(2)与在点的某个领域内与在点的某个领域内(点可除外点可除外)可导，且；可导，且；(1)(1)，；，；(3)(3)（或）（或）1.1.型未定式型未定式定理定理4.44.4（洛必塔法则）（洛必塔法则）若函数与满足条件：若函数与满足条件：则（或）则（或）例例1 1求求 .解解当时，有和当时，有和，这是型未定式由洛必达法则，这是型未定式由洛必达法则例例2 2 求求 解解当时，有和当时，有和，这是型未定式，这是型未定式.由罗必达法则由罗必达法则当时，有和，当时，有和，仍是型未定式再用罗必达法则仍是型未定式再用罗必达法则例例3 3求求解解当时，有和当时，有和，这是型未定式，这是型未定式.由罗必达法则由罗必达法则(1)(1)，；(2)(2)与与 在点在点 的某个领域内的某个领域内(点点 可除外可除外)可导，且可导，且 ；1.1.型未定式型未定式定理定理4.54.5（洛必塔法则）（洛必塔法则）若函数与满足条件：若函数与满足条件：(3)(3)或或 .则或则或解解当时，有当时，有 和和，这是型未定式，这是型未定式.由罗必达法由罗必达法则则例例4 4求求例例5 5 求求 解解当时，有和当时，有和，这是型未定式由罗必达法则，这是型未定式由罗必达法则练习三练习三利用洛必达法则求下列极限利用洛必达法则求下列极限关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .步骤步骤:3.3.型未定式型未定式例例6 6解解例例7 7求求(型型)解解(已化为已化为 型型)例例8 8解解步骤步骤:例例9 9求型求型 .已化为已化为 型型解解例例1010解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件练习四练习四利用洛必达法则求下列极限利用洛必达法则求下列极限.三、小结三、小结:洛必达法则洛必达法则