高考数学直线平面垂直的判定及其性质课件ppt.ppt

第四节直线、平面垂直的判定及其性质(全国卷5年12考)获取更多免费资料以及获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：真题演练请关注公众号：安博志愿规划安博志愿规划【知识梳理知识梳理】1.1.直线与直线垂直直线与直线垂直(1)(1)定义定义:若两条直线相交于一点或经过平移后相交于若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点一点,并且交角为直角并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直则称这两条直线互相垂直.(2)(2)若一条直线垂直于一个平面若一条直线垂直于一个平面,则它就和平面内的任则它就和平面内的任意一条直线垂直意一条直线垂直.2.2.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)(1)定义定义:直线直线l与平面与平面内的内的_一一条直线都垂直条直线都垂直,就就说直线说直线l与平面与平面互相垂直互相垂直.任意任意(2)(2)判定定理与性质定理判定定理与性质定理:文字文字语语言言图图形形语语言言符号符号语语言言判判定定定定理理一条直一条直线线与一个平与一个平面内的两条面内的两条_直直线线都垂直都垂直,则该则该直直线线与此平面垂直与此平面垂直 l相交相交a,ba,b ab=Oab=Olaalbb文字文字语语言言图图形形语语言言符号符号语语言言性性质质定定理理垂直于同一个平面垂直于同一个平面的两条直的两条直线线_ ababaabb平行平行3.3.平面与平面垂直平面与平面垂直文字文字语语言言图图形形语语言言符号符号语语言言判判定定定定理理一个平面一个平面过过另一个平面另一个平面的的_,_,则则这这两个平面两个平面垂直垂直 垂线垂线ll文字文字语语言言图图形形语语言言符号符号语语言言性性质质定定理理两个平面垂直两个平面垂直,则则一个平面内一个平面内垂直于垂直于_的的直直线线与另一个与另一个平面垂直平面垂直 l 交线交线l=a=alaa【常用结论常用结论】1.1.若两平行线中的一条垂直于一个平面若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂则另一条也垂直于这个平面直于这个平面.2.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也它们的交线也垂直于第三个平面垂直于第三个平面.3.3.三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直射影垂直,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直.4.4.三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直那么它也和这条斜线的射影垂直.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(在括号内打在括号内打“”或或“”“”)设直线设直线m m与平面与平面相交但不垂直相交但不垂直,在平面在平面内有且只有一条直线与直线内有且只有一条直线与直线m m垂直垂直()过直线过直线m m有且只有一个平面与平面有且只有一个平面与平面垂直垂直()与直线与直线m m垂直的直线不可能与平面垂直的直线不可能与平面平行平行()与直线与直线m m平行的平面不可能与平面平行的平面不可能与平面垂直垂直()【解析解析】对于对于,在平面在平面内显然有无数条直线与直线内显然有无数条直线与直线m m垂直垂直,因此因此是错误的是错误的;对于对于,与直线与直线m m垂直的直线是垂直的直线是可以与平面可以与平面平行的平行的,因此因此不正确不正确;对于对于,与直线与直线m m平行的平面也有可能与平面平行的平面也有可能与平面垂直垂直,因此因此也不正确也不正确.对于对于,根据直线与平面垂直根据直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质知知正确正确.答案答案:2.2.已知直线已知直线m m和平面和平面,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是 ()A.A.若若,m,m,则则mmB.B.若若,m,m,则则mmC.C.若若,m,m,则则mmD.D.若若m,m,m,m,则则【解析解析】选选C.C.对于对于A,A,直线直线m m与平面与平面可能平行可能平行,可能在可能在内内,也可能是相交而不垂直也可能是相交而不垂直,所以所以A A错误错误;对于对于B,B,直线直线m m可能在可能在内内,所以所以B B错误错误;对于对于C,C,因为一条直线垂直于平因为一条直线垂直于平行平面中的一个行平面中的一个,它也和另一个平面垂直它也和另一个平面垂直,所以所以C C正确正确;对于对于D,D,两个平面可能相交两个平面可能相交,所以所以D D错误错误.3.3.设设,是两个不同的平面是两个不同的平面,m,m是一条直线是一条直线,给出下列给出下列命题命题:若若m,mm,m,则则;若若m,m,则则m.m.则则()A.A.都是假命题都是假命题B.B.是真命题是真命题,是假命题是假命题C.C.是假命题是假命题,是真命题是真命题D.D.都是真命题都是真命题【解析解析】选选B.B.如果一个平面经过另一个平面的一条垂如果一个平面经过另一个平面的一条垂线线,那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直,所以所以正确正确;若若m,m,则则m m与与不一定垂直不一定垂直,所以所以错误错误.题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修2P732P73练习练习T1T1改编改编)下列命题中不正确的是下列命题中不正确的是()A.A.如果平面如果平面平面平面,且直线且直线l平面平面,则直线则直线l平平面面B.B.如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内一定存在直线平内一定存在直线平行于平面行于平面C.C.如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面内一定不存内一定不存在直线垂直于平面在直线垂直于平面D.D.如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=,=l,那那么么l 【解析解析】选选A.A.根据面面垂直的性质根据面面垂直的性质,知知A A不正确不正确,直线直线l可能平行于平面可能平行于平面,也可能在平面也可能在平面内或与平面内或与平面相交相交.2.(2.(必修必修2P722P72探究改编探究改编)已知互相垂直的平面已知互相垂直的平面,交于交于直线直线l.若直线若直线m,nm,n满足满足m,n,m,n,则则()A.mA.mlB.mnB.mnC.nC.nlD.mnD.mn【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知,=,=l,所以所以l,因为因为n,n,所以所以nnl.3.(3.(必修必修2P79T12P79T1改编改编)如图如图1,1,四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,PD,PD平平面面ABCD,ABCD,平面平面PCDPCD平面平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图作如图2 2折折叠叠.沿沿EFEF折叠后点折叠后点P P在线段在线段ADAD上的点记为上的点记为M,M,并且并且EFDC,MFCF.EFDC,MFCF.(1)(1)证明证明:CF:CF平面平面MDF.MDF.(2)(2)求三棱锥求三棱锥M-CDEM-CDE的体积的体积.【解析解析】(1)(1)因为因为PDPD平面平面ABCD,PDABCD,PD 平面平面PCD,PCD,平面平面PCDPCD平面平面ABCD,ABCD,平面平面PCDPCD平面平面ABCD=CD,MDABCD=CD,MD 平面平面ABCD,MDCD,ABCD,MDCD,所以所以MDMD平面平面PCD,PCD,因为因为CFCF 平面平面PCD,PCD,所以所以MDCF.MDCF.因为因为CFMF,MD,MFCFMF,MD,MF 平面平面MDF,MDMF=M,MDF,MDMF=M,所以所以CFCF平面平面MDF.MDF.(2)(2)因为因为CFCF平面平面MDF,MDF,所以所以CFDF,CFDF,又易知又易知PCD=60,PCD=60,所以所以CDF=30,CDF=30,从而从而CF=CD=,CF=CD=,因为因为EFDC,EFDC,所以所以即即 所以所以DE=,DE=,所以所以PE=PE=所以所以S SCDECDE=CD=CDDE=,DE=,MD=MD=所以所以V VM-CDEM-CDE=S=SCDECDEMD=MD=考点一线面、面面垂直的判断真假问题考点一线面、面面垂直的判断真假问题【题组练透题组练透】1.1.已知直线已知直线l,m,m与平面与平面,满足满足=l,l,m,m,m,m,则必有则必有()A.A.且且mmB.B.且且C.mC.m且且lmmD.D.且且lmm【解析解析】选选D.D.因为因为m m,m,m,所以所以.因为因为=l,所以所以l,又因为又因为m,m,所以所以lm.m.2.2.给定下列四个命题给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行一个平面都平行,那么这两个平面相互平行那么这两个平面相互平行;若一个若一个平面经过另一个平面的垂线平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平若两个平面垂直面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直另一个平面也不垂直,其中其中,为真命题的是为真命题的是()A.A.和和B.B.和和C.C.和和D.D.和和【解析解析】选选D.D.对于对于当两条直线平行时当两条直线平行时,这两个平面可这两个平面可能不平行能不平行,所以所以错错;因为垂直于同一条直线的两条直因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行线可能平行,也可能相交也可能相交,还可能异面还可能异面,所以所以错错;由两由两个平面垂直的判定定理知个平面垂直的判定定理知正确正确,由两个平面垂直的性由两个平面垂直的性质定理知质定理知正确正确.3.3.已知已知,表示两个不同的平面表示两个不同的平面,m,m为平面为平面内的一条内的一条直线直线,则则“”是是“m”m”的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选B.B.由平面与平面垂直的判定定理知由平面与平面垂直的判定定理知:若若m m为为平面平面内的一条直线内的一条直线,m,m,则则,反过来则不一反过来则不一定定.所以所以“”是是“m”m”的必要不充分条件的必要不充分条件.4.4.如图如图,已知六棱锥已知六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF的底面是正六边形的底面是正六边形,PA,PA平面平面ABC,PA=2AB,ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是则下列结论正确的是()A.PBADA.PBADB.B.平面平面PABPAB平面平面PBCPBCC.C.直线直线BCBC平面平面PAEPAED.D.直线直线PDPD与平面与平面ABCABC所成的角为所成的角为4545【解析解析】选选D.D.若若PBAD,PBAD,因为因为PAPA平面平面ABC,ABC,所以所以PAAD,PAAD,所以所以ADAD平面平面PAB,PAB,所以所以ADAB,ADAB,矛盾所以矛盾所以A A错误错误,过点过点A A作作AMAM垂直于垂直于PB,PB,垂足为垂足为M,M,连接连接CM,CM,在直角三角形在直角三角形PABPAB中中,设设AB=1,AB=1,则则PA=2,PB=,AM=,BM=,PA=2,PB=,AM=,BM=,又因为又因为AC=,AC=,所以所以PC=,PC=,所以所以cosPBC=-,cosPBC=-,所以所以CM=,CM=,所以在所以在三角形三角形AMCAMC中中,cosAMC=-,cosAMC=-,所以所以AMAM与与MCMC不垂直不垂直,所以所以B B错误错误,因为在棱锥的底面内因为在棱锥的底面内,直线直线BCBC与直线与直线AEAE相交相交,所所以以BCBC与平面与平面PAEPAE相交相交,所以所以C C错误错误,在在RtPADRtPAD中中,PA=,PA=AD=2AB,AD=2AB,所以所以PDA=45.PDA=45.所以直线所以直线PDPD与平面与平面ABCABC所成的所成的角为角为45.45.5.5.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E为棱为棱CDCD的中点的中点,则则()A.AA.A1 1EDCEDC1 1B.AB.A1 1EBDEBDC.AC.A1 1EBCEBC1 1D.AD.A1 1EACEAC【解析解析】选选C.C.根据三垂线逆定理根据三垂线逆定理,平面内的直线垂直平平面内的直线垂直平面的一条斜线面的一条斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影那也垂直于斜线在平面内的射影,A.,A.若若A A1 1EDCEDC1 1,那么那么D D1 1EDCEDC1 1,很显然不成立很显然不成立;B.;B.若若A A1 1EBD,EBD,那那么么BDAE,BDAE,显然不成立显然不成立;C.;C.若若A A1 1EBCEBC1 1,那么那么BCBC1 1BB1 1C,C,成成立立,反过来反过来BCBC1 1BB1 1C C时时,也能推出也能推出A A1 1EBCEBC1 1,所以所以C C成立成立,D.,D.若若A A1 1EAC,EAC,则则AEAC,AEAC,显然不成立显然不成立.【规律方法规律方法】与线面垂直关系有关命题真假的判断方与线面垂直关系有关命题真假的判断方法法(1)(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)(2)寻找反例寻找反例,只要存在反例只要存在反例,结论就不正确结论就不正确.(3)(3)反复验证所有可能的情况反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性必要时要运用判定或性质定理进行简单说明质定理进行简单说明.【拓展拓展】反证法反证法:反证法是立体几何中常用的间接证明反证法是立体几何中常用的间接证明方法方法.其步骤是其步骤是:否定结论否定结论;进行推理进行推理;导出矛盾导出矛盾;肯定结论肯定结论.用反证法证题要注意用反证法证题要注意:是否能用反证法是否能用反证法;命题结论的反面情况有几种命题结论的反面情况有几种.考点二直线、平面垂直的判定与性质考点二直线、平面垂直的判定与性质【典例典例】1.1.如图如图,在四棱锥在四棱锥S-ABCDS-ABCD中中,侧面侧面SADSAD底面底面ABCD,SA=SD,ADBC,AD=2BC=2CD,M,NABCD,SA=SD,ADBC,AD=2BC=2CD,M,N分别为分别为AD,AD,SDSD的中点的中点.(1)(1)求证求证:SB:SB平面平面CMN.CMN.(2)(2)求证求证:BD:BD平面平面SCM.SCM.【证明证明】(1)(1)设设BDBD与与CMCM交于点交于点O,O,连接连接ON,BM.ON,BM.因为因为AD=2BC,AD=2BC,且且ADBC,MADBC,M为为ADAD的中点的中点,所以所以MD=BC,MD=BC,且且MDBC,MDBC,所以四边形所以四边形BCDMBCDM为平行四边形为平行四边形,所以点所以点O O为为BDBD的中点的中点,又又因为点因为点N N为为SDSD的中点的中点,所以所以SBON,SBON,又因为又因为ONON 平面平面CMN,SBCMN,SB 平面平面CMN,CMN,所以所以SBSB平面平面CMN.CMN.(2)(2)因为因为SA=SD,SA=SD,且点且点M M为为ADAD的中点的中点,所以所以SMAD,SMAD,又因为又因为侧面侧面SADSAD底面底面ABCD,ABCD,所以所以SMSM底面底面ABCD,ABCD,所以所以SMBD,SMBD,因为在平行四边形因为在平行四边形BCDMBCDM中中,BC=CD,BC=CD,所以所以CMBD.CMBD.又因为又因为CMCM与与SMSM相交于点相交于点M,M,所以所以BDBD平面平面SCM.SCM.2.2.如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,D,E,D,E分别为分别为AB,BCAB,BC的中的中点点,点点F F在侧棱在侧棱B B1 1B B上上,且且B B1 1DADA1 1F,AF,A1 1C C1 1AA1 1B B1 1.求证求证:(1):(1)直线直线DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.(2)(2)平面平面B B1 1DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.【证明证明】(1)(1)在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,ACA,ACA1 1C C1 1,在三角在三角形形ABCABC中中,因为因为D,ED,E分别为分别为AB,BCAB,BC的中点的中点.所以所以DEAC,DEAC,于于是是DEADEA1 1C C1 1,又因为又因为DEDE 平面平面A A1 1C C1 1F,AF,A1 1C C1 1 平面平面A A1 1C C1 1F,F,所以所以直线直线DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.(2)(2)在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,AA,AA1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1,因为因为A A1 1C C1 1 平面平面A A1 1B B1 1C C1 1,所以所以AAAA1 1AA1 1C C1 1,又因为又因为A A1 1C C1 1AA1 1B B1 1,A,A1 1B B1 1AAAA1 1=A=A1 1,AA,AA1 1 平面平面ABBABB1 1A A1 1,A A1 1B B1 1 平面平面ABBABB1 1A A1 1,所以所以A A1 1C C1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1,因为因为B B1 1D D 平面平面ABBABB1 1A A1 1,所以所以A A1 1C C1 1BB1 1D,D,又因为又因为B B1 1DADA1 1F,AF,A1 1C C1 1AA1 1F=AF=A1 1,A,A1 1C C1 1 平面平面A A1 1C C1 1F,AF,A1 1F F 平平面面A A1 1C C1 1F,F,所以所以B B1 1DD平面平面A A1 1C C1 1F,F,因为直线因为直线B B1 1D D 平面平面B B1 1DE,DE,所以所以平面平面B B1 1DEDE平面平面A A1 1C C1 1F.F.【误区警示误区警示】(1)(1)证明线面垂直时证明线面垂直时,易忽视面内两条线易忽视面内两条线为相交线这一条件为相交线这一条件.(2).(2)面面垂直的判定定理中面面垂直的判定定理中,直线在直线在面内且垂直于另一平面易忽视面内且垂直于另一平面易忽视.(3).(3)面面垂直的性质定面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误失误.【规律方法规律方法】1.1.线面垂直的证明方法线面垂直的证明方法(1)(1)线面垂直的定义线面垂直的定义.(2)(2)线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理.(3)(3)面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理.2.2.证面面垂直的思路证面面垂直的思路(1)(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.(2)(2)条件中告诉我们某种位置关系条件中告诉我们某种位置关系,就要联系到相应的就要联系到相应的性质定理性质定理,如已知两平面互相垂直如已知两平面互相垂直,我们就要联系到两我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理平面互相垂直的性质定理.(3)(3)在垂直关系的证明中在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心线线垂直是问题的核心,可以可以根据已知的平面图形通过计算的方式根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理如勾股定理)证证明线线垂直明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.【对点训练对点训练】如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PD,PD平面平面ABCD,ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90.PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90.(1)(1)求证求证:PCBC.:PCBC.(2)(2)求点求点A A到平面到平面PBCPBC的距离的距离.【解析解析】(1)(1)因为因为PDPD平面平面ABCD,BCABCD,BC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以PDBC.PDBC.因为因为BCD=90,BCD=90,所以所以CDBC,CDBC,又又PDDC=D,PDDC=D,PD,DCPD,DC 平面平面PCD,PCD,所以所以BCBC平面平面PCD.PCD.因为因为PCPC 平面平面PCD,PCD,故故PCBC.PCBC.(2)(2)分别取分别取AB,PCAB,PC的中点的中点E,F,E,F,连接连接DE,DF,DE,DF,则易证则易证DECB,DEDECB,DE平面平面PBC,PBC,所以点所以点D,ED,E到平面到平面PBCPBC的距离相等的距离相等,又点又点A A到平面到平面PBCPBC的距离等于点的距离等于点E E到平面到平面PBCPBC的距离的的距离的2 2倍倍,由由(1)(1)知知,BC,BC平面平面PCD,PCD,所以平面所以平面PBCPBC平面平面PCD,PCD,因为因为PD=DC,PF=FC,PD=DC,PF=FC,所以所以DFPC,DFPC,因为平面因为平面PCDPCD平面平面PBC=PC.PBC=PC.所以所以DFDF平面平面PBCPBC于点于点F.F.易知易知DF=,DF=,故点故点A A到平面到平面PBCPBC的距离等于的距离等于 .【一题多解一题多解】(2)(2)等体积法等体积法:连接连接AC,AC,设点设点A A到平面到平面PBCPBC的的距离为距离为h,h,因为因为ABDC,BCD=90,ABDC,BCD=90,所以所以ABC=90.ABC=90.由由AB=2,BC=1,AB=2,BC=1,得得ABCABC的面积的面积S SABCABC=1.=1.由由PDPD平面平面ABCDABCD及及PD=1,PD=1,得三棱锥得三棱锥P-ABCP-ABC的体积的体积V=V=S SABCABCPD=.PD=.因为因为PDPD平面平面ABCD,DCABCD,DC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以PDDC,PDDC,又又PD=DC=1,PD=DC=1,所以所以PC=PC=由由PCBC,BC=1,PCBC,BC=1,得得PBCPBC的面积的面积S SPBCPBC=,=,由由V VA-PBCA-PBC=V=VP-ABCP-ABC得得,S,SPBCPBCh=,h=,得得h=,h=,故点故点A A到到平面平面PBCPBC的距离等于的距离等于 .考点三垂直的综合应用问题考点三垂直的综合应用问题【明考点明考点知考法知考法】重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面重点考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直的判定与性质及其应用的垂直的判定与性质及其应用,是高考的重点内容是高考的重点内容,属属于中档题于中档题.命题角度命题角度1 1 垂直关系中的取值范围问题垂直关系中的取值范围问题【典例典例】在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,底面底面ABCDABCD是直角梯形是直角梯形,ADBC,ABBC,ADBC,ABBC,侧面侧面PABPAB底面底面ABCD,ABCD,若若PA=AD=AB=PA=AD=AB=kBC(0k1),kBC(0k1),则当则当k k的值为的值为_时时,平面平面BPCBPC平面平面PCD.PCD.【解析解析】猜测猜测k=,k=,下面验证下面验证:分别取分别取PB,PCPB,PC的中点为的中点为M,N,M,N,连接连接MN,MN,由平面由平面PABPAB平面平面ABCD,BCAB,ABCD,BCAB,可知可知BCBC平面平面PAB,PAB,所以所以BCAM.BCAM.又点又点M M为为PBPB的中点的中点,PA=AB,PA=AB,所以所以AMPB.AMPB.可得可得AMAM平面平面PBC,PBC,而而ADBCADBC且且AD=BC,AD=BC,同时同时MNBCMNBC且且MN=BC,MN=BC,所以所以ADMNADMN且且AD=MN,AD=MN,则四边形则四边形ADNMADNM为平行四边形为平行四边形,可得可得AMDN,AMDN,则则DNDN平面平面BPC.BPC.又因为又因为DNDN 平面平面PCD,PCD,所以平面所以平面BPCBPC平面平面PCD.PCD.答案答案:【状元笔记状元笔记】立体几何中的取值范围问题的解法立体几何中的取值范围问题的解法:解决立体几何中的取值范围或求变量的值的问题解决立体几何中的取值范围或求变量的值的问题,常常常常借助空间中的垂直关系构造直角三角形借助空间中的垂直关系构造直角三角形,引进变量引进变量,构构造函数求范围造函数求范围,或者考查边界的情景或者考查边界的情景,求得范围求得范围.命题角度命题角度2 2 求点到平面的距离求点到平面的距离【典例典例】如图如图,BCD,BCD与与MCDMCD都是边长为都是边长为2 2的正三角形的正三角形,平面平面MCDMCD平面平面BCD,ABBCD,AB平面平面BCD,AB=2 .BCD,AB=2 .求点求点A A到平到平面面MBCMBC的距离的距离.【解析解析】取取CDCD的中点的中点O,O,连接连接OB,OM,OB,OM,则则OB=OM=,OB=OM=,OBCD,MOCD.OBCD,MOCD.又平面又平面MCDMCD平面平面BCD,BCD,则则MOMO平面平面BCD,BCD,所以所以MOAB,MOAB,MOMO平面平面ABC,ABC,所以点所以点M,OM,O到平面到平面ABCABC的距离相等的距离相等.作作OHBCOHBC于点于点H,H,连接连接MH,MH,则则MHBC.MHBC.求得求得OH=OCOH=OCcos 30=,cos 30=,MH=MH=设点设点A A到平面到平面MBCMBC的距离为的距离为d,d,由由V VA-MBCA-MBC=V=VM-ABCM-ABC得得 S SMBCMBCd=d=S SABCABCOH.OH.即即 解得解得d=d=【状元笔记状元笔记】求点到平面的距离的两种方法求点到平面的距离的两种方法:按照定义需要找到这点到平面的垂线段按照定义需要找到这点到平面的垂线段,不好找垂不好找垂足时足时,可以利用等体积法转化为方程问题求解可以利用等体积法转化为方程问题求解.【对点练对点练找规律找规律】1.1.已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1,若过若过ABAB1 1与与BCBC1 1平行的平面交平行的平面交上底面上底面A A1 1B B1 1C C1 1的边的边A A1 1C C1 1于点于点D.D.(1)(1)确定点确定点D D的位置的位置,并证明你的结论并证明你的结论.(2)(2)证明证明:平面平面ABAB1 1DD平面平面AAAA1 1D.D.【解析解析】(1)(1)点点D D为为A A1 1C C1 1的中点的中点,证明如下证明如下:连接连接A A1 1B B交交ABAB1 1于点于点O,O,连接连接OD.OD.因为因为BCBC1 1平面平面ABAB1 1D,BCD,BC1 1 平面平面A A1 1BCBC1 1,平面平面ABAB1 1DD平面平面A A1 1BCBC1 1=DO,=DO,所以所以BCBC1 1DO,DO,所以点所以点D D为为A A1 1C C1 1的中点的中点.(2)(2)因为在正三棱柱因为在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,三角形三角形A A1 1B B1 1C C1 1为正三为正三角形角形,所以所以B B1 1DADA1 1C C1 1.又平面又平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1,平面平面A A1 1B B1 1C C1 1平面平面ACCACC1 1A A1 1=A=A1 1C C1 1.所以所以B B1 1DD平面平面ACCACC1 1A A1 1,又又B B1 1D D 平面平面ABAB1 1D,D,所以平面所以平面ABAB1 1DD平面平面AAAA1 1D.D.2.2.在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,底面底面ABCDABCD为矩形为矩形,PA,PA底面底面ABCD,ABCD,PA=AB=,PA=AB=,求点求点D D到平面到平面PBCPBC的距离的距离.【解析解析】如图取点如图取点E E为棱为棱PBPB的中点的中点.连接连接AE,AE,因为因为PAPA底面底面ABCD,PA=AB=,ABCD,PA=AB=,所以所以AE=PBAE=PB=.=.因为底面因为底面ABCDABCD为矩形为矩形,所以所以BCAB.BCAB.又因为又因为BCPA,BCPA,PAAB=A,PAAB=A,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB,所以所以BCAE.BCAE.因为因为AEPB,BCPB=B,AEPB,BCPB=B,所以所以AEAE平面平面PBC,PBC,所以所以AEAE的长就是点的长就是点A A到平面到平面PBCPBC的距离的距离,因为底面因为底面ABCDABCD为矩形为矩形,所以所以DABC,DABC,所以所以DADA平面平面PBC,PBC,所以点所以点D D到平面到平面PBCPBC的距离等于点的距离等于点A A到平面到平面PBCPBC的距离的距离,所所以点以点D D到平面到平面PBCPBC的距离为的距离为 .思想方法系列思想方法系列1717垂直关系的判断与证明垂直关系的判断与证明【思想诠释思想诠释】在证明垂直关系时在证明垂直关系时,利用判定和性质定理相互转化利用判定和性质定理相互转化,将立体几何转化为平面几何解决问题将立体几何转化为平面几何解决问题.转化如下转化如下:【典例典例】如图如图,在正方体在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中.(1)(1)求证求证:BD:BD平面平面ABC.ABC.(2)(2)求证求证:BD:BD与平面与平面ABCABC的交点的交点H H是是ABCABC的重的重心心(三角形三条中线的交点三角形三条中线的交点)(1)(1)(2)(2)【证明证明】(1)(1)连接连接AB,BC,AB,BC,由正方体由正方体ACAC得得ADAD平面平面ABBA,ABBA,因为因为ABAB 平面平面ABBA,ABBA,所以所以ADAB.ADAB.因为因为ABAB,ADAB=A,ABAB,ADAB=A,所以所以ABAB平面平面ADB,ADB,因为因为BDBD 平面平面ADB,ADB,所以所以ABBD,ABBD,同理同理BCBD.BCBD.因为因为ABBC=B,ABBC=B,所以所以BDBD平面平面ABC.ABC.(2)(2)连接连接AH,CH,BH,AH,CH,BH,因为因为AB,BC,ACAB,BC,AC均为正方体的面对角线均为正方体的面对角线,所以所以AB=BC=AC,AB=BC=AC,所以所以ABCABC为正三角形为正三角形.由由(1)(1)知知BDBD平面平面ABC,ABC,又因为又因为AB=CB=BB,AB=CB=BB,所以所以AH=CH=BH,HAH=CH=BH,H为为ABCABC的外心的外心,由正三角形四心合一知由正三角形四心合一知H H也为也为ABCABC的重心的重心.【技法点拨技法点拨】线线、线面、面面垂直关系的转化线线、线面、面面垂直关系的转化,是垂直问题的常用是垂直问题的常用方法方法,熟记三者之间的推出关系熟记三者之间的推出关系.【即时训练即时训练】如图如图,三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC中中,PA,PA平面平面ABC,ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)(1)求三棱锥求三棱锥P-ABCP-ABC的体积的体积.(2)(2)在线段在线段PCPC上是否存在点上是否存在点M,M,使得使得ACBM,ACBM,若存在点若存在点M,M,求出求出 的值的值;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知AB=1,AC=2,BAC=60,AB=1,AC=2,BAC=60,可得可得S SABCABC=ABABACACsin 60=.sin 60=.由由PAPA平面平面ABC,ABC,可知可知PAPA是三棱锥是三棱锥P-ABCP-ABC的高的高.又又PA=1,PA=1,所所以三棱锥以三棱锥P-ABCP-ABC的体积的体积V=V=S SABCABCPA=.PA=.(2)(2)在平面在平面ABCABC内内,过点过点B B作作BNAC,BNAC,垂足为垂足为N.N.在平面在平面PACPAC内内,过点过点N N作作MNPAMNPA交交PCPC于点于点M,M,连接连接BM.BM.由由PAPA平面平面ABCABC知知PAAC,PAAC,所以所以MNAC.MNAC.由于由于BNMN=N,BNMN=N,故故ACAC平面平面MBN.MBN.又又BMBM 平面平面MBN,MBN,所以所以ACBM.ACBM.在在RtBANRtBAN中中,AN=AB,AN=ABcos BAC=,cos BAC=,从而从而NC=AC-AN=.NC=AC-AN=.由由MNPA,MNPA,得得