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认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目高等量子力学教学时数：教学时数：418=72学时学时使用对象：硕士研究生使用对象：硕士研究生使用教材：喀兴林使用教材：喀兴林 主编主编高等量子力学高等量子力学1认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第一章第一章 希尔伯特空间希尔伯特空间1 矢量空间矢量空间1.1 定义定义考虑无穷多个同类的数学对象的集合考虑无穷多个同类的数学对象的集合如果它们之间满足一定的运算要求，则其构如果它们之间满足一定的运算要求，则其构成一个矢量空间。成一个矢量空间。加法运算加法运算集合中任意两个矢量相加都能得到集合中的集合中任意两个矢量相加都能得到集合中的另一个矢量，即另一个矢量，即一、矢量空间中矢量的运算2认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目加法规则视不同对象可以不同。但一定要加法规则视不同对象可以不同。但一定要满足下列四个条件满足下列四个条件1.交换律交换律2.结合律结合律3.单位元存在单位元存在4.逆元存在逆元存在O为零矢量为零矢量并把并把 记为记为3认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目数乘运算数乘运算集合内任一矢量可以与数（实数或复数）集合内任一矢量可以与数（实数或复数）相乘，得出集合内的另一矢量。相乘，得出集合内的另一矢量。（一般把数写在矢量后面）（一般把数写在矢量后面）数乘满足下列四个条件数乘满足下列四个条件1.单位元单位元2.结合律结合律3.第一分配律第一分配律4.第二分配律第二分配律4认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目内积运算内积运算两个矢量可以作内积得出一个数，记作两个矢量可以作内积得出一个数，记作在实数域（复数域）上的矢量，其内积是在实数域（复数域）上的矢量，其内积是实数（复数）。内积与两个因子的次序有实数（复数）。内积与两个因子的次序有关。内积规则要满足下列四个条件关。内积规则要满足下列四个条件1.复共轭复共轭2.分配律分配律3.因子结合律因子结合律4.自内积自内积对任意对任意 有有若若5认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 内积空间的完全性内积空间的完全性 如果对给定任意小的实数如果对给定任意小的实数 ,有数有数N存存在。当在。当 时，有时，有那么可以定义空间的完全性：那么可以定义空间的完全性：我们把具有加法和数乘两种运算并满足我们把具有加法和数乘两种运算并满足各自条件的矢量集合称为各自条件的矢量集合称为矢量空间或线性矢量空间或线性空间空间。具有加法、数乘和内积三种运算的空间称具有加法、数乘和内积三种运算的空间称为为内积空间内积空间。6认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 这样完全的内积空间是指在这样完全的内积空间是指在Cauchy意义下，意义下，内积空间中的序列内积空间中的序列 的极限的极限也在内积空间中。也在内积空间中。完全的内积空间称为希尔伯特完全的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间。空间。本章中，矢量空间通常指在复数域上的本章中，矢量空间通常指在复数域上的内积空间。内积空间。空间中任意在空间中任意在Cauchy意义下收敛的序列意义下收敛的序列 的极限也必须在此空间中。的极限也必须在此空间中。7认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、矢量空间的简单性质1.1.零矢量是唯一的零矢量是唯一的证明证明设空间中有二零矢量设空间中有二零矢量O1，O2，则，则将第一式中将第一式中 ，第二式中第二式中 ，则，则利用加法交换律，有利用加法交换律，有所以零矢量是唯一的。所以零矢量是唯一的。8认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目这样这样故逆元是唯一的。故逆元是唯一的。2.2.每个矢量的逆元是唯一的每个矢量的逆元是唯一的 证明证明设设 中有两个逆元中有两个逆元 ，则有，则有3.3.4.4.5.5.9认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目注意数和矢量的写法注意数和矢量的写法6.6.若若 ，那么，那么 或或 证明证明 当当 时显然成立；时显然成立；当当 时，必有时，必有因为因为(由由5知知)而且而且 （数乘结合律，单位元）（数乘结合律，单位元）所以所以故若故若或或10认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、矢量空间举例三、矢量空间举例1.有理数域上的矢量空间有理数域上的矢量空间数学对象为所有正负有理数和零数学对象为所有正负有理数和零 因为有理数相加和相乘都是有理数，故这个空间是封闭的因为有理数相加和相乘都是有理数，故这个空间是封闭的所得结果仍在此空间中。所得结果仍在此空间中。加法：算术中的加法加法：算术中的加法数乘：数乘：a为有理数的乘法为有理数的乘法内积：因子是算术乘积内积：因子是算术乘积但注意以下序列但注意以下序列所以，有理数域的空间并非完全的内积空间。所以，有理数域的空间并非完全的内积空间。每项都在上述空间中。但当每项都在上述空间中。但当 时，时，这是一个无理数，不在有理数空间内。这是一个无理数，不在有理数空间内。11认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.位置矢量空间位置矢量空间 数学对象为数学对象为 3D位形空间中由一点引出的不同方向，位形空间中由一点引出的不同方向，不同长短的线段的全体。不同长短的线段的全体。规定规定（1）加法：平行四边形法则）加法：平行四边形法则 （2）数乘：方向不变，长度乘以）数乘：方向不变，长度乘以a （3）内积：两矢量点乘积）内积：两矢量点乘积这是一个实数域上的内积空间。这是一个实数域上的内积空间。3.复矩阵复矩阵 数学对象为数学对象为 一组有次序的复数。如四个数写成列阵一组有次序的复数。如四个数写成列阵12认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定义加法、数乘和内积分别为定义加法、数乘和内积分别为这是一个复数域上的内积空间。这是一个复数域上的内积空间。13认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目4.4.复函数复函数这样的函数全体构成一个内积空间这样的函数全体构成一个内积空间-函数空间。函数空间。不同的函数都是此空间中的矢量。不同的函数都是此空间中的矢量。数学对象为在数学对象为在 区间定义的实变量区间定义的实变量x的的“行行为较好为较好”的复函数的复函数f(x)的全体的全体,而且都是平方可积的。而且都是平方可积的。定义加法和数乘都是代数中的相应运算。规定两个定义加法和数乘都是代数中的相应运算。规定两个函数函数 f(x),g(x)的内积为的内积为14认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1.2 正交性和模正交性和模一、正交归一性一、正交归一性1.正交：正交：2.模方：模方：矢量矢量 同它自己的内积同它自己的内积 是一个大于是一个大于0的实数，称为矢量的实数，称为矢量 的模方。记作的模方。记作模方的正平方根称为模，记作模方的正平方根称为模，记作 ，又称作，又称作矢量矢量 的长度。的长度。若干矢量若干矢量 和和 的内积满足关系的内积满足关系 则称矢量则称矢量 和和 正交。正交。3.归一化矢量：归一化矢量：模等于模等于1的矢量称为归一化的矢量称为归一化矢量。矢量。15认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目即有即有1.Schwartz不等式不等式二、与模有关的基本关系二、与模有关的基本关系对于任意矢量对于任意矢量 和和 ，有，有 证证 给定给定 和和 后，构造一个矢量后，构造一个矢量 作作 的模方，则的模方，则 16认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目因为因为（等于（等于0 0是不允许的，为什么？）是不允许的，为什么？）所以有所以有即即得证。得证。17认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.三角形不等式三角形不等式对于任意矢量对于任意矢量 和和 ，有，有 证证 因为对任意复数因为对任意复数a，有，有取取 ，利用上述关系和，利用上述关系和Schwartz不等式，有不等式，有所以所以即即得证。得证。18认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 只要有一组不全为只要有一组不全为 0 的复数的复数 ai 存在使得上式成存在使得上式成立，则这一组矢量线性相关。立，则这一组矢量线性相关。意义：任一线性相关的非零矢量都可以表为其余矢意义：任一线性相关的非零矢量都可以表为其余矢量的线性叠加。量的线性叠加。1.线性无关线性无关 矢量空间中有限个矢量的集合矢量空间中有限个矢量的集合 ，若式，若式 只有当复数只有当复数 全为零时才成立，则矢量全为零时才成立，则矢量 是线性无是线性无关的。关的。1.3 基矢基矢（1）定义定义：19认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 对无穷个矢量集合，若任意有限的子集合都是线对无穷个矢量集合，若任意有限的子集合都是线性无关的，则整个集合就是线性无关的。性无关的，则整个集合就是线性无关的。（2）完全集完全集 一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关的矢量集合，比如的矢量集合，比如其中其中 是一组复数。是一组复数。如果一个空间中有一个线性无关的矢量集如果一个空间中有一个线性无关的矢量集但还不是完全集。但还不是完全集。这个空间中的每一个矢量这个空间中的每一个矢量 都能写成形式都能写成形式20认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目现在将一个不能表为其线性叠加的一个矢量现在将一个不能表为其线性叠加的一个矢量加进去，此集合变为加进去，此集合变为看任意矢量看任意矢量 能否写成能否写成否则，继续在集合中增加线性无关矢量，直到上否则，继续在集合中增加线性无关矢量，直到上述条件满足。述条件满足。如能写成，则上述如能写成，则上述 个矢量构成完全集。个矢量构成完全集。如能做到这一点，则此矢量空间是有限维的。如能做到这一点，则此矢量空间是有限维的。否则就是无穷维的。否则就是无穷维的。21认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（3）有限维空间中的维数定理有限维空间中的维数定理定理：在有限维空间内各种不同的完全集中所含定理：在有限维空间内各种不同的完全集中所含 矢量的数目是相同的。矢量的数目是相同的。证明证明（反证法）（反证法）假设一矢量空间中有两组数目不同的完全集假设一矢量空间中有两组数目不同的完全集个个将将 加入到加入到 中，成为中，成为因为因为 已经是线性无关的，故此集合必然已经是线性无关的，故此集合必然是是线性相关的。线性相关的。所以有所以有22认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目既然集合既然集合 是线性相关的，必然是线性相关的，必然存在这样一个问题：存在这样一个问题：线性无关线性无关线性无关线性无关线性无关线性无关每次增加一个每次增加一个 ，一开始它们是线性无关的。，一开始它们是线性无关的。必然有一个数必然有一个数 ，在加入，在加入 之后，集合之后，集合开始为线性相关了，即开始为线性相关了，即线性无关线性无关线性相关线性相关23认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性相关线性相关现在把现在把 去掉，加入去掉，加入 ，使集合成为使集合成为问题：问题：此集合中的矢量是线性相关还是线性无关？此集合中的矢量是线性相关还是线性无关？线性相关？线性相关？能表成能表成 的线性叠加的线性叠加但但从而可推出从而可推出这与这与 是完全集相矛盾。是完全集相矛盾。所以所以 是线性无关的。是线性无关的。同理同理 也是线性无关的。也是线性无关的。24认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目下一个问题：集合下一个问题：集合 是否完全的？是否完全的？已经知道，空间中的任矢量可表成已经知道，空间中的任矢量可表成的线性叠加，但的线性叠加，但 又能表为又能表为 的叠加，的叠加，故此矢量肯定可表成故此矢量肯定可表成的线性叠加的线性叠加所以说集合所以说集合 是完全的。是完全的。至此，我们证明了在完全集至此，我们证明了在完全集 中加入一个中加入一个 必能顶必能顶掉某一个掉某一个 ，而仍能保持为完全集，而且只能顶掉一，而仍能保持为完全集，而且只能顶掉一个。不能再多，否则就不完全了。个。不能再多，否则就不完全了。25认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目现在我们在新的完全集现在我们在新的完全集 中加入一个中加入一个 ，又顶掉某一个，又顶掉某一个 。想一下，如果想一下，如果 少少 多，即多，即 ，会出现什么情况？，会出现什么情况？全部全部 用完后，仍有部分用完后，仍有部分 未被顶掉。未被顶掉。换句话说，换句话说，要加入一些要加入一些 才是完全集。才是完全集。这与这与 本身就是完全集相矛盾。本身就是完全集相矛盾。所以所以 是不可能的。是不可能的。26认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目故只有一种可能故只有一种可能如果如果 多多 少，即少，即 ，那么把全部，那么把全部 顶掉后顶掉后还有一些还有一些 没有用到，这就是说没有用到，这就是说 中的一部分中的一部分就是完全集，也与就是完全集，也与 是完全集相矛盾。是完全集相矛盾。也是不可能的。也是不可能的。所以所以所以，每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所以，每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所包含矢量的数目是相同的。所包含矢量的数目是相同的。这个数目称为矢量空间的维数。这个数目称为矢量空间的维数。27认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.基矢基矢（1）概念概念 一个矢量空间中可以有多组完全集，而正交归一个矢量空间中可以有多组完全集，而正交归一的完全集称为这个空间的一组基矢。一的完全集称为这个空间的一组基矢。显然，一个空间能有不同的多组基矢。显然，一个空间能有不同的多组基矢。n 维空间的一组基矢维空间的一组基矢 的正交归一性的正交归一性可以写为可以写为 如何构造或寻找一组基矢？如何构造或寻找一组基矢？28认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（2）寻找基矢的方法寻找基矢的方法-Schmidt正交化方法正交化方法 一个矢量空间，只要知道它的一个完全集，总一个矢量空间，只要知道它的一个完全集，总可以找到一组基矢。可以找到一组基矢。设设 n 维空间有一组不满足正交归一条件的完全维空间有一组不满足正交归一条件的完全集集 ，现在求此空间的一组基矢，现在求此空间的一组基矢 1）首先取首先取 为归一化了的为归一化了的 ：2）取取 ，选择常数，选择常数 使使 与与 正交正交 即即 29认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目由此得由此得取取 为归一化了的为归一化了的 ：这样这样 是正交归一的，可以用来代替是正交归一的，可以用来代替 。3）取取 ，选择常数，选择常数 使使 与与 都正交，同样可得都正交，同样可得 归一化了的归一化了的 为为30认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目4）如此继续下去，若已找到如此继续下去，若已找到 m 个个 ，即，即 则则 为为 而归一化了的而归一化了的 为为5）最后总可以找到一组基矢最后总可以找到一组基矢 31认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（3）关于基矢的重要定理关于基矢的重要定理-完全性定理完全性定理 如果如果 是矢量空间中一组是矢量空间中一组n个正交归个正交归一的矢量，则下面的四个命题是互为等价的：一的矢量，则下面的四个命题是互为等价的：1）是空间的一组基，即空间是是空间的一组基，即空间是 n 维的；维的；2）对对空间的一切矢量空间的一切矢量 成立；成立；3）对对空间的一切矢量空间的一切矢量 成立，此式称为成立，此式称为Parseval等式；等式；4）对对空间的一切矢量空间的一切矢量 成立。成立。32认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1.子空间的定义子空间的定义1.4 子空间子空间 一个矢量空间一个矢量空间R，若其中一个矢量的集合，若其中一个矢量的集合S在原空在原空间的运算定义下又构成一个矢量空间，那么间的运算定义下又构成一个矢量空间，那么S称为称为R的子空间，的子空间，R称为相应的大空间。称为相应的大空间。子空间的维数小于或等于大空间的维数。子空间的维数小于或等于大空间的维数。RS33认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.补空间的定义补空间的定义 大空间中与子空间大空间中与子空间S所有矢量都正交的那些矢量所有矢量都正交的那些矢量全体也构成一个矢量空间全体也构成一个矢量空间(为另一子空间为另一子空间)，称为子，称为子空间空间S的补空间的补空间C。RSC 显然，子空间显然，子空间S中任一矢量同其补空间中任一矢量同其补空间C中任一矢中任一矢量都是正交的。量都是正交的。34认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 一个子空间同它的补空间只有一个共同元，那就一个子空间同它的补空间只有一个共同元，那就是零矢量。是零矢量。3.维数关系维数关系 设大空间的维数为设大空间的维数为n，其一子空间的维数为，其一子空间的维数为s。则则S的补空间的维数为的补空间的维数为n-s。证明证明S既然是既然是 s 维的，其中必然存在一组维的，其中必然存在一组s个基矢个基矢 ，这些基矢也是大空间的矢量。，这些基矢也是大空间的矢量。在大空间中这在大空间中这 s 个矢量之外，还能找出个矢量之外，还能找出 n-s 个归一化的矢量，这些矢量与上述个归一化的矢量，这些矢量与上述 s 个矢量个矢量一起构成大空间的一组基矢。一起构成大空间的一组基矢。35认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目后来找出的这后来找出的这(n-s)基矢构成一个子空间基矢构成一个子空间,这就是这就是S的补空间的补空间,由此证明了由此证明了S的补空间是的补空间是(n-s)维的。维的。后一组的数目不能比后一组的数目不能比 n-s 多，也不能少，因为多，也不能少，因为多或少都与大空间是多或少都与大空间是 n 维这一点矛盾。维这一点矛盾。由于由于(n-s)个基矢与个基矢与S中的中的s个基矢都正交，所以个基矢都正交，所以补空间中的任一矢量与子空间中的任一矢量都补空间中的任一矢量与子空间中的任一矢量都是正交的。是正交的。36认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一一.右矢空间和左矢空间右矢空间和左矢空间1.5 右矢和左矢右矢和左矢1.右矢和左矢右矢和左矢 根据前面的定义，两矢量根据前面的定义，两矢量 的内积的内积 是与是与两矢量的位置有关的。内积对于右因子两矢量的位置有关的。内积对于右因子 是线性的。是线性的。即若即若a为复数，有为复数，有而对于左因子，而对于左因子，是非线性的，即是非线性的，即可见，一个矢量作为左因子和右因子地位的不同的。可见，一个矢量作为左因子和右因子地位的不同的。为方便起见，引进狄拉克记号为方便起见，引进狄拉克记号37认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.右矢空间和左矢空间右矢空间和左矢空间单一空间：单一空间：满足矢量的加法、数乘和内积三种运算的空间。满足矢量的加法、数乘和内积三种运算的空间。右矢空间：右矢空间：这些右矢有加法和数乘的运算，其定义和规则这些右矢有加法和数乘的运算，其定义和规则与单一空间相同，服从下列八个条件：与单一空间相同，服从下列八个条件：每一矢量都与单一空间里的矢量相对应。与单一每一矢量都与单一空间里的矢量相对应。与单一空间中空间中 对应的矢量是右矢对应的矢量是右矢 。条件（条件（1）交换律）交换律条件（条件（2）结合律）结合律38认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 满足上述定义和条件的矢量构成的空间叫右矢满足上述定义和条件的矢量构成的空间叫右矢空间。空间。条件（条件（3）零矢量）零矢量条件（条件（4）逆元）逆元条件（条件（5）数乘单位元）数乘单位元条件（条件（6）数乘结合律）数乘结合律条件（条件（7）数乘分配律）数乘分配律1条件（条件（8）数乘分配律）数乘分配律239认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目左矢空间：可以比照右矢空间来建立。对于右矢空中的每可以比照右矢空间来建立。对于右矢空中的每一个右矢一个右矢 ，在左矢空间中就有一个相应的，在左矢空间中就有一个相应的左矢左矢 ,与零右矢与零右矢 对应左矢是零左矢对应左矢是零左矢 。在右矢空间中，右矢空间关系与单一空间中在右矢空间中，右矢空间关系与单一空间中一样。比如一样。比如 但在左矢空间中的相应关系，目前尚不知道。但在左矢空间中的相应关系，目前尚不知道。只知道左矢空间中的运算服从上述写成左矢形式只知道左矢空间中的运算服从上述写成左矢形式的八个条件。的八个条件。40认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二二.内积与数乘内积与数乘 我们规定，一个左矢我们规定，一个左矢 和一个右矢和一个右矢 的内的内积积 是一个复数，并等于单一空间中是一个复数，并等于单一空间中 的内积的内积1.内积运算应满足的条件内积运算应满足的条件条件（条件（9 9）条件（条件（1010）41认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 我们看到，在新建立的两个矢量空间中，左我们看到，在新建立的两个矢量空间中，左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调。而上述四个条件就是沟通的间的事情相互协调。而上述四个条件就是沟通的桥梁。桥梁。条件（条件（1212）对任意对任意 成立；成立；若若 ，则必有，则必有和和另外，右矢另外，右矢 和右矢和右矢 的内积也写为的内积也写为条件（条件（1111）42认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2.有关左右矢空间的对应关系有关左右矢空间的对应关系(1)几个基本关系几个基本关系1)设右矢设右矢 与任意左矢与任意左矢 的内积都是零，则的内积都是零，则证证因为因为 为任意左矢，故可取为任意左矢，故可取由题目所给条件，有由题目所给条件，有所以根据条件（所以根据条件（12），有），有43认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3)若若 对任意对任意 成立，则成立，则证证因为因为 对任意对任意 都成立，即都成立，即对任意对任意 都成立都成立则由关系则由关系2）可知）可知所以有所以有2)与任意右矢的内积都为零的矢量必为零矢量。与任意右矢的内积都为零的矢量必为零矢量。44认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目(2)两条定理两条定理定理定理1 若三个右矢若三个右矢 和和 满足满足则则证证 用任意左矢用任意左矢 与第一式作内积，有与第一式作内积，有两边取复共轭，得两边取复共轭，得因为因为 为任意右矢，所以有为任意右矢，所以有45认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目定理定理2 若二右矢若二右矢 满足满足则必有则必有证证 用任意左矢用任意左矢 与式与式 作内积，有作内积，有两边取复共轭，得两边取复共轭，得即即因为因为 为任意右矢，所以有为任意右矢，所以有46认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 这两条定理建立了左矢空间和右矢空间的对应关这两条定理建立了左矢空间和右矢空间的对应关系，也就是在左矢空间中建立了与右矢空间的运算系，也就是在左矢空间中建立了与右矢空间的运算规则相协调的运算规则。规则相协调的运算规则。至此，我们新建立的左矢空间称为一个完全确定至此，我们新建立的左矢空间称为一个完全确定的（有确定的加法和数乘运算规则的）矢量空间。的（有确定的加法和数乘运算规则的）矢量空间。(3)数乘对应关系数乘对应关系或或这就是为何我们写这就是为何我们写 而不写而不写 的原因。的原因。47认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目对偶空间 左矢空间和右矢空间是两个互为对偶的左矢空间和右矢空间是两个互为对偶的空间，此两个空间合在一起是与单一空间等空间，此两个空间合在一起是与单一空间等价的，也是可供量子力学选用的两套等价的价的，也是可供量子力学选用的两套等价的数学工具。数学工具。由于这两种数学表现形式之间的转换是明由于这两种数学表现形式之间的转换是明显而自然的。人们很容易从一种空间的表现形显而自然的。人们很容易从一种空间的表现形式得到另一种表现形式。式得到另一种表现形式。48认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三三.基右矢和基左矢基右矢和基左矢 若在单一空间中有一组基矢若在单一空间中有一组基矢 ，则在右矢空间，则在右矢空间和左矢空间中各有一套相应的基矢，它们分别是基和左矢空间中各有一套相应的基矢，它们分别是基右矢右矢 和基左矢和基左矢 ，则对任意矢量，则对任意矢量基矢的正交归一关系为基矢的正交归一关系为右矢和左矢的模仍记为右矢和左矢的模仍记为49认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2 算符算符2.1 定义定义 1.算符：算符：规定一个具体的对应关系，用规定一个具体的对应关系，用 A表示，使右矢表示，使右矢空间中的某些右矢与其中另一些右矢相对应。如空间中的某些右矢与其中另一些右矢相对应。如这样的对易关系这样的对易关系A称为算符。称为算符。2.定义域和值域定义域和值域 在算符的定义域中，被算符在算符的定义域中，被算符 A 作用的右矢全体作用的右矢全体称为称为A 的定义域，得出的右矢全体称为值域。的定义域，得出的右矢全体称为值域。二者可以不同、部分或完全重合。通常定义域二者可以不同、部分或完全重合。通常定义域和值域都是整个空间。和值域都是整个空间。50认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 3.线性算符和反线性算符线性算符和反线性算符（1）一个算符一个算符A，其定义域是一个矢量空间，如，其定义域是一个矢量空间，如 果满足下列条件果满足下列条件（2）如果算符）如果算符A满足下列条件满足下列条件量子力学中的算符绝大多数是线性算符。量子力学中的算符绝大多数是线性算符。则算符则算符A称为反线性算符。称为反线性算符。则算符则算符A称为线性算符。称为线性算符。其中其中a是任意复数。是任意复数。51认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（3）线性算符的定义域线性算符的定义域 算符对其定义域中的每一个右矢作用，都应有确算符对其定义域中的每一个右矢作用，都应有确定的结果。定的结果。确定一个具体的线性算符，只需规定它对其定义确定一个具体的线性算符，只需规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢中每一个右矢的作用结域中的一组线性无关的右矢中每一个右矢的作用结果即可。果即可。线性算符的线性算符的定义域定义域，可以是，可以是整个右矢空间本身整个右矢空间本身，也可以是其一子空间。也可以是其一子空间。52认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（4）线性算符的性质线性算符的性质 1）线性算符的值域也是一个右矢空间；）线性算符的值域也是一个右矢空间；2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于定义域空间的维数；数等于或小于定义域空间的维数；3）在定义域中，那些受）在定义域中，那些受 A的作用得到零矢量的的作用得到零矢量的右矢全体，也构成一个右矢空间右矢全体，也构成一个右矢空间,这是定义域的子这是定义域的子空间。空间。53认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 4.几种特殊算符几种特殊算符（1）复数算符复数算符 复数对右矢的数乘，可以看作算符对右矢的作用。复数对右矢的数乘，可以看作算符对右矢的作用。每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：均为全空间：（2）零算符和单位算符零算符和单位算符若若对一切对一切 都成立，则都成立，则 O 称为零算符，称为零算符，1称为单位称为单位算符。算符。54认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目BA的定义域：的定义域：5.算符的运算算符的运算（1）算符之和）算符之和 A+BA+B定义域是定义域是A与与B两算符定义域共同部分（交集）两算符定义域共同部分（交集）（2）算符之乘积）算符之乘积 BA1)A的值域的值域 B的定义域的定义域:BA的定义域的定义域=A的定义域的定义域;2)A的值域的值域 B的定义域的定义域:BA的定义域的定义域 A的定义域。的定义域。即某些即某些 可以被可以被A作用，但不能被作用，但不能被BA作用。作用。55认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目(3)两个算符相等两个算符相等 A与与B有相同定义域并且对域内任意矢量有相同定义域并且对域内任意矢量 ,有有则则(4)两个算符对易两个算符对易若两算符满足若两算符满足 AB=BA，则此二算符对易。，则此二算符对易。各个算符之间不都是可对易的，规定对易式各个算符之间不都是可对易的，规定对易式A,B=AB-BA表示两算符表示两算符A,B的对易关系。的对易关系。56认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目(6)算符的函数算符的函数可用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数可用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数(5)代数运算法则代数运算法则 除交换律不一定成立（不对易）外，算符之间服除交换律不一定成立（不对易）外，算符之间服从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：57认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目6.逆算符逆算符定义定义:设在一个右矢空间中，算符设在一个右矢空间中，算符A把定义域中把定义域中 的一个右矢的一个右矢 变为值域中一个右矢变为值域中一个右矢 甚至可以构成无穷级数，例如甚至可以构成无穷级数，例如注意上式是算符的指数函数的定义式。注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式在此定义下，关系式 的成立是有条件的的成立是有条件的即即若若则则58认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目若算符若算符A所建立的这个对应关系是一一对应的，所建立的这个对应关系是一一对应的，则由则由 到到 的逆对应关系存在。这种关系称的逆对应关系存在。这种关系称为为A的逆算符，用的逆算符，用 表示，即表示，即 显然显然逆算符逆算符 的定义域和值域分别是的定义域和值域分别是 的值域和定义域的值域和定义域逆算符相当于算符的除法，有时也可写为逆算符相当于算符的除法，有时也可写为59认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目算符有逆的条件算符有逆的条件 这两个条件需同时满足。这两个条件需同时满足。1)在在 中，对于每一个中，对于每一个 ，总有，总有 存在存在 2)若若 ，则必有，则必有 以上以上条件是对条件是对 A 的定义域及值域均为无穷维空的定义域及值域均为无穷维空间来说的。间来说的。若若 A 的定义域为有限维（值域也是有限维），的定义域为有限维（值域也是有限维），可以证明条件可以证明条件 1)肯定满足。有逆的条件只用条件肯定满足。有逆的条件只用条件 2)就可以。就可以。60认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目关于关于算符有逆的定理算符有逆的定理 定理：设定理：设A是一个定义域和值域都在全空间的线性是一个定义域和值域都在全空间的线性 算符，若另外两个线性算符算符，若另外两个线性算符B,C存在，满足存在，满足则算符则算符A有逆，且有逆，且证证只需证明只需证明A满足上述两个条件就可以。满足上述两个条件就可以。条件条