一、《高中数学解题的思维策略》138660.docx

一、高中数学解题的思维策略导 读数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思思维的变变通性 根据题设的的相关知知识，提提出灵活活设想和和解题方方案二、数学思思维的反反思性 提出独特见见解，检检查思维维过程，不不盲从、不不轻信。三、数学思思维的严严密性 考察问题严严格、准准确，运运算和推推理精确确无误。四、数学思思维的开开拓性 对一个问题题从多方方面考虑虑、对一一个对象象从多种种角度观观察、对对一个题题目运用用多种不不同的解解法。什么”转变变，从而而培养他他们的思思维能力力。策略的的即时性性、针对对性、实实用性，已已在教学学实践中中得到了了全面验验证。 数学思思维的变变通性一、概念数学问题千千变万化化，要想想既快又又准的解解题，总总用一套套固定的的方案是是行不通通的，必必须具有有思维的的变通性性善于于根据题题设的相相关知识识，提出出灵活的的设想和和解题方方案。根根据数学学思维变变通性的的主要体体现，本本讲将着着重进行行以下几几个方面面的训练练： （11）善于于观察 心理学告告诉我们们：感觉觉和知觉觉是认识识事物的的最初级级形式，而而观察则则是知觉觉的高级级状态，是是一种有有目的、有有计划、比比较持久久的知觉觉。观察察是认识识事物最最基本的的途径，它它是了解解问题、发发现问题题和解决决问题的的前提。任何一道数数学题，都都包含一一定的数数学条件件和关系系。要想想解决它它，就必必须依据据题目的的具体特特征，对对题目进进行深入入的、细细致的、透透彻的观观察，然然后认真真思考，透透过表面面现象看看其本质质，这样样才能确确定解题题思路，找找到解题题方法。例如，求和和.这些分数相相加，通通分很困困难，但但每项都都是两相相邻自然然数的积积的倒数数，且，因因此，原原式等于于问题很很快就解解决了。（2）善于于联想 联想是问问题转化化的桥梁梁。稍具具难度的的问题和和基础知知识的联联系，都都是不明明显的、间间接的、复复杂的。因因此，解解题的方方法怎样样、速度度如何，取取决于能能否由观观察到的的特征，灵灵活运用用有关知知识，做做出相应应的联想想，将问问题打开开缺口，不不断深入入。例如，解方方程组.这个方程指指明两个个数的和和为，这这两个数数的积为为。由此此联想到到韦达定定理，、是一元元二次方方程 的的两个根根，所以或.可可见，联联想可使使问题变变得简单单。（3）善于于将问题题进行转转化数学家G . 波波利亚在在怎样样解题中中说过：数学解解题是命命题的连连续变换换。可见见，解题题过程是是通过问问题的转转化才能能完成的的。转化化是解数数学题的的一种十十分重要要的思维维方法。那那么怎样样转化呢呢？概括括地讲，就就是把复复杂问题题转化成成简单问问题，把把抽象问问题转化化成具体体问题，把把未知问问题转化化成已知知问题。在在解题时时，观察察具体特特征，联联想有关关问题之之后，就就要寻求求转化关关系。例如，已知知,求证、三三数中必必有两个个互为相相反数。恰当的转化化使问题题变得熟熟悉、简简单。要要证的结结论，可可以转化化为：思维变通性性的对立立面是思思维的保保守性，即即思维定定势。思思维定势势是指一一个人用用同一种种思维方方法解决决若干问问题以后后，往往往会用同同样的思思维方法法解决以以后的问问题。它它表现就就是记类类型、记记方法、套套公式，使使思维受受到限制制，它是是提高思思维变通通性的极极大的障障碍，必必须加以以克服。综上所述，善善于观察察、善于于联想、善善于进行行问题转转化，是是数学思思维变通通性的具具体体现现。要想想提高思思维变通通性，必必须作相相应的思思维训练练。 二、思思维训练练实例（1） 观察能力的的训练 虽然观察察看起来来是一种种表面现现象，但但它是认认识事物物内部规规律的基基础。所所以，必必须重视视观察能能力的训训练，使使学生不不但能用用常规方方法解题题，而且且能根据据题目的的具体特特征，采采用特殊殊方法来来解题。xyO图121例1 已已知都是是实数，求求证 思思路分析析 从从题目的的外表形形式观察察到，要要证的结论的右端端与平面面上两点点间的距距离公式式很相似似，而左端可看作作是点到到原点的的距离公公式。根根据其特特点，可采用下面面巧妙而而简捷的的证法，这这正是思思维变通通的体现现。证明 不不妨设如如图1211所示，则 在中，由由三角形形三边之之间的关关系知： 当且且仅当OO在ABB上时，等等号成立立。 因此， 思维障障碍 很多学学生看到到这个不不等式证证明题，马马上想到到采用分分析法、综综合法等等，而此此题利用用这些方方法证明明很繁。学学生没能能从外表表形式上上观察到到它与平平面上两两点间距距离公式式相似的的原因，是是对这个个公式不不熟，进进一步讲讲是对基基础知识识的掌握握不牢固固。因此此，平时时应多注注意数学学公式、定定理的运运用练习习。例2 已知，试求求的最大大值。解 由 得又当时，有最最大值，最最大值为为思路分析 要求求的最大大值，由由已知条条件很快快将变为为一元二二次函数数然后求求极值点点的值，联联系到，这这一条件件，既快快又准地地求出最最大值。上上述解法法观察到到了隐蔽蔽条件，体体现了思思维的变变通性。思维障碍 大部分分学生的的作法如如下：由 得 当时，取最最大值，最最大值为为这种解法由由于忽略略了这一一条件，致致使计算算结果出出现错误误。因此此，要注注意审题题，不仅仅能从表表面形式式上发现现特点，而而且还能能从已知知条件中中发现其其隐蔽条条件，既既要注意意主要的的已知条条件，又要注意次次要条件件，这样样，才能能正确地地解题，提提高思维维的变通通性。有些问题的的观察要要从相应应的图像像着手。例3 已知二次函函数满足足关系，试比较与与的大小小。xyO2图122思路分析 由已已知条件件可知，在在与左右右等距离离的点的的函数值值相等，说说明该函函数的图图像关于于直线对对称，又又由已知条件知知它的开开口向上上，所以以，可根根据该函函数的大大致图像简捷地地解出此此题。解 （如如图1222）由，知是以直线线为对称称轴，开开口向上上的抛物物线它与距离越越近的点点，函数数值越小小。思维障碍 有些些同学对对比较与与的大小小，只想想到求出出它们的的值。而而此题函函数的表表达式不不确定无无法代值值，所以以无法比比较。出出现这种种情况的的原因，是是没有充充分挖掘掘已知条条件的含含义，因因而思维维受到阻阻碍，做做题时要要全面看看问题，对对每一个个已知条条件都要要仔细推推敲，找找出它的的真正含含义，这这样才能能顺利解解题。提提高思维维的变通通性。（2） 联想能力的的训练例4 在中，若为为钝角，则则的值(A) 等等于1 (BB)小于于1 (CC) 大大于1 (D) 不能能确定思路分析 此题题是在中中确定三三角函数数的值。因因此，联联想到三三角函数数正切的的两角和和公式可可得下面面解法。解 为钝钝角，.在中且故应选择（BB）思维障碍 有的的学生可可能觉得得此题条条件太少少，难以以下手，原原因是对对三角函函数的基基本公式式掌握得得不牢固固，不能能准确把把握公式式的特征征，因而而不能很很快联想想到运用用基本公公式。例5 若思路分析 此题题一般是是通过因因式分解解来证。但但是，如如果注意意观察已已知条件件的特点点，不难难发现它它与一元元二次方方程的判判别式相相似。于于是，我我们联想想到借助助一元二二次方程程的知识识来证题题。证明 当当时，等等式 可看作是关关于的一一元二次次方程有有等根的的条件，在在进一步步观察这这个方程程，它的的两个相相等实根根是1 ，根据据韦达定定理就有有： 即 若，由已知知条件易易得 即,显然也也有.例6 已知均为正正实数,满足关关系式,又为不不小于的的自然数数，求证证:思路分析 由条条件联想想到勾股股定理,可构成成直角三三角形的的三边，进进一步联联想到三三角函数数的定义义可得如如下证法法。证明 设设所对的的角分别别为、则是直角角，为锐锐角，于于是 且当时，有于是有即 从而就有 思维阻碍 由于于这是一一个关于于自然数数的命题题，一些些学生都都会想到到用数学学归纳法法来证明明，难以以进行数数与形的的联想，原原因是平平时不注注意代数数与几何何之间的的联系，单单纯学代代数，学学几何，因因而不能能将题目目条件的的数字或或式子特特征与直直观图形形联想起起来。（3） 问题转化的的训练我们所遇见见的数学学题大都都是生疏疏的、复复杂的。在在解题时时，不仅仅要先观观察具体体特征，联联想有关关知识，而而且要将将其转化化成我们们比较熟熟悉的，简简单的问问题来解解。恰当当的转化化，往往往使问题题很快得得到解决决，所以以，进行行问题转转化的训训练是很很必要的的。 转化化成容易易解决的的明显题题目 例例11 已知知求证、中至少少有一个个等于11。思路分析 结论论没有用用数学式式子表示示，很难难直接证证明。首首先将结结论用数数学式子子表示，转转化成我我们熟悉悉的形式式。、中至少少有一个个为1，也也就是说说中至少少有一个个为零，这这样，问问题就容容易解决决了。证明 于是 中至少少有一个个为零，即即、中至少少有一个个为1。思维障碍 很多多学生只只在已知知条件上上下功夫夫，左变变右变，还还是不知知如何证证明三者者中至少少有一个个为1，其其原因是是不能把把要证的的结论“翻译”成数学学式子，把把陌生问问题变为为熟悉问问题。因因此，多多练习这这种“翻译”，是提提高转化化能力的的一种有有效手段段。例12 直线的方程程为，其其中；椭椭圆的中中心为，焦焦点在轴轴上，长长半轴为为2，短短半轴为为1，它它的一个个顶点为为，问在什什么范围围内取值值时，椭椭圆上有有四个不不同的点点，它们们中的每每一点到到点的距距离等于于该点到到直线的的距离。思路分析 从题目目的要求求及解析析几何的的知识可可知，四四个不同同的点应应在抛物物线 （1）是，又从已已知条件件可得椭椭圆的方方程为 （22）因此，问题题转化为为当方程程组（11）、（22）有四四个不同同的实数数解时，求求的取值值范围。将将（2）代代入（11）得： （3）确定的范围围，实际际上就是是求（33）有两两个不等等正根的的充要条条件，解解不等式式组： 在的条件下下，得 本本题在解解题过程程中，不不断地把把问题化化归为标标准问题题：解方方程组和和不等式式组的问问题。 逆向向思维的的训练逆向思维不不是按习习惯思维维方向进进行思考考，而是是从其反反方向进进行思考考的一种种思维方方式。当当问题的的正面考考虑有阻阻碍时，应应考虑问问题的反反面，从从反面入入手，使使问题得得到解决决。例13 已知函函数，求求证、中至少少有一个个不小于于1.思路分析 反证证法被誉誉为“数学家家最精良良的武器器之一”，它也也是中学学数学常常用的解解题方法法。当要要证结论论中有“至少”等字样样，或以以否定形形式给出出时，一一般可考考虑采用用反证法法。证明 （反反证法）假假设原命命题不成成立，即即、都小于于1。则 得 ，与矛盾，所所以假设设不成立立，即、中至少少有一个个不小于于1。 一一题多解解训练 由由于每个个学生在在观察时时抓住问问题的特特点不同同、运用用的知识识不同，因因而，同同一问题题可能得得到几种种不同的的解法，这这就是“一题多多解”。通过过一题多多解训练练，可使使学生认认真观察察、多方方联想、恰恰当转化化，提高高数学思思维的变变通性。例14 已知复复数的模模为2，求求的最大大值。解法一（代代数法）设设解法二（三三角法）设设yxOi-2i图123Z则 解法三（几几何法）如图1223 所示，可可知当时时，解法四（运运用模的的性质）而当时，解法五（运运用模的的性质）