2019版高中数学 第一章 1.3.2 函数的极值与导数（一）学案 新人教A版选修2-2.doc

11 13.23.2 函数的极值与导数函数的极值与导数( (一一) )学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一 函数的极值点和极值思考 观察函数yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)梳理 (1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)0，在x0的右侧函数单调递减，即f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数f(x)的极值的步骤确定函数的定义区间，求导数f(x)；求方程f(x)0 的根；2列表；利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值1导数为 0 的点一定是极值点( × )2函数的极大值一定大于极小值( × )3函数yf(x)一定有极大值和极小值( × )4极值点处的导数一定为 0.( × )类型一 求函数的极值点和极值命题角度1 不含参数的函数求极值例 1 求下列函数的极值(1)f(x)2；(2)f(x).2x x21ln x x考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数f(x)的定义域为 R R.f(x).2x214x2x2122x1x1x212令f(x)0，得x1 或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x1 时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1 时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，ln x x且f(x).1ln x x2令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：3x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因此，xe 是函数的极大值点，极大值为f(e) ，没有极小值1 e反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0 的根(3)用方程f(x)0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0 的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然跟踪训练 1 求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；1 3(2)f(x)x2ex.考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x11，x23，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可以看出，当x1 时，函数有极大值，且极大值f(1)，当x3 时，函数14 3有极小值，且极小值f(3)6.(2)函数f(x)的定义域为 R R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0 或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)4f(x)00f(x)极小值极大值由上表可以看出，当x0 时，函数有极小值，且极小值为f(0)0.当x2 时，函数有极大值，且极大值为f(2)4e2.命题角度2 含参数的函数求极值例 2 已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR R)，当实数a 时，求函数f(x)的单调区2 3间与极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题解 f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a 知2aa2.2 3分以下两种情况讨论：若a> ，则2aa2.2 3当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数5f(x)在xa2 处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.反思与感悟 讨论参数应从f(x)0 的两根x1，x2相等与否入手进行跟踪训练 2 已知函数f(x)xaln x(aR R)(1)当a2 时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题解 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 .a x(1)当a2 时，f(x)x2ln x，f(x)1 (x>0)，2 x因而f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1 ，x>0，知a xxa x当a0 时，f(x)>0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a>0 时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0 时，函数f(x)无极值；当a>0 时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类型二 利用函数的极值求参数例 3 (1)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是( )A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)(2)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1 时有极值 0，则a_，b_.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值点求参数答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选 D.(2)因为f(x)在x1 时有极值 0，且f(x)3x26axb，所以Error!即Error!解得Error!或Error!当a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在 R R 上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数，当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1 处取得极小值，因此a2，b9.反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解(2)验证：因为导数值为 0 不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证跟踪训练 3 设x1 与x2 是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2 是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值点求参数解 (1)f(x)aln xbx2x，f(x) 2bx1，a xf(1)f(2)0，a2b10 且 4b10，a 2解得a ，b .2 31 6(2)由(1)可知f(x) ln xx2x，2 31 6且定义域是(0，)，f(x)x1x1.2 31 3x1x23x当x(0,1)时，f(x)0；7当x(2，)时，f(x)0，x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x2 是f(x)在1,5上的极大值点，x4 是极小值点故选 D.2设函数f(x) ln x，则( )2 xAx 为f(x)的极大值点1 2Bx 为f(x)的极小值点1 2Cx2 为f(x)的极大值点Dx2 为f(x)的极小值点考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数的函数求极值问题答案 D解析 函数f(x) ln x的定义域为(0，)2 x8f(x) ，1 x2 x2令f(x)0，即 0 得，x2，1 x2 x2当x(0,2)时，f(x)0.因为x2 为f(x)的极小值点，故选 D.3函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_考点 函数在某点处取得极值的条件题点 判断极值点的个数答案 0解析 因为x>0，f(x)a ，1 xax1 x所以当a0 时，f(x)0；在区间(0，)上，y0，当x(1，e)时，f(x)0，得x3.4设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则( )Af(x)极大值为f()，极小值为f()33Bf(x)极大值为f()，极小值为f()33Cf(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)11Df(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 D解析 当x0，即f(x)3 时，f(x)0，f(x)单调递增，当(2k1)0 恒成立，得当x2 或x1 时，f(x)0，且x0；当21 时，f(x)>0.所以x1 是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.11已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1 处取得极值 10，则f(1)_.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数答案 30解析 由题意知Error!即Error!解得Error!或Error!经检验知，当Error!时，f(x)0，不合题意f(x)x34x211x16，则f(1)30.三、解答题12设函数f(x)aln xx1，其中aR R，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直1 2x3 2于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数函数求极值解 (1)f(x) .a x1 2x23 2由题意知，曲线在x1 处的切线斜率为 0，即f(1)0，从而a 0，解得a1.1 23 2(2)由(1)知f(x)ln xx1(x>0)，1 2x3 2f(x) 1 x1 2x23 2.3x22x1 2x23x1x12x2令f(x)0，解得x11，x2 (舍去)1 3当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为单调递增函数故f(x)在x1 处取得极小值，极小值为f(1)3.1513已知函数f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m>0)有极大值 ，求m的值1 25 2考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数解 f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，得xm或xm.2 3当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)m(m，2 3m)m2 3(2 3m，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)有极大值f(m)m3m32m341 2 ，5 2m1.四、探究与拓展14设函数f(x)在 R R 上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2 处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是( )考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 C解析 由题意可得f(2)0，而且当x(，2)时，f(x)0；排除 B，D，当x(2，)时，f(x)>0，此时若x(2,0)，xf(x)0，所以函数yxf(x)的图象可能是 C.1615已知函数f(x)(x2axa)ex(a2，xR R)(1)当a1 时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为 3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数解 (1)f(x)(x2x1)ex，f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex.当f(x)>0 时，解得x1，当f(x)2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，f(x)极大值f(2)(42aa)e23，解得a43e2<2，所以存在实数a<2，使f(x)的极大值为 3，此时 a43e2.