2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2.doc

1§1.6§1.6 微积分基本定理微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考 已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则 (2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？1 0答案 由定积分的几何意义知， (2x1)dx ×(13)×12，F(1)F(0)2，故1 01 2 (2x1)dxF(1)F(0)1 0梳理 (1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)；结论：f(x)dxF(b)F(a)；b a符号表示：f(x)dxF(x)| F(b)F(a)b ab a(2)常见的原函数与被积函数关系cdxcx| (c为常数)b ab axndxError!(n1)b ab a sin xdxcos x| .b ab a cos xdxsin x| .b ab adxln x| (b>a>0)b a1 xb a exdxex| .b ab aaxdxError!(a>0 且a1)b ab adxError!(b>a>0)b a xb a知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案 当被积函数f(x)0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等2梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则 f(x)dxS上b a(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则 f(x)dxS下b a(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图 ，则f(x)dxS上S下特别地，若b aS上S下，则 f(x)dx0.b a1若F(x)f(x)，则F(x)唯一( × )2微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数( )3应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数( )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例 1 计算下列定积分(1) (2xex)dx；1 0(2)dx；2 1(1 x3cos x)(3) 220(sincos) d ;22xxx(4) (x3)(x4)dx.3 0考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1) (2xex)dx(x2ex)|1 01 0(1e1)(0e0)e.(2)dx2 1(1 x3cos x)(ln x3sin x)|2 13(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)2(sin x 2cos x 2)12sin cos 1sin x，x 2x 2 22200(sincos) d(1-sin )d22xxxxx 2 0(cos )|xx(0cos 0)1.( 2cos 2) 2(4)(x3)(x4)x27x12， (x3)(x4)dx3 0 (x27x12)dx3 0Error!3 00.(1 3× 3372× 3212 × 3)27 2反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)F(a)跟踪训练 1 计算下列定积分(1)dx；2 1(xx21 x)(2) 2220(cossin)d22xxx；(3)(1)dx.9 4xx考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)dx2 1(xx21 x)Error!2 14(1 2× 2213× 23ln 2) (121 3ln 1)ln 2 .5 6(2) 2220(cossin)d22xxx 20cos dx xsin x 2 0|1.(3)(1)dx9 4xx (x)dxError!9 4x9 4.(2 3× 12× 92) (23× 12× 42)271 6命题角度2 求分段函数的定积分例 2 (1)若f(x)Error!求 21( )d ;f xx (2)计算定积分 |32x|dx.2 1考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 (1) 21( )df xx x2dx 20(cos1)d ,xx01又因为x2，(sin xx)cos x1，(1 3x3)所以原式Error!(sin xx) 2 0|01(sin 00)(01 3) (sin 22) .4 3 2(2) |32x|dx2 1322312(32 )d(23)dxxxx5(3xx2)3 2 1|(x23x)2 3 2| .1 2反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练 2 (1)e|x|dx_.11考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 2e2解析 e|x|dx11exdx exdx011 0ex|ex|011 0e0e1e1e02e2.(2)已知f(x)Error!求 f(x)dx.2 0考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 f(x)dx2 0 (2xex)dxdx1 02 1(x1 x)(x2ex)| Error!1 02 1(1e)(0e0)(1 2× 22ln 2) (12× 1ln 1)e ln 2.3 2类型二 利用定积分求参数例 3 (1)已知t>0，f(x)2x1，若 f(x)dx6，则t_.t0(2)已知 2 (kx1)dx4，则实数k的取值范围为_2 1考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)3 (2)2 3，26解析 (1)f(x)dx (2x1)dxt2t6，t0t0解得t3 或2，t>0，t3.(2) (kx1)dxError!k1.2 12 13 2由 2k14，得 k2.3 22 3引申探究1若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dxf ，求t.t0(t 2)解 由 f(x)dx (2x1)dxt2t，t0t0又f t1，t2tt1，得t1.(t 2)2若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值t0解 F(t)f(x)dxt2t2 (t>0)，t0(t1 2)1 4当t 时，F(t)min .1 21 4反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念跟踪训练 3 (1)已知x(0,1，f(x) (12x2t)dt，则f(x)的值域是_1 0(2)设函数f(x)ax2c(a0)若 f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_1 0考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)0,2) (2)33解析 (1)f(x) (12x2t)dt1 0(t2xtt2)| 2x2(x(0,1)1 0f(x)的值域为0,2)(2)f(x)dx (ax2c)dx1 01 0Error! c.1 0a 37又f(x0)axc，2 0 ax，即x0或.a 32 033330x01，x0.331若 dx3ln 2，则a的值是( )a1(2x1 x)A5 B4 C3 D2考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 D解析 dx 2xdxdxa1(2x1 x)a1a11 xx2| ln x| a21ln a3ln 2，a1a1解得a2.2 230(12sin)d2等于( )A B C. D.321 21 232考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 D解析 230(12sin)d2 30=cos d sin 3 0|.323设f(x)Error!则 f(x)dx等于( )2 0A. B.3 44 5C. D不存在5 6考点 分段函数的定积分8题点 分段函数的定积分答案 C解析 f(x)dxx2dx (2x)dxError!Error! .2 01 02 11 02 15 64已知函数f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，则 f(x)dx_.3 1考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 2 3解析 f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，nxn1m2x2，解得n2，m2，f(x)x22x，则f(x)x22x，f(x)dx (x22x)dx3 13 1Error!99 1 .3 11 32 35已知f(x)Error!计算：f(x)dx. 0解 f(x)dx202( )d( )df xxf xx 0202=(4 -2)dcos d ,xxx x取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2；取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.所以202(4 -2)dcos dxxx x(2x22x) 2 0|sin x 2| 21，1 2即 f(x)dx 21. 01 21求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分9(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1dx等于( )2 1(ex1 x)Ae2ln 2 Be2eln 2Ce2eln 2 De2eln 2考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分答案 D解析 (exln x)|2 1(ex1 x)2 1(e2ln 2)(eln 1)e2eln 2.2若 20(sincos )dxaxx2，则实数a等于( )A1 B1C D.33考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 A解析 20(sincos )dxaxx(cos xasin x) 2 0|0a(10)1a2，a1，故选 A.3若S1x2dx，S2dx，S3 exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )2 12 11 x2 1AS10，所以f(1)lg 10.又当x0 时，f(x)x 3t2dtxt3| xa3，a0a0所以f(0)a3.因为f(f(1)1，所以a31，解得a1.1311设f(x)是一次函数，且 f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_1 01 017 6考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 f(x)4x3解析 f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，f(x)dx (axb)dxaxdxbdx1 01 01 01 0ab5，1 2xf(x)dxx(axb)dx1 01 0 (ax2)dxbxdxab.1 01 01 31 217 6Error!解得Error!f(x)4x3.12已知，则当 (cos xsin x)dx取最大值时，_.0， 20考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用答案 4解析 (cos xsin x)dx(sin xcos x)|00sin cos 1sin1.2( 4)，则，0， 2 4 4，34当，即时， 4 2 4sin1 取得最大值2( 4)三、解答题13已知f(x)(12t4a)dt，F(a) f(x)3a2dx，求函数F(a)的最小值xa1 0考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f(x)(12t4a)dt(6t24at)|xaxa146x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(a) f(x)3a2dx (6x24axa2)dx1 01 0(2x32ax2a2x)|1 0a22a2(a1)211.所以当a1 时，F(a)取到最小值为 1.四、探究与拓展14已知函数f(x)Error!则 f(x)dx等于( )11A. B.38 1243 12C. D.4 443 12考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 B解析 f(x)dx(x1)2dxdx，11011 0 1x2(x1)2dxError! ，01011 3dx以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的四分之一，1 0 1x2故 dx，1 0 1x2 4故 f(x)dx .111 3 443 1215已知f(x)是f(x)在(0，)上的导数，满足xf(x)2f(x)，且 x2f(x)1 x22 1ln xdx1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x>0 时，证明不等式 2ln xex22.考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf(x)2f(x)，得1 x2x2f(x)2xf(x) ，1 x15即x2f(x) ，1 x所以x2f(x)ln xc(c为常数)，即x2f(x)ln xc.又 x2f(x)ln xdx1，2 1即 cdx1，所以cx| 1，2 12 1所以 2cc1，所以c1.所以x2f(x)ln x1，所以f(x).ln x1 x2(2)证明 由(1)知f(x)(x>0)，ln x1 x2所以f(x)，1 x×x22xln x1x42ln x1 x3当f(x)0 时，x1 2e，f(x)>0 时，01 2e，所以f(x)在(0，1 2e)上单调递增，在(1 2e，)上单调递减所以f(x)max 1 2(e)f ，e 2所以f(x) ，ln x1 x2e 2即 2ln xex22.