关于跨期经济决策72法则的拓展研究19385.docx

关于跨期经济决策72法则的拓展研究复利终终值系数数的近似似计算孙得将（仰恩大学学 财政金金融学院院，福建 泉州 36220144）摘要： 现现实经济济生活中中充满了了跨期经经济决策策问题，这这就要计计算货币币的时间间价值。货货币时间间价值甚甚至包含含风险溢溢价的总总体价值值计算是是一个结结构完整整的体系系，其中中复利终终值系数数的计算算在此体体系中居居于核心心地位。对对于复利利终值系系数的计计算尤其其是近似似计算，722法则应应用广泛泛，尽管管使用时时精度较较低且难难以控制制，但是是根据其其思路和和运算习习惯可以以开发出出更为精精确的近近似计算算方法。对于积积累期限限为100年或110年的的整数倍倍，复合合利率在在14%-344%情况下下货币时时间价值值的计算算，有更更为简便便特殊的的方法。关键词： 72法法则；复复利终值值系数；近近似计算算；货币币时间价价值一、引 言当代市场经经济条件件下有很很多经济济决策和和金融决决策都涉涉及到资资源的跨跨期配置置问题，这这就必然然要考虑虑到货币币的时间间价值，因因此要用用到对复复利现值值和终值值的估算算，事实实上由于于复利现现值系数数和复利利终值系系数互为为逆运算算，所以以复利终终值系数数的估算算在此类类计算中中更居于基基础性地地位。尽尽管资源源的跨期期配置决决策也要要考虑到到未来不不确定性性环境下下的风险险补偿问问题，但但是风险险补偿一一般都可可以采用用资本资资产定价价模型来来对必要报报酬率进进行调整整，然后后用调整整后的必必要报酬酬率作为为复合利利率来计计算现金金流的现现值或终终值。当当然，复复利终值值系数也也可直接接应用于于对复合增增长问题题的计算算。对于公式（11r）t，式中，为终值系数，r为复合利率，t为积累期限。大多数金融学专业教材没有做进一步处理，只有少数国内外著作在附录中给出了复利终值系数表，【1】【2】只有极个别国外教材介绍了怎样使用财务计算器来计算各类现值或终值问题。【3】考虑到在现实经济中有不少经济金融问题的决策是基于“模糊的正确”而做出的，因为未来是难以完全清晰准确地预测的，况且大多数情况下人们思考此类问题时手头没有现成的复利现值和终值系数表，甚至也没有或者是懒得用财务计算器或其它能计算指数函数值的计算工具，当然，人们也没有必要把复利终值系数表完整地背下来，那么能否提供一个简洁的处理系统从而使得人们直接用心算或者简单动一下纸和笔就能够比较正确地估算出的数值从而估算出一笔现金流的终值数呢？事实上，人们可能都接触过72法则。【4】但是72法则在利率大于8%时精度不高，何况翻倍也不符合我们平常计数和运算的习惯，更何况现实生活中恰巧翻倍的场合少而又少，且如果用翻倍法则去估计其它终值问题，毕竟显得太粗糙了，尤其是所要估计的数值较大时。其实，利用72法则的计算思路和习惯，应用泰勒级数展开式就可以推导出对终值系数近似计算的方法。关键问题在于如何推导出此种近似计算方法，如何熟练地把这种方法应用于各种涉及到跨期决策问题的计算。人们习惯上多以10年或10年的整倍数为单位来衡量中长期，对于积累期限为10的金融计算，如果有简洁的估算方法将为决策带来极大便利，其实更为便捷的近似计算方法是有的。二、复利终终值系数数近似计计算的数数学推导导及习惯惯处理运用72法法则时，第一步步是用积积累期限限乘以去掉百百分号后后的复合合利率， 即利率的100倍，以下把它定义为利率特征值，把利率特征值与积累期限的乘积定义为总积累换算数。第二步是用所得出的乘积与72进行比较，每含有一个72意味着要翻一番，第三部是把在第二步所得的数值相乘即可得出最终结果。复利终值系数的近似计算与72法则类似，也分三个步骤，现在分别介绍如下。 不妨暂时称这种近似计算方法为“拓展的72法则”。（一） 计算净积累累换算数数此步主要根根据复合合利率和和积累期期限，运运用简单单的四则则运算计计算出复复利终值值系数近近似计算算时所对对应的净净积累换换算数（A）。设终值系数数为，复合利利率为rr，那么么，当00r11时，则则有： （11）对数函数(1r)的泰泰勒级数数展开式式为： （22）把（2）代代入（11）得： （33）设为的近近似估计计， （44）定义利率特特征数：k1000r；定义义总积累累换算数数：Btkt(1000r)，这这是适合合连续复复利计算算的积累累换算数数；定义义净积累累换算数数：A，这这是与实实际非连连续的复复利计算算所对应应的积累累换算数数，那么么则有： （55）定义调整系系数：，那那么则有有：ABc，即即：净积累换算算数总总积累换换算数××调整系系数 （6）0r1，c1，AB。可以证明，近近似计算算的精度度取决于于净积累累换算数数的计算算精度，而后者则直接取决于调整系数c的计算精度。一般情况下，如果计算精度要求不是太高时，（5）式完全能够满足实际计算的需要。如果对估算精度要求较高，那么结合（3）、（4）式，可以按要求把调整系数c修改为： (7)在进行实际际计算时时，根据据决策所所需的计计算精度度，可以以结合（77）式来来计算调调整系数数，且式中的的通项rrn /（n1）可以以作为精精度控制制指标，可可以证明明计算相相对误差差小于所选选取rn /（n1）的值值。 证明：如果令，记之后所有余项的和为：，那么则有：所以，调整系数c估算时的相对误差小于rn /（n1）。（二）查找找净积累累换算数数中所包包含的对对应整数数倍数值值类似于722法则中中2与772之间间的对应应关系，在在终值系系数的近近似计算算中我们们将给出110倍以以内与整整数倍相相对应的的比较精精确的换换算数的的值。实实质上，如如果设整整倍数为为M，则其其对应的的换算数数的值为为1000M，例如如与3对对应的积积累换算算数的值值是1000M1099.866，当然然，如果果所要求求的精度度较高，则则对应于于每一数数值的换换算数所所保留的的小数位位数也就就较多。以以下给出出了与常常用的倍倍数相对对应的换换算数一一览表。表1 常常见的终终值系数数倍数及及与其所所对应换换算数值值终值倍数MM 换算数100MM换算数整数数值换算数级差换算数级差差解释数数解释误差（-）÷简记符号10230.226230NANANA102330.2269219.77222010.54410.5331000/9.5-0.099%92199.7228207.88420811.88811.7661000/88.5-1.011%82077.8447194.55919513.25513.3331000/77.50.60%71944.5996179.11817915.41115.3881000/66.5-0.199%61799.1885160.99416118.24418.1881000/55.5-0.333%51600.9444138.66313922.31122.2221000/44.5-0.400%41388.6333109.88611028.77728.5771000/33.5-0.700%31099.866269.3116940.55540.0001000/22.5-1.366%269.311.540.5554128.76629.411500/1.752.26%1.5440.555注：因为11.5在在实际计计算中运运用得很很广，所所以在此此作为整整数处理理。表1只需记记住269.31，331099.866，51600.944和71944.599即可，表表中其它它数值都可可以根据据指数函函数运算算性质由由这四个个质数分分解组合合而成。第四、五五栏从另另外一个个角度说说明了各各相邻终终值倍数数的换算算值之间间的关系系，第六六栏主要要证实了了进行近近似计算算时运用用线性内内插法具具有非常常高的精精度。（三）汇总总上述整整数倍数数并妥善善处理余余数得出出最终数数值将上述第二二步所找找出的净净积累换换算数中所包含含的整数数倍数相相乘，把把净积累累换算系系数扣除除各个对对应的整整数倍数数的换算算数之后后的余数数进行如如下处理理。设净积累换换算数的的余数为为R，由于于表1对对1.5540.55作作为特殊殊的整数数看待，所所以R400.555。进一一步，如如果有RR10，那那么则只只需把它它看作是是一个单单期利率率特征数数，其所所对应的的终值系系数为RR添上百百分号后后再加上上1，即即(1R%)。如如果有110R40.55，那那么，用用首先要要R除1000并对对商数做做取整运运算，并并定义DD1100/R，U1100/R11D1，由由定义可可知D1000/RRU，并设设整数DD与U所对应应的换算算数分别别为X、Y，记U/DYYX，这样样就从余余数R中分离离出了分分数形式式的复利利终值系系数U/D，此时时有产生生了新的的余数R(YX)，且且一般有有-100R(YX)10，此此时只需需按照余余数小于于或等于于10时时的处理理方法，把把新的余余数看作作单期利利率的特特征值进进行处理理即可。以下用一个个例子来来说明上上述三个个计算步步骤并对对其估算算的精度度进行验验证。例1：求rr122%，tt466时的终终值系数数。解：要计算算（11+122%）46第一步：计计算净积积累换算算数。k1000r122，Btk446×125522，c11/22×r1/3×r211/2×0.11211/3××0.11220.94448。AB×cc5552×0.9944885221.5529665211.533第二步：查查找净积积累换算算数所包包含的对对应整数数倍数值值。521.55322×2300.266611.011 10022×2300.26661.011400.555200.466 1.5540.55净积累换算算数的余余数为：R200.466第三步：汇汇总所得得的整数数倍数并并妥善处处理余数数得出最最终数值值。首先处理RR200.466。100/RR1000/220.4464.889，DD44.89944，UD15，且且41388.633，51600.944，5/44(1550.9941138.63)222.311，新的的余数为为：（220.446222.331）-1.85；-100-11.855100，把新的的余数-1.885看作作利率特特征数并并进行单单期化处处理得：1（-1.885%）110.0018550.98115。把以上所分分离出的的所有终终值系数数相乘得得：1002×1.55×5/44×0.9981551884.003。事实上，如如果利用用指数计计算器计计算（11+122%）46可得得1833.677，计算算误差为为：（184.031833.677）/1183.67××1000%0.20%，466年计算算误差为为0.220%，精度度相当高。注意，如果果计算精精度要求求不是很很高时，可可以利用用表1中中第三栏栏的整数数积累换换算数值值进行计计算，并并且把任任何余数数R41作为利利率特征征数做单单期化终终值运算算，这样样将会更更为简单单快捷。另外，很很容易把把上述近近似计算算原理推推广到只只要知道道式子（1rr）t中的任任意两个个变量而而求另外外一个变变量的计计算中去去， 其中，已知、r求t比较简单。已知和t求r时，可用两步法：仍设k100r，W，则有tkcW，kW/tc,设，。 也很很容易推推广到其其它有关关货币时时间价值值计算的的场合中中去。三、适用于于积累期期间为110年的的近似估估算因为现实经经济生活活中人们们习惯用用10来来计算中中长期时时间，所所以提供供一套专专门适用用于积累累期限为为10年年或100年的整整倍数的的终值、现现值和复复合利率率的近似似计算方方法就具具有特别别意义，尽尽管目前前还不能能给出数数学证明明， 笔者试图进行过证明，但是都不够严密，恳请对此有兴趣的同仁能够协助给出证明。但是表2给出了实证结论。尤其其是计算算中要用用到的数数字5.2，暂时只只能称之之为“神奇数数字5.2”，暂时时称以下下的运算算系统为为“5.22法则”，但是是在积累累期间为为10年年的实际际金融计计算中此此种方法法显得格格外快捷捷、便利利和准确确，如下表表2所示示，该运运算系统统特别适适合复合合收益率率在144%至34%之间的的计算，计算误差能够控制在1%以内，加之14%-34%的年复合收益率恰巧很符合实际投资决策中人们所追求且可能达到的长期复合收益率的范围，所以这一运算系统将为长期价值投资问题的计算和决策提供极大的便利。仍然设利率率特征值值k为1000r，为终值值系数，p为现值系数，速算系数为q，那么有：1.已知利利率特征征值k，求110年后后的终值值系数。规则：q0.11k5.2，qq5.200.1kk，k/q例如：k17时时，q5.200.1×173.55，k/q177/3.54.886；k25时时，q5.200.1×252.77，k/q255/2.79.33。对于10k45时时的所有有终值系系数的估估算值、实实际值和和误差参参见下表2。表2 积积累期限限为100年的复复利终值值系数的的实际值值与估计计值k101112131415161718192021实际值【22】2.592.843.113.403.714.054.414.815.235.706.196.73估计值 数字根据公式k÷qk÷（5.20.1k）计算得出，结果四舍五入保留两位小数。2.382.683.003.333.684.054.444.865.295.766.256.77误差% 数字根据公式：（估计值实际值）÷实际值×100%计算得出，结果四舍五入只保留1%。参考文献：1李秀芳，傅安平.寿险精算M.北京：中国人民大学出版社，2002.p694-7072Arthur J. Keown, John D. Martin, J. William Petty, David F. Scott, Jr. Foundations of Finance: The Logic and Practice of Financial Management. Prentice Hall 2004.p535-5363兹维·博迪，罗伯特·C·莫顿.金融学M.北京：中国人民大学出版社，2000.p1064李秀芳，傅安平.寿险精算M.北京：中国人民大学出版社，2002.p25Elaboration on the Rule of 72 for the Inter-temporal Economic Decision-makingthe Approximate Estimation of the Coefficient of Future Value Based on Compound Interest RateSUN De-jiangAbstract: In the real world there are a lot of inter-temporal decision-makings which are based on the calculation of the time value of money (TVM). The calculation of TVM even the total value including risk premium is an integrated system under which the computation of the coefficient of the future value is the focus. The rule of 72 is widely used to estimate the coefficient of the future value though it is not very precise. More perfect techniques for approximate estimation can be developed according to the convention and thought of the rule of 72. There is one more convenient and simpler approximate estimation approach for TVM given the accumulation period is decade or multiple decades and the compound interest rate is among 14% and 34%. Keywords: Rule of 72, Coefficient of the Future Value, Approximate Estimation, the Time Value of Money 孙得将2009年元月14日-8-6-4-2-10111111k222324252627282930313233实际值7.317.938.599.3110.09910.92211.81112.76613.79914.88816.06617.322估计值7.337.938.579.2610.00010.80011.67712.61113.64414.76616.00017.377误差%000-1-1-1-1-1-1-100k343536373839404142434445实际值18.67720.11121.65523.29925.05526.92228.93331.06633.33335.76638.33341.088估计值18.89920.59922.50024.67727.14430.00033.33337.27742.00047.78855.00064.299误差%12468111520263443562.已知110年后后的终值值系数，求利率率特征值值k规则：k/qk/(55.20.11k)，k5.2/(100.1)5.2/(1/0.1)5.22/(pp0.1)例：88时，kk5.22/(11/0.1)5.22/(11/ 800.1)5.2/00.2225223.11；9时，k5.2/(1/ 90.1)5.2/0.21124.6。3.已知利利率特征征值k,求110年初初的现值值系数pp规则：p1/ q/k(55.20.11k)/k例：k118时，q5.20.1k5.21.83.4，p3.4/180.19；k24时时，q5.200.1kk5.222.42.88，p2.8/240.1116。4.已知110年前前的现值值系数pp，求利率率特征值值k规则：k5.22/(pp0.1)例：p00.4时时，k=5.2/(p+0.1)5.22/(00.40.11)117.33。四、结 论现实中有不不少资源源配置决决策是跨跨期决策策，进行行跨期决决策需要要一定的的金融计计算，货货币时间间价值计计算是金金融计算算中最基基本最主主要的内内容，而而复利终终值系数数则是货货币时间间价值计计算的核核心。虽虽然复利利终值系系数的计计算公式式（11r）t并不复复杂，但但是它却却是指数数运算，人人们一般般不太擅擅长于这这种高级级运算。其其实此种种指数函函数可以以通过泰泰勒级数数展开，并并且在保保持一定定精度的的条件下下转化为为人们非非常熟悉悉的算术术四则运运算。此此类运算算的思路路和运算算习惯与与72法法则非常常相似，不不妨暂时时称之为为“拓展的的72法法则”。针对对积累期期限为110或110的整整倍数的的金融计计算问题题，有更更为简便便的计算算方法，暂暂时可称称之为“5.22法则”。不论是“拓拓展的772法则则”还是“5.22”法则，其其近似计计算的思思路和原原则很容容易由已已知复合合利率和和积累期期限计算算复利终终值系数数扩展到到已知利率率、期限限和终值值系数中中的任意意两个变变量而求求另一变变量的场场合，也也很容易易推广到到其它涉涉及货币币时间价价值问题题的计算算场合中中去。对对于不少少金融计计算问题题，可以以根据实实际需要要从722法则、“拓展的72法则”和“5.2法则”中选取一种或几种相结合或几种相对照来进行近似计算，以便能够作出最为简洁、高效和明智的跨期经济金融决策。注释：12