2019版高中数学 第二章 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2-2.doc

12 22.12.1 综合法和分析法综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a>0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b>0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案 利用已知条件a>0，b>0 和重要不等式，最后推导出所要证明的结论梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)综合法的框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b>0，求证：.ab 2ab证明：要证，ab 2ab只需证ab2，ab只需证ab20，ab只需证()20，ab因为()20 显然成立，所以原不等式成立ab答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法2(2)分析法的框图表示QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件1综合法是执果索因的逆推证法( × )2分析法就是从结论推向已知( × )3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )类型一 综合法的应用例 1 在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2ccos2b.C 2A 23 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边a1cos C2c1cos A2 (ac) (acos Cccos A)1 21 2 (ac)1 21 2(a·a2b2c2 2abc·b2c2a22bc) (ac)b1 21 2acb 2b b右边，b 23 2所以acos2ccos2b.C 2A 23 23反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练 1 已知a，b，c为不全相等的正实数求证：>3.bca acab babc c考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为bca acab babc c 3，b aa bc bb ca cc a又a，b，c为不全相等的正实数，而 2， 2， 2，b aa bc bb ca cc a且上述三式等号不能同时成立，所以 3>633，b aa bc bb ca cc a即>3.bca acab babc c类型二 分析法的应用例 2 设a，b为实数，求证：(ab)a2b222考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 当ab0 时，0，a2b2(ab)成立a2b222当ab>0 时，用分析法证明如下：要证(ab)，a2b2224只需证()22，a2b222ab即证a2b2 (a2b22ab)，即证a2b22ab.1 2a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立a2b222综上所述，不等式得证反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“” 跟踪训练 2 已知非零向量a a，b b，且a ab b，求证：.|a a|b b| |a ab b|2考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 a ab ba a·b b0，要证，|a a|b b| |a ab b|2只需证|a a|b b|a ab b|，2只需证|a a|22|a a|b b|b b|22(a a22a a·b bb b2)，只需证|a a|22|a a|b b|b b|22a a22b b2，只需证|a a|2|b b|22|a a|b b|0，即证(|a a|b b|)20，上式显然成立，故原不等式得证类型三 分析法与综合法的综合应用例 3 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，1 ab1 bc3 abc即证3，abc ababc bc5即证1.c aba bc即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60°.由余弦定理，得b2c2a22cacos 60°，即b2c2a2ac.所以c2a2acb2成立，命题得证引申探究 本例改为求证>.ab 1abc 1c证明 要证>，ab 1abc 1c只需证ab(ab)c>(1ab)c，即证ab>c.而ab>c显然成立，所以>.ab 1abc 1c反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练 3 已知a，b，c是不全相等的正数，且 0abc，ab 2bc 2ac 2由公式>0，>0，>0.ab 2abbc 2bcac 2ac又a，b，c是不全相等的正数，6··>abc.ab 2bc 2ac 2a2b2c2即··>abc成立ab 2bc 2ac 2logxlogxlogx2>a，x2x(x1)>0，c>b>a.1 1x11x21xx2 1x3要证b>0 时，才有a2>b2，只需证1，xy0，则( )8Ax>0，y>0 Bx0，y0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 A解析 由Error!得Error!2要证a2b21a2b20，只需证( )A2ab1a2b20Ba2b210a4b4 2C.1a2b20ab22D(a21)(b21)0考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 D解析 要证a2b21a2b20，只需证a2b2(a2b2)10，即证(a21)(b21)0.3在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是( )Ab2c2a2 Bb2c2>a2Cb2c2a2 Db2c2B是 sin A>sin B的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题9答案 C解析 由正弦定理得2R(R为ABC的外接圆半径)，a sin Ab sin B又A，B为三角形的内角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.5设a，b>0，且ab，ab2，则必有( )A1ab Babab，a2b2 2又因为ab2>2，ab故ab1，a2b2 2ab22ab2即>1>ab.a2b2 26若a，b，c，则( )ln 2 2ln 3 3ln 5 5Aa0，f(x)单调递增；当x>e 时，f(x)a>c.ln 4 47设f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当x0 时，f(x)单调递减若x1x2>0，则f(x1)f(x2)的值( )10A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 A解析 由f(x)是定义在R R 上的奇函数，且当x0 时，f(x)单调递减，可知f(x)是 R R 上的减函数由x1x2>0，可知x1>x2，所以f(x1)0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 综合法9如果ab>ab，则正数a，b应满足的条件是_abba考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 ab解析 ab(ab)abbaa()b()()(ab)abbaab()2()abab只要ab，就有ab>ab.abba10设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_27362考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 a>c>b解析 a2c22(84)4633>0，a>0，c>0，a>c.4836c>0，b>0， >1，c b6 27 37 36 2c>b.a>c>b.1111比较大小：设a>0，b>0，则 lg(1)_ lg(1a)lg(1b)ab1 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 解析 (1)2(1a)(1b)ab2(ab)0，ab(1)2(1a)(1b)，ab则 lg(1)2lg(1a)(1b)，ab即 lg(1) lg(1a)lg(1b)ab1 212.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可三、解答题13已知a>0，求证：a 2.a21 a221 a考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证a 2，a21 a221 a只需证2a .a21 a21 a2因为a>0，12所以只需证22，(a21 a22)(a1 a 2)即a244a2222，1 a2a21 a21 a22(a1 a)从而只需证 2 ，a21 a22(a1 a)只需要证 42，(a21 a2)(a221 a2)即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1 a2四、探究与拓展14若不等式(1)na2 ，1 n而2 <2，所以a2.1 n综上可得，2a< .3 215在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由A，B，C成等差数列，得 2BAC.由于A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B. 3由a，b，c成等比数列，得b2ac，13由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得ABC， 3所以ABC 为等边三角形