2019版高中数学 第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修2-2.doc

13 31.11.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程x210 的根，即 i·i1，方程x210 有解，同时得到一些新数梳理 (1)复数定义：把集合 C Cabi|a，bR R中的数，即形如abi(a，bR R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR R)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 C C 表示知识点二 两个复数相等的充要条件在复数集 C Cabi|a，bR R中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR R)，我们规定：abi 与cdi 相等的充要条件是ac且bd.2知识点三 复数的分类(1)复数(abi，a，bR R)Error!(2)集合表示：1若a，b为实数，则zabi 为虚数( × )2复数zbi 是纯虚数( × )3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( )类型一 复数的概念例 1 (1)给出下列几个命题：若zC C，则z20；2i1 虚部是 2i；2i 的实部是 0；若实数a与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3(2)已知复数za2(2b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数a，b的值分别是_考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2)±，52解析 (1)令ziC C，则 i212a3，即a22a3>0，解得a>3 或a3 或a1，则实数x的值是_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由题意知Error!得x2.1对于复数zabi(a，bR R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.一、选择题1设a，bR R， “a0”是“复数abi 是纯虚数”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件7D既不充分也不必要条件考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 因为a，bR R，当“a0”时“复数abi 不一定是纯虚数，也可能b0，即abi0R R” 而当“复数abi 是纯虚数” ，则“a0”一定成立所以a，bR R， “a0”是“复数abi 是纯虚数”的必要不充分条件2以2i 的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是( )55A22i Bi55C2i D.i55考点 复数的概念题点 求复数的实部和虚部答案 A解析 设所求新复数zabi(a，bR R)，由题意知复数2i 的虚部为 2，复数i2i2i2×(1)2i 的实部为55552，则所求的z22i.故选 A.3若(xy)ix1(x，yR R)，则 2xy的值为( )A. B2 C0 D11 2考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得Error!xy0.2xy201.4下列命题中：若x，yC C，则xyi1i 的充要条件是xy1；纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3.正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3考点 复数的概念8题点 复数的概念及分类答案 A解析 取xi，yi，则xyi1i，但不满足xy1，故错；错，故选 A.5若 sin 21i(cos 1)是纯虚数，则的值为( )2A2k(kZ Z) B2k(kZ Z) 4 4C2k±(kZ Z) D. (kZ Z) 4k 2 4考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，得Error!解得Error!(kZ Z)，2k，kZ Z. 46若复数zi 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan的值为(cos 4 5) (sin 3 5)( 4)( )A7 B1 7C7 D7 或1 7考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 C解析 复数zi 是纯虚数，(cos 4 5) (sin 3 5)cos 0，sin 0，4 53 5sin ，tan ，3 53 4则 tan7.( 4)tan 1 1tan 3411347已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mR R)有实数根n，且zmni，则复数z等于( )A3i B3iC3i D3i9考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知n2(m2i)n22i0，即Error!解得Error!z3i，故选 B.二、填空题8设mR R，m2m2(m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则m_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由Error!即m2.9已知z1(m2m1)(m2m4)i，mR R，z232i.则m1 是z1z2的_条件考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当z1z2时，必有m2m13，m2m42，解得m2 或m1，显然m1是z1z2的充分不必要条件10已知复数zm2(1i)m(mi)(mR R)，若z是实数，则m的值为_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 0 或 1解析 zm2m2im2mi(m2m)i，所以m2m0，所以m0 或 1.11复数z(a22a3)(|a2|1)i 不是纯虚数，则实数a的取值范围是_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 (，1)(1，)解析 若复数z(a22a3)(|a2|1)i 是纯虚数，则a22a30，|a2|10，解得a1，当a1 时，复数z(a22a3)(|a2|1)i 不是纯虚数1012已知 log1 2(mn)(m23m)i1，且nN N*，则mn_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由，得m0 或m3.当m0 时，由1 2log(mn)1，得 0<n2，n1 或n2.当m3 时，由1 2log(mn)1，得 0<n32，3<n1，即n无自然数解m，n的值分别为m0，n1 或m0，n2.故mn的值为 1 或 2.三、解答题13实数m为何值时，复数z(m22m3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚mm2m1数考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得mm2m1m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1 且mm2m1m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，mm2m1且m22m30，解得m0 或m2.四、探究与拓展14定义运算adbc，如果(xy)(x3)i，求实数x，y的值|a b c d|3x2y i y 1|考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由定义运算adbc，|a b c d|11得3x2yyi，|3x2y i y 1|故有(xy)(x3)i3x2yyi.因为x，y为实数，所以Error!得Error!得x1，y2.15已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MNM，且MN，求整数a，b的值考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得(a3)(b21)i3i，或 8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由，得a3，b±2，由，得a±3，b2，中，a，b无整数解，不符合题意综上，a3，b2 或 a3，b2 或 a3，b2.