2019学年高中数学 4.1.3 球坐标系与柱坐标系学案 苏教版选修4-4.doc
14.1.34.1.3 球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系1球坐标系、柱坐标系的理解2球坐标、柱坐标与直角坐标的互化基础·初探1球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点,从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴,再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向,这样就建立了一个球坐标系图 415(2)设P是空间一点,用r表示OP的长度,表示以Oz为始边,OP为终边的角,表示半平面xOz到半平面POz的角,则有序数组(r,)就叫做点P的球坐标,其中r0,0,02.2直角坐标与球坐标间的关系图 416若空间直角坐标系的原点O,Ox轴及Oz轴,分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合,就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)之间的关系,如图 416 所示x2y2z2r2,xrsin_cos_,yrsin_sin_,2zrcos_.3柱坐标系建立了空间直角坐标系Oxyz后,设P为空间中任意一点,它在xOy平面上的射影为Q,用极坐标(,)(0,02)表示点Q在平面xOy上的极坐标,这时点P的位置可以用有序数组(,z)(zR R)表示,把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系,有序数组(,z)叫做点P的柱坐标,记作P(,z),其中0,02,zR R.图 4174直角坐标与柱坐标之间的关系Error!思考·探究1空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别?【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系,空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成2在空间的柱坐标系中,方程0(0为不等于 0 的常数),0,zz0分别表示什么图形?【提示】 在极坐标中,方程0(0为不等于 0 的常数)表示圆心在极点,半径为0的圆,方程0(0为常数)表示与极轴成0角的射线而在空间的柱坐标系中,方程0表示中心轴为z轴,底半径为0的圆柱面,它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐标面的平面,如图所示常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面质疑·手记3预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问 1:_解惑:_疑问 2:_解惑:_将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点M的球坐标为,则点M的直角坐标为_(2,3 4,34)(2)设点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为_(2, 6,7)【自主解答】 (1)设M(x,y,z),则x2sin ·cos 1,3 43 4y2×sin ×sin 1,3 43 4z2×cos .3 42即M点坐标为(1,1,)2(2)设M(x,y,z),则x2×cos , 63y2×sin 1,z7. 6即M点坐标为(,1,7)3【答案】 (1)(1,1,) (2)(,1,7)23再练一题1(1)已知点P的柱坐标为,则它的直角坐标为_(4, 3,8)(2)已知点P的球坐标为,则它的直角坐标为_(4,3 4,4)【解析】 (1)由变换公式得:x4cos 2, 34y4sin 2,z8. 33点P的直角坐标为(2,2,8)3(2)由变换公式得:xrsin cos 4sin cos 2,3 4 4yrsin sin 4sin sin 2,3 4 4zrcos 4cos 2.3 42它的直角坐标为(2,2,2)2【答案】 (1)(2,2,8) (2)(2,2,2)32将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,如图 418 建立空间直角坐标系Axyz,Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标图 418【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可【自主解答】 点C1的直角坐标为(1,1,1),设点C1的柱坐标为(,z),球坐标为(r,),其中0,r0,0,02,由公式Error!及Error!得Error!及Error!得Error!及Error!结合图形得,由 cos 得 tan . 4332点C1的直角坐标为(1,1,1),柱坐标为(, ,1),球坐标为(,),2 43 45其中 tan ,0.2化点M的直角坐标(x,y,z)为柱坐标(,z)或球坐标(r,),需要对公式Error!以及Error!进行逆向变换,得到Error!以及Error!提醒 在由三角函数值求角时,要先结合图形确定角的范围再求值再练一题2(1)设点M的直角坐标为(1,1,1),求它在柱坐标系中的坐标(2)设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标2【导学号:98990006】【解】 (1)设M的柱坐标为(,z),则有Error!解之得,.2 4因此,点M的柱坐标为.(2,4,1)(2)由坐标变换公式,可得r2.x2y2z21212 22由rcos z,2得 cos ,.2r22 4又 tan 1,(M在第一象限),y x 4从而知M点的球坐标为.(2, 4,4)真题链接赏析(教材第 17 页习题 4.1 第 16 题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为 3 的正四面体的四个顶点结晶体的基本单位称为晶胞,如图 419(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体)图形中的点代表钠原子,如图 419(2),建1 2立空间直角坐标系Oxyz后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标6(1) (2)图 419【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体,主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用【解】 下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是 0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1, 2,0) (2,2,4) (1, 2,2);(22,2,4)它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),.(2,4,0) (1,2,0)(22,4,0)1已知点A的柱坐标为(1,0,1),则点A的直角坐标为_【解析】 由点A的柱坐标为(1,0,1)知,1,0,z1,故xcos 1,ysin 0,z1,所以直角坐标为(1,0,1)【答案】 (1,0,1)2设点M的直角坐标为(1,1,),则它的球坐标为_2【解析】 由坐标变换公式,r2.x2y2z2cos ,.tan 1,z r22 4y x .5 4故M的球坐标为.(2, 4,54)【答案】 (2, 4,54)3已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,这两个点在空间(2,4,5)(6,3,6)直角坐标系中点的坐标分别为_【导学号:98990007】7【解析】 设P(x,y,z),则xcos1,2 4ysin1,z5,2 4P(1,1,5)设B(x,y,z),则xsin cos ××,ysinsin×6 3 6632323 646 3 66× ,321 23 24z·cos × .6 361 262故B(,)3 643 2462【答案】 P(1,1,5),B(,)3 643 24624把A(4, ,2)、B(3, ,2)两点的柱坐标化为直角坐标,则两点间的距离为 6 4_【解析】 点A化为直角坐标为A(2,2,2),点B化为直角坐标为B3.(3 22,3 22,2)AB222(22)(2 33 22)(23 22)212 64 616416()9 269 2262所以AB.416 6 2【答案】 416 6 2我还有这些不足:(1)_(2)_我的课下提升方案:(1)_(2)_