2019学年高中数学 学业分层测评6 圆锥曲线的极坐标方程及应用 苏教版选修4-4.doc

1学业分层测评学业分层测评( (六六) ) 圆锥曲线的极坐标方程及应用圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45 分钟)学业达标1过椭圆1 的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若x2 25y2 9FA2FB，求直线l的斜率【解】 椭圆1 中，a5，b3，c4，x2 25y2 9所以e ，p .4 5b2 c9 4取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为.4 5×9 4145cos 9 54cos 设A(1，)、B(2，)由题设得122.于是2×9 54cos ，解得 cos ，所以 tan ，即直线l的斜率为.9 54cos 5 12119511952已知椭圆方程为，过左焦点引弦AB，已知AB8，求AOB的面16 53cos 积【解】 如图，设A(1，)、B(2，)所以1216 53cos .16 53cos 160 259cos2因为AB8，所以8，160 259cos2所以 cos2 ，sin .5 92 32由椭圆方程知e ，则c3.c a3 5b2 c16 3SAOBSAOFSBOFOF·1·sin OF·2·sin 8.1 21 23如图 4­2­4，过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MNAB，并交对称轴于N.图 4­2­4求证：MN2AF·BF.【证明】 取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为.p 1cos 设A(1，)、B(2，)，则AF·BF·.p 1cos p 1cos p2 sin2不妨设 0，则MF (12) 21 2 ().1 2p 1cos p 1cos pcos sin2所以MNMF·tan tan .pcos sin2p sin 所以MN2AF·BF.4如图 4­2­5，已知圆F：x2y24x0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点3图 4­2­5(1)当直线的斜率为 2 时，求ABCD；(2)当为何值时，ABCD有最小值？并求这个最小值【解】 圆F：x2y24x0 的圆心坐标为(2,0)，半径为 2，所以抛物线的焦点到准线的距离为 4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系则圆F的坐标方程为2，抛物线G的极坐标方程为.4 1cos 设A(1，)、D(2，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD412444 1cos 4 1cos4 1cos 444.4 1cos 8 1cos28 sin2(1)由题意，得 tan 2，所以 sin2 .4 5所以ABCD46.8 sin2(2)ABCD4，8 sin2当 sin21，即时ABF2的面积取到最小值 4. 25已知抛物线，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求FAB的面积的p 1cos 最小值【解】 设A(1，)、B，则(2， 2)1，2.p 1cos p1cos(2)p 1sin FAB的面积为4S12 ··1 21 2p 1cos p 1sin p2 21cos 1sin .p2 21cos sin sin cos 设tsin cos ，则 sin cos .1t2 2所以 1cos sin sin cos 1t (t1)2.1t2 21 2又tsin cos sin，2( 4)22所以当t，即时，FAB的面积S有最小值.23 4p21 226已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且F1PF290°.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且ABF2的面积的最大值为 12，求椭圆C的方程【导学号：98990017】【解】 (1)因为F1PF290°，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e 2 12 22 2c a.22(2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为.22p122cos p2cos 设A(1，)、B(2，)，则ABAFFB12p2cos p2cos.p2cos p2cos 2 2p2cos2因为F1F22c，所以ABF2的边AB上的高h为 2c|sin |，ABF2的面积S ·AB·h1 22 2pc|sin |2cos22 2pc|sin |1sin25.2 2pc1 |sin |sin |因为|sin |2，1 |sin |所以当|sin |1，即或时S取到最大值 23 2所以当l过左焦点且垂直于极轴时，ABF2的面积取到最大值pc，所以pc12，22即b26.2故a2c26.又 ，2c a22所以a212，c26.22所求椭圆的方程为1.x212 2y26 27已知椭圆1，直线l： 1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又x2 24y2 16x 12y 8点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【解】 如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为2，48 2cos23sin2直线l的极坐标方程.24 2cos 3sin 由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(，)、(1，)、(2，)，依题意，得，2 148 2cos23sin22.24 2cos 3sin 由|OQ|·|OP|OR|2得·2(0)2 1将代入，6得·，24 2cos 3sin 48 2cos23sin2则(0)4cos 6sin 2cos23sin2这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得 2x23y24x6y，即1(x、y不同时为 0)x12 5 2y12 5 3点Q的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x轴，长、短半轴长分别为，的椭102153圆(去掉坐标原点)能力提升8建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB|2r(r0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|2a(2a )若半圆上相异两点M，N到l的距离r 2|MP|、|NQ|满足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，则|MA|NA|AB|.【证明】 法一 以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos ，设M(1，1)，N(2，2)，则12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0 的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二 以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos ，设M(1，1)，N(2，2)，又由题意知，M(1，1)，N(2，2)在抛物线上，2rcos 2a 1cos ，rcos2rcos a0，2a 1cos cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0 的两个根，由韦达定理：cos 1cos 21，7得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.